专题09函数的奇偶性

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题09函数的奇偶性№考向解读专题09函数的奇偶性№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第三张章函数的概念及性质专题09函数的奇偶性→➊考点精析←1函数奇偶性的概念①一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.②一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.2性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．3．奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．4．用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数5判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x),看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.对于复合函数Fxg(x)f(x)F偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数6关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．→➋题型突破←【题型一】对函数奇偶性概念的理解角度1函数奇偶性的概念1．（2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误；故选：C2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1,2a]上的偶函数，那么a+b【解析】依题意得f(−x)=f(x)，∴b=又a−1=−2a(奇偶函数的定义域关于原点对称)，∴a=13，3.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：13【解析】根据奇函数的定义可知f(−x)=−f(x)，则(1)，(2)正确；对于3，对于(4)，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0,则(4)不正确，故答案为：角度2判断函数的奇偶性情况1具体函数的奇偶性判断4.函数f(x)=4−x2|x+3|−3【解析】要使函数有意义，则4−x2≥0|x+3|−3≠0解得−2<x<0或0<x<2，则定义域关于原点对称．此时x+3=x+3，则函数f∵f−x∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要；5.（2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数.(1)若，判断的奇偶性并加以证明.(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），当时，，定义域为R，此时，所以为奇函数，当时，定义域为，且，所以为奇函数，综上：为奇函数.（2）,即，在上恒成立，整理为在上恒成立，令，当时，，所以，故实数的取值范围为.情况2抽象函数的奇偶性判断6．（2023·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【解析】由已知的定义域为R，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以为偶函数，又，，又，所以，所以不为奇函数，故选：B．8.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(−x)是奇函数B.f(x)|f(−x)|是奇函数C.f(x)−f(−x)是奇函数D.f(x)+f(−x)是奇函数【解析】方法一定义法A选项：设F(x)=f(x)f(−x)，则F(−x)=F(x)为偶函数．B选项：设G(x)=f(x)|f(−x)|，则G(−x)=f(−x)|f(x)|.∴G(x)与C选项：设MxD选项：设N(x)=f(x)＋故选C.方法二取特殊函数排除法令fx=x，可知Fx=f令fx=x2，可知可知Nx=fx＋【点拨】①判断函数的奇偶性，一般利用定义法：先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x)，看下与②判断抽象函数的奇偶性时，可以通过“取特殊函数排除法”.③一般情况下，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数.9．（多选题）（2023·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是非奇非偶函数【答案】BC【解析】对于A，由且，得，则的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A错误;对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，，，当x<0时，也有，所以为奇函数，故B正确;对于C，由且，得，即，的定义域关于原点对称，此时，所以既是奇函数又是偶函数，故C正确;对于D，由且，得且x≠0，的定义域关于原点对称，因为，，所以函数为奇函数，故D错误.故选:BC.【题型二】函数奇偶性的运用角度1已知函数奇偶性，求值问题9.设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0⇒20＋所以当x≥0时，f又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−(21+2×1−1)=−3【点拨】若奇函数y=f(x)定义域内为I，且0∈I，则有f0=0.10.若函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，则f−1=【解析】∵函数F(x)=f(x)−2x∴F(1)+F(−1)=0，即f(1)−2+f(−1)−2=0，则f(1)+f(−1)=4①，∵G(x)=f(x)+(1∴G(1)=G(−1)，即f(1)+12=f(−1)+2，则f(1)−f(−1)=由①−②解得f(−1)=4−角度2判断函数的图像11.函数f(x)=xA． B． C．D．【解析】函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(−x)=−(或由y=x3,y=即函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又f1=1故选：B．【点拨】选择题中判断函数的图像，可采取排除法，主要是研究函数性质(定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项！其中取特殊值排除法最简单.12．