专题10 存在性与恒成立问题（讲义）2024高考总复习压轴题《数学》函数与导数解析版

第第页专题10存在性与恒成立问题不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合（）。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。一、分离参数法1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要③，则只需要，则只需要④，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）②，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）③，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要④，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要x/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.二、数形结合法1、函数的不等关系与图象特征：（1）若，均有的图象始终在的下方（2）若，均有的图象始终在的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③最值法：讨论最值或恒成立；④讨论参数.最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法最值分析法.三、最值分析法1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则（2）若，均有（其中为常数），则3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：①观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）②缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.重难点题型一：直接转化求最值+分类讨论例1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数.(1)已知函数在处的切线与圆相切，求实数的值.(2)已知时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意，圆的圆心为，半径为，对函数求导得，则函数的图象在处的切线斜率为，而，于是函数的图象在处的切线方程为，即，从而，解得，所以实数的值为2.（2）设，依题意，当时，恒成立，求导得，设，求导得，当时，当时，，即有，因此函数，即在上单调递减，于是当时，，则函数在上单调递减，从而当时，，因此，当时，当时，，则函数，即在上单调递增，于是当时，，即函数在上单调递增，因此当时，，不合题意，当时，，函数，即在上单调递增，则当时，，即函数在上单调递增，于是当时，，不合题意，所以实数的取值范围为.例2．（2024·四川成都·二模）已知函数．(1)当时，判断的零点个数并说明理由；(2)若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)两个零点，理由见解析(2)【分析】（1）根据题意，求导可得，从而可得函数在上单调递增，再由零点存在定理即可得到结果；（2）根据题意，构造函数设，然后分与讨论，利用导数代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当时，．，令，则，当时，，函数在上单调递增．由，，使得．当时，单调递减；当时，单调递增．又，有两个零点．（2）存在，使得当时，，即存在，使得当时，．设．（i）当时，设．．在上单调递增，又，在上单调递增．又，在上恒成立．．当时，．取，当时，恒成立．当时满足题意．（ii）当时，设．．在上恒成立，在上单调递增．又在上恒成立．设．在上恒成立，在上单调递减．又在上恒成立．故恒成立，不合题意．综上，的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数研究不等式恒成立问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，分类讨论计算.1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.2．（2024·河南·模拟预测）已知函数．(1)求的极值；(2)若时，恒有，且，求实数的取值范围．【答案】(1)的极小值为，没有极大值(2)【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，结合基本初等函数的单调性即可得解；（2）先由有意义判断得，再利用同构法得到，利用导数可进一步得到，再分类讨论与，结合条件与的单调性即可得解.【详解】（1）因为，所以，因为在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，单调递减，当时，单调递增，又，所以当时，取得极小值，没有极大值.（2）由有意义可得，又，则，因为，所以，即，因为，所以，所以，由（1）知，在上单调递增，所以，则，令，则，当时，单调递增，所以，所以；若，则，在中，令，得，这显然不成立，所以不满足题意；若，由，得，则，即.所以由，得，即，因为，所以；综上，的取值范围是.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立；（2）恒成立.重难点题型二：分离参数法+函数最值例3．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求.【详解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函数在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，又由，可得，..故选：A.【点睛】思路点睛：由题意问题转化为，，构造函数，利用导数求出的最小值，即只要.例4．（22-23高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以在上有解，且，所以，，令，则，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，且，所以当时，由最大值，即.故选：D例5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数．(1)当时，证明：；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构建函数，，，利用导数判断函数单调性，结合函数单调性分析证明；（2）构建函数，结合偶函数性质分析可知：当时，，分情况讨论的取值范围，根据恒成立问题结合函数单调性分析求解.【详解】（1）记，，则，因为，则，可得，可知在上单调递增，则，即，；当时，等价于，记，，则，可知在上单调递增，则，即，；综上所述：当时，．（2）由题意可知：等价于，记，可知的定义域为，则，可知为定义在内为偶函数，所以题设等价于当时，，（i）当时，，不合题意；（ⅱ）当时，因为，整理得，①当时，由（1）可知：，，则，可得又因为，可知存在，使得，因此当，即不成立，不合题意；②当时，可得，记，由（1）可知：，，可得，，可得，因为，则，，由（1）可得，则，可得，可知在单调递减，则恒成立，符合题意；综上所述：实数a的取值范围是．【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．1．（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案.【详解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以所以.故选：C.2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围.【详解】由题意知在上恒成立，所以在上恒成立.令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递琙，所以，所以，解得，即的取值范围是.故选：C.3．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）设函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（2）分离参数，将问题转化为对于恒成立，构造函数利用导数求解函数的最值即可求解.【详解】（1）时，，则，，故，所以直线方程为，即；（2），当时，的最大值为，对于恒成立，则，即，，当时，不等式成立，当，即对于恒成立，令，则，于是当时，，递增；在，，递减，，因此

