专题05 分式突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】 （原卷版）

专题05分式突破核心考点【聚焦考点+题型导航】考点一分式的判断考点二分式的有无意义的条件考点三分式的值为零考点四求使分式为整数时未知数的整数值考点五利用分式的基本性质判断分式值的变化考点六含乘方的分式乘除混合运算考点七分式加减乘除混合运算考点八已知分式恒等式，确定分子或分母考点九零指数幂及负整数指数幂考点十分式化简求值考点十一分式方程的定义考点十二解分式方程考点十三根据分式方程解的情况求值考点十四分式方程的实际应用【知识梳理+解题方法】一、分式的定义分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号.=2\*GB3②整式B作为分母，则整式B0.=3\*GB3③只要最终能转化为形式即可.=4\*GB3④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.二、分式的相关概念1）分式有意义的条件：分母不为0，即B02）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B03）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>04）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0三、分式的基本性质1）分数的性质（特点）如下：=1\*GB3①分母不能为零;=2\*GB3②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;=3\*GB3③分数的通分与约分（短除法）.2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：=1\*GB3①分式分母也不能为零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变.即：用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．=3\*GB3③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.四、分式的约分与通分1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式.2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值.步骤：=1\*GB3①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；=2\*GB3②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;=3\*GB3③分子对应扩大相同倍数.4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．五、分式的混合运算分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：．2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：．4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式六、整数指数幂（幂的运算的扩大）1）前面已学习：=1\*GB3①am∙an=am+n，（m，n是正整数）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整数）；=4\*GB3④am÷an=am−n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整数）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④运算，当m<n时.如：a2÷a3=a2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，a−n=1an（a≠03）幂的运算性质扩大当a≠0时=1\*GB3①am∙an=am+n，（m，n=2\*GB3②（am）n=amn，（m，=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整数）（公式34）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0，根据定义am÷an5）科学记数法的扩大一般，一个小于1的数可以表示为a×10−n的形式，其中步骤：确定a值的大小.1＜a＜10；确定n的值.原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍.故n七、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．八、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．九、增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．十、分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．【专题过关+能力提升】考点一分式的判断1．（2022·广西·南宁十四中八年级期中）下列式子中，是分式的是（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）在分式的个数有（）个．A．2 B．3 C．4 D．53．（2021·江苏泰州·八年级期中）代数式、、、、中，分式共有________个．4．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期中）式子，，，，中，分式有_________个5．（2022·山东临沂·八年级期末）式子①，②，③，④，⑤中，分式有________个考点二分式的有无意义的条件1．（2022·江苏·射阳县第四中学三模）若分式有意义，则x的取值范围是_____．2．（2022·湖南省隆回县第二中学八年级期中）若分式有意义，则x的取值范围是_____________．3．（2021·广西·南宁二中八年级期中）若要使分式有意义；则x满足的条件是___________．4．（2022·上海市民办新复兴初级中学七年级期中）如果分式无意义，那么分式的值为______．5．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则___________．考点三分式的值为零1．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）若分式的值为零，则​等于（

）​A．​ B．​ C．​ D．​2．（2021·山东·日照市北京路中学八年级期末）分式，当x等于（）时分式的值为零．A．3 B． C．3或 D．无法确定3．（2022·湖南·洪江市实验中学八年级期中）若分式的值为零，则x的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．44．（2022·江苏·九年级开学考试）若分式的值为0，则x的值是______．5．（2022·山东·周村二中八年级阶段练习）使分式的值为零的x的值是____．考点四求使分式为整数时未知数的整数值1．（2022·四川南充·九年级期中）若的值为整数，则正整数a的值为______．2．（2022·江苏苏州·八年级期末）分式的值是整数，则正整数的值等于______．3．（2022·浙江舟山·七年级期末）若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．4．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）使代数式的值为整数的全体自然数的和是______．5．（2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级阶段练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______．考点五利用分式的基本性质判断分式值的变化1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（

）A．扩大2倍 B．缩小 C．缩小 D．不变2．（2022·河北石家庄·八年级期中）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（