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，为奇函数，所以C错误；当时，，所以A，D错误，B正确.故选：B.13．（2023·全国·高一课时练习）函数的图象不可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若的图象经过原点，可得，即，，若的图象关于轴对称，可得为偶函数，即，可得，即，故C不可能成立；当，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，且时，为连续函数，故A可能成立；当，，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，且时，为增函数，时，为增函数，故B可能成立；若，则，当，，即有，，可得为偶函数，其图象关于轴对称，且时，为增函数，时，为增函数，故D可能成立．故选：C．14．（2023·全国·高一单元测试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；当时，，易知在上是增函数，排除A．故选：D．角度3已知奇偶性求表达式15．（2023·全国·高三竞赛）已知是R上的奇函数，是上的偶函数.若,则（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由是奇函数，有.又是偶函数，有.在中，以代，得,即.故.选A.16．（2022·福建·泉州鲤城北大培文学校高一期中）函数f（x）是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为(1)求f（1）的值∶(2)用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；(3)求当x<0时，函数的解析式.【解析】(1)；(2)证明：任取，则，所以，即，所以在上是减函数；(3)任取，则，故，即时，函数的解析式为.【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合17.已知奇函数y=f(x)在(−∞,0)为减函数，且f(2)=0，则不等式(x−1)f(x−1)>0的解集为()A．{x|−3<x<−1} B．{x|−3<x<1或C．{x|−3<x<0或x>3}【解析】由题意画出f(x)的草图如下，因为(x−1)f(x−1)>0，所以(x−1)与f(x−1)同号，由图象可得−2<x−1<0或0<x−1<2，解得−1<x<1或1<x<3，故选：D．【点拨】涉及到函数奇偶性和单调性综合的题目，多利用数形结合的方法进行理解，对每个条件要等价转化，做到有根有据的，不能“想当然”.18.．（2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，故，故当x＞0时，．（2）由，得，故或．如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，故不等式的解集为．19.设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)A．13,1B．(−1,32【解析】方法一∵f(x)=lg(∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg3x−2则3x−22+1>x−42+1方法二根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)设t=x2+1在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt则f(x)=lg(x2+1)f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x<−1或x>32，故选：【点拨】①若函数y=f(x)是偶函数，则函数在y轴两侧的单调性是相反的，若函数y=f(x)是奇函数，则函数在y轴两侧的单调性是相同的，②若函数y=f(x)是偶函数，在[0,+∞)上递增，则求解f(x2)>f(③遇到类似f(3x−2)>f(x−4)的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.【题型四】已知函数的奇偶性求参数20．（2023·全国·高一课时练习）若函数是奇函数，则实数a的值为___________.【答案】1【解析】若是奇函数，则有.当时，，则，又当时，，所以，由，得，解得a=1.故答案为：1.21．（2023·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，则_____．【答案】2【解析】当时，，，又为奇函数，，而当时，，所以．故答案为：222．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，则函数在上的最小值为______．【答案】－6【解析】因为函数是定义在上的偶函数，故，即，则解得，所以，，所以，，则，故答案为：6【题型五】抽象函数的奇偶性问题23．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．为奇函数C．在区间上有最大值D．的解集为【答案】ABD【解析】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.故选：ABD．24．（2023·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．【解析】证明：函数的定义域为，关于原点对称，因为函数对任意，都有，令，则，得，令，则，所以，即，所以为奇函数．25．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.【解析】（1）因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），所以令a=b=0，得f（0）=0.（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（xx）=f（x）+f（x）.即f（x）+f（x）=f（0），而f（0）=0，∴f（x）=f（x），即函数y=f（x）是奇函数.（3）设x1>x2，则x1x2>0，f（x1x2）<0而f（a+b）=f（a）+f（b），∴f（x1）=f（x1x2+x2）=f（x1x2）+f（x2）<f（x2），∴函数y=f（x）是R上的减函数.【题型六】奇偶性与单调性的综合运用26．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为满足，对任意的有，所以在上单调递减且为偶函数，则由可得，即故选:A27.（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．28．（2022·全国·高一单元测试）设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.由函数为偶函数，得，故不等式可化为.