的取值范围为【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.重难点题型三：缩小范围+证明不等式例6．（2024·四川·模拟预测）已知函数.(1)若，求的值；(2)若有2个零点，证明：.【答案】(1)0；(2)证明见解析.【分析】（1）构造函数，求导，结合的范围分类讨论，即可根据函数的最值求解，（2）首先将不等式变形为，结合函数的两个零点，进一步将问题转化为，利用换元法构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求证.【详解】（1）令，则.①当时，知在上单调递增.又，则.当时，由于单调递增，则，所以在上单调递增.又，所以当时，，即，不符题意.②当时，.可知当时，；当时，.所以当时，取得极小值，也即为最小值，该最小值为.所以，即，不等式成立.③当时，可时，，故不恒成立，不符题意.综上所述，的值为0.（2）欲证，只需证，即证明，因为，两式相减，得，整理得，所以，只需证明不等式，即证明，即证明，不妨设，令，则，只需证明，即证明即可，令，则，又令，则，所以，当时，单调递减，即单调递减，则，则时，单调递增，则，所以，原不等式成立，故不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.例7．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函数.(1)是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；(2)若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）【答案】(1)存在(2)证明见解析【分析】（1）首先确定函数定义域是，求出导函数，确定出在时，，时，，因此确定值使得时，时，恒成立，从而恒成立即得；（2）由（1）得出且时，的两个极值点是1和，因此有，引入函数，再利用导数证得即得证．【详解】（1）因为，则的定义域为，进一步化简得：令，则在上单调递增，且，所以时，时，要使得单调递增，则在上恒成立当时，恒成立当时，，当时，，不合题意当时，，当时，，不合题意综上：.（2）由（1）可得且，极值点为与1，所以令当时，单调递增当时，单调递减，所以，即成立.【点睛】方法点睛：证明与极值有关的不等式，一般先利用导数求得极值（本题中要求得极大值与极小值的和，可以不必区分哪个是极大值，哪个是极小值），然后引入新函数，再利用导数求出此函数的最值，从而证得不等式成立．1．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数，且恒成立．(1)求实数a取值的集合；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导得，分时和讨论，易得在上单调递减，在上单调递增，故，进而求得；（2）由变形得在时恒成立，则原不等式放缩为证，构造，，求导得，再令，求得，通过研究的正负确定的单调性，再由的正负判断的单调性，结合即可求证.【详解】（1）．当时，注意到，不合题意；当时，由，得；由0，得．∴在上单调递减，在上单调递增，∴时，函数取得唯一极小值即最小值，因为恒成立且，∴；解得．∴实数a取值的集合是．（2）证明：由（1）可知：时，，即，变形得在时恒成立．要证明：，只需证明：，即证明．令，．，令，，令，解得．当时，，函数单调递减，当，，时单调递增．即函数在上单调递减，在上单调递增．而．．∴存在，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．当时，，单调递增．又，，∴对，恒成立，即．综上可得：不等式成立．【点睛】方法点睛：本题考查由函数恒成立求参数范围，由导数证明不等式.由函数恒成立求参数范围一般可采用分离参数法，此法适用于后续构造函数能利用导数进行极值最值求解的情况，也可直接求导，对参数进行分类讨论，由极值或最值求出参数范围.由导数证明不等式一般采用构造函数法，放缩法等，本题中放缩是关键，对于相对复杂的涉及指数和对数的函数，往往还涉及二阶导数，解题的总体思路是，由低阶导数确定上一层函数的增减性与正负值，进而确定原函数的增减性，极值与最值.2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数且恒成立.(1)求实数a取值的集合；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）对求导，讨论和两种情况下的单调性，求出的最大值，结合及恒成立，即可求出的值；（2）利用（1）的结论，要证明，只需要证明：，即，构造函数，二次求导，判断函数的单调性，结合和的值即可证明结论．【详解】（1）．当时，，在上单调递增，当时，，这与矛盾，不合题意；当时，由得；由得．∴在上单调递增，在上单调递减，∴时，函数取得唯一极大值即最大值，又∵且，∴，解得．∴实数a取值的集合是．（2）由（1）可知：时，，即对时恒成立．∴要证明：，则只需要证明：，即．令，．，令，，令，解得．当时，，函数单调递减，当时，，单调递增．即函数在内单调递减，在上单调递增．而．,.∴存在，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．当时，，单调递增．又，，∴对，恒成立，即．综上可得．【点睛】解答有关不等式恒成立的常见答方法：（1）分离参数法；（2）转化为求函数最值；（3）数形结合；（4）对参数分类讨论.重难点题型四：分离函数+数形结合例8．（2024·江苏徐州·一模）（多选题）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．当时，有唯一零点B．当时，是减函数C．若只有一个极值点，则或D．当时，对任意实数，总存在实数，使得【答案】ABD【分析】对于A：求导，确定单调性，然后利用零点存在定理判断；对于B：求导，利用导数研究函数单调性；对于C：直接验证时的极值情况；对于D：求导，作出的图象，观察图象可得.【详解】对于A：当时，，令，得，令，得，即在上单调递增，又，，由零点存在定理可得在上有唯一零点，即有唯一零点，A正确；对于B：，令，得，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，又当时,，所以恒成立，即当时，是减函数，B正确；对于C：当时，由B知，即，所以，即在上单调递减，无极值，C错误；对于D：当时，，，令，得，令，则，当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，所以，即恒成立，所以单调递减，又，所以，所以在上单调递减，且当时，，当时，，可得的大致图象如下：由图可知对任意实数，总存在实数，使得，D正确；故选：ABD.例9．（23-24高三上·山东日照·开学考试）（多选题）已知函数，则（