）A． B． C． D．3．（2022·北京房山·八年级期中）如果将分式中的字母的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．不改变 B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的 D．缩小为原来的4．（2022·广西·柳州二十五中八年级期中）如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大为原来的10倍C．缩小为原来的倍 D．缩小为原来的5．（2022·山东·济南市钢城区艾山第一初级中学八年级期中）将分式中的的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（）A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．扩大27倍考点六含乘方的分式乘除混合运算1．（2022·北京房山·八年级期中）计算：．2．（2021·山东·单县湖西学校八年级阶段练习）计算：3．（2020·北京·大峪中学八年级期中）计算．4．（2021·全国·八年级课时练习）．5．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算：；（2）化简：．考点七分式加减乘除混合运算1．（2022·江苏连云港·八年级期中）计算：(1)；(2)．2．（2021·江苏南京·八年级期末）化简：（1）﹣；（2）（1﹣）÷（）．3．（2022·山东山东·八年级期中）计算：(1)(2)(3)4．（2022·山东威海·八年级期中）计算：(1)(2)(3)5．（2021·河南·郑州外国语中学模拟预测）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．=

第一步=

第二步=

第三步=

第四步=

第五步=

第六步

（1）填空：a．以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是b．第步开始出现错误，这一步错误的原因是①，②．（2）请直接写出该分式化简后的正确结果．（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．6．（2022·江苏·八年级专题练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，…这样的分式是假分式；像，，…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；＝x+2+．(1)下列分式中，属于真分式的是：（填序号）①；②；③；④．(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；(3)如果分式的值为整数，求x的整数值．考点八已知分式恒等式，确定分子或分母1．（2022·河南·南阳市第二十一学校八年级阶段练习）已知，则_________________．2．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若，则_________，_________．3．（2021·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已，则的值是__________．4．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．考点九零指数幂及负整数指数幂1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）着式子有意义，则x必须满足___________2．（2022·湖南邵阳·八年级期中）若，则a的值是______．3．（2021·河南·辉县市太行中学八年级期中）要使得有意义，的取值应满足的条件是___________．4．（2022·河南·辉县市太行中学八年级期中）要使得有意义，x的取值应满足的条件是_________________．5．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）对于实数、，定义运算：；如：​，．照此定义的运算方式计算___________．考点十分式化简求值1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）已知，求代数式的值．2．（2022·安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）先化简分式，再代入求值：​，其中​是​的整数．3．（2022·北京四中八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中4．（2022·湖南邵阳·八年级期中）先化简，然后从1，2，3中选取一个合适的数作为a的值代入求值．5．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）先化简，再求值：，再选一个合适的数x代入求值．6．（2022·湖南邵阳·八年级期中）先化简：；再请从，，0，1，2中选择一个合适的数值代入求值．7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）先化简：然后在3，2，和四个数中任选一个合适的数代入求值．考点十一分式方程的定义1．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）下列各式中属于分式方程的是（）A． B． C． D．2．（2021·河南省淮滨县第一中学模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（

）A．个 B．个 C．个 D．个3．（2021·山东威海·八年级期中）已知方程：①；②；③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（

）A． B． C． D．4．（2021·全国·九年级专题练习）在方程中，分式方程有______个．5．（2021·全国·九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．考点十二解分式方程1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）解分式方程．(1)；(2)．2．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）解分式方程：(1)；(2)．3．（2021·重庆巴蜀中学八年级期中）解分式方程：(1)(2)4．（2022·山东·巨野县教学研究中心八年级期中）解方程：(1)(2)5．（2022·广西桂林·八年级期中）下面是解分式方程的一般过程，阅读完后请填空∶解分式方程：解：方程两边同乘以，得；（第一步）解得：．检验：当x=2时，．因此不是原方程的解．所以，原分式方程无解．(1)第一步计算中的是__，进行这一步运算的依据是(2)用类比的方法解分式方程：6．（2022·山东·济南市钢城区艾山第一初级中学八年级期中）关于的方程的解是；关于的方程的解是；关于的方程的解是；关于的方程即的解是；(1)请观察上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证；(2)利用阅读材料，解关于的方程．考点十三根据分式方程解的情况求值1．（2022·湖南邵阳·八年级期中）若关于x的方程有增根，则a的值____________．2．（2022·湖南邵阳·八年级期中）若关于的分式方程有增根，那么的值是______．3．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是____________4．（2022·新疆·兵团二中八年级期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______．5．（2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级阶段练习）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是______．考点十四分式方程的实际应用1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）列分式方程解应用题：年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料?2．（2022·山东烟台·八年级期中）某商场用5000元购进一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第