一元二次不等式解法公开课用2

3.2

一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法实际问题：不等关系数学问题：不等式抽象概括刻画苏宁电器对某种本钱价为650元的电视机有一个促销活动：买一台电视机，单价950元；买两台，单价是900元；依次类推，每多买一台，单价降低50元。要使商店保持每次交易赢利不小于300元，问每人最多买几台？一元二次不等式的概念〔1〕只含有一个未知数x；〔2〕未知数的最高次数为2.不等式有两个特点：

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的定义：

一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c>0(a≠0)，或ax2+bx+c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数.下面哪些是一元二次不等式〔其中a、b、c、m为常数〕.例1解：〔1〕〔2〕是；〔3〕〔4〕〔5〕不是.〔3〕不是，∵a=0时，不符合定义；〔4〕不是，x的最高次数是3，不符合定义；〔5〕不是，m=0时，是一元一次不等式;m≠0时，是二元一次不等式.一元二次不等式的解法怎样求一元二次不等式

的解集？画出二次函数的图象〔1〕当取时，y=0？当时，y>0？当时，y<0？y16x〔2〕由图象可知：不等式的解集为.不等式的解集为.16xy一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系不等式的解集是什么？无实根的图象有两个不等实根有两相等实根完成下表：例2〔1〕求不等式的解集.（2）求不等式的解集.（3）求不等式的解集.解一元二次不等式的一般步骤：1、化标准：将不等式化成标准形式〔右边为0、最高次的系数为正〕；2、考虑判别式：计算判别式的值，假设值为正，那么求出相应方程的两根；3、下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式简记为：大于在两边，小于在中间.由图象得出不等式的解集.练习1.解以下不等式∴原不等式可化为所以原不等式的解集为而的图象开口向上，〔2〕不等式可化为∴方程有两个实数根所以原不等式的解集为〔3〕原不等式化为所以不等式的解集是∴方程有两个实数根〔4〕原不等式可化为

所以不等式的解集是【例3】

已知x2＋px＋q<0的解集为îíìþýüx︳－12<x<13，求解不等式qx2＋px＋1>0

解：因为x2＋px＋q<0的解集为îíìþýüx－12<x<13，

所以x1＝-－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根．

方法点评：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解．【例3】当a为何值时，不等式〔a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数？【标准解答】〔1〕当a2-1=0，即a=±1时，假设a=1，那么原不等式为-1<0,恒成立.假设a=-1，那么原不等式为2x-1<0,即x<不符合题目要求，舍去.

探究三〔2〕当a2-1≠0,即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得<a<1.综上所述，当<a≤1时，原不等式的解为全体实数.【互动探究】假设把不等式改为“(a2-1)x2-(a-1)x+1>0”怎样求a的取值范围.【解析】〔1〕当a2-1=0,即a=±1时，假设a=1，那么原不等式化为1>0,恒成立.假设a=-1，那么原不等式化为2x+1>0,即x>不符合题意，舍去.〔2〕当a2-1≠0时，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是解得a<或a>1.综上所述，当a<或a≥1时，原不等式解集为R.含参不等式恒成立的问题提升总结（1）一元二次不等式恒成立.（2）一元二次不等式恒成立.（4）一元二次不等式

恒成立.（3）一元二次不等式恒成立.【例4】假设不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．错解：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，

探究三错因分析：当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．【例4】假设不等式(a－2)x