）A．函数只有两个极值点B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为C．方程共有4个实根D．若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为【答案】ACD【分析】利用导数研究的单调性、极值并画出函数图象，利用函数交点、数形结合判断各项正误即可.【详解】A：对求导得：，当或时，，当时，，即在，上单调递减，在上单调递增，因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；B：由上分析，曲线及直线，如下图，

由图知：当或时，直线与有2个交点，所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；C：由得：，解得，令且，由图有两解分别为，，所以或，而，则，则有两解；又，由图知也有两解，综上：方程共有4个根，对；D：因为直线过定点，且，，，记，，，所以，对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数研究函数性质并画出图象，利用函数的交点研究方程的根、不等式的解集.例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．【解析】（1）根据题意可知的定义域为，，令，得．当时，时，，时；当时，时，，时．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）依题意，，即在上恒成立，令，则．对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，则两个零点一正一负，设其正零点为，则，即，且在上单调递减，在上单调递增，故，即．令，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，又，故，显然函数在上是关于的单调递增函数，则，所以实数的取值范围为．1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对于任意的实数x，都有成立，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对进行分类讨论，利用分离常数法、导数与切线等知识来求得的取值范围.【详解】当时，，即，所以，，当时等号成立，所以；当时，成立；当时，，即，所以，设，所以曲线在处的切线为，要使时成立，则需，即．综上所述，．故选：B【点睛】求解不等式恒成立问题，如果不等式含有参数，可以考虑利用分离参数法来进行求解，也可以考虑转化法来进行求解，将问题转化为两个容易求解的函数，然后结合导数等知识来求得参数的取值范围.2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为．【答案】【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.【详解】令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，得，而，令，则，所以，若，如图作出函数的图象，

由函数图象可知，方程有唯一实数根，即，由，得，即，当时，，即，又，，所以，所以不成立，即当时，不恒成立，综上所述，的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造