又函数在上单调递增，，，所以，即,故A错误，B正确；由于，函数为偶函数，且在上单调递增，故，故C错误；由题意无法确定的正负，即的正负情况不定，故D错误，故选：B.另由题意，设，，，且，此时，故排除A；，，此时，，故排除C，D，故选：B.→➌专题精练←1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，在上单调递增；又是定义在上的偶函数，在上单调递减；，由得：，则，解得：，的解集为.故选：A.2．(2023·湖北高一开学考试)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则的值为()A． B．0 C．4 D．2【答案】A【解析】∵是上的奇函数，∴，即，．，∴．故选：A．3．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[1，0]上是减函数，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函数 B．减函数C．先增后减的函数 D．先减后增的函数【答案】A【解析】因为函数f（x）满足f（x+1）=，所以，所以是以2为周期的周期函数，又因为是定义域为R的偶函数，且在[1，0]上是减函数，所以在[0，1]上是增函数，那么f（x）在[2，3]上是增函数，故选：A4．（2023·全国·高一课时练习）偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，化简得，又因为a为正实数，所以.故选：B.5．（2023·浙江·玉环中学高一阶段练习）定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，故，又当时，，故，故故选：C6．(2022·江苏高一开学考试)(多选)下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是()A． B．C． D．【答案】AB【解析】因为，定义域为，且，所以函数是奇函数，设，则，所以时，，又因为函数是奇函数，所以函数在上单调递减，故选项A正确；由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，故选项B正确；而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是奇函数，设，则，所以时，，所以函数在上单调递增，又因为函数是奇函数，，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.故选：AB.7．（2023·全国·高一课时练习）已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为是定义在R上的偶函数，所以，对于A，因为，所以为偶函数，故满足题意；对于B，因为，所以为奇函数，故不满足题意；对于C，易得为偶函数，故满足题意；对于D，因为，所以不为偶函数，故不满足题意；故选：AC8．（2022·全国·高一课时练习）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】BD【解析】对于A选项，因为且，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确故选：BD9．（2023·全国·高一单元测试）已知函数，下列判断正确的是（

）A．是偶函数B．若，则当时，取得最小值C．当时，的值域是D．当时，在上单调递增【答案】ACD【解析】，则定义域为，且，即，故函数为偶函数，故A正确；当时，，当且仅当时取到等号，故的值域是，故B不正确，C正确．当时，，当时，，在上单调递增；当时，时，，设，则，，，，单调递增；当，时，，首先在上单调递增，又由得（负值舍去），因此时，，所以是增函数，综上所述，当时，在上单调递增，故D正确．故选：ACD．10．(2022·上海市杨浦高级中学高一期末)已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________.【答案】【解析】由已知是定义在上的偶函数，故，即，或，且函数图象关于轴对称，又，故，因为关于直线对称，故，，故答案为：.11．(2022·上海高一期中)已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，______．【答案】.【解析】当时，，所以，因为是奇函数，所以.故答案为：.12．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）【答案】＞【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，．又，所以，即．故答案为：＞.13．(专题02二次函数20202021学年新教材高一数学寒假辅导讲义(沪教版2020))函数(常数，R)是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________【答案】【解析】，定义域为，，因为函数为偶函数，所以，所以，即或.当时，，值域不是，舍去.当时，，所以，则.故答案为：14．(2022·南昌市新建区第一中学高一开学考试)若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，_________.【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，则，故，时，，则.故答案为：.15．（2022·全国·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）的定义域是，关于原点对称，又，所以是奇函数．（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．（3）因为的定义域为，所以，则既是奇函数又是偶函数．（4）方法一（定义法）

因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称．①当x＞1时，，所以；②当时，；③当时，，所以．综上，可知函数为偶函数．方法二（图象法）

作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．16．（2022·全国·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明．【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数所以，解得．经检验，当时，是上的奇函数，满足题意．又，解得，所以．（2）在上为增函数．证明如下：在内任取且，则，因为，，，，所以，即，所以在上为增函数．17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数满足，当时，成立，且．(1)求，并证明函数的奇偶性；(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）令，