2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列由“花瓣”构成的图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列调查中，适合用抽样调查的是（）A．订购校服时了解学生衣服尺寸 B．了解全班学生上学的交通方式 C．了解神舟七号飞船零部件的质量 D．了解我国初中生视力情况3．（2分）下列事件中，随机事件是（）A．太阳从西方升起，东方落下 B．没有水分，种子发芽 C．买一张电影票，座位号是偶数号 D．13个人中至少有2人生肖相同4．（2分）为了直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，宜选用（）A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．统计表5．（2分）2023年南京市有近6.6万人报名参加中考．为了解这些考生的数学成绩，从中抽取3000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是（）A．近6.6万名考生是总体 B．每位考生的数学成绩是个体 C．3000名考生是总体的一个样本 D．样本容量是6.6万6．（2分）一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（）A．92°，88°，88° B．102°，88°，102° C．92°，88°，92° D．92°，78°，92°7．（2分）如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为（）A．15° B．20° C．22.5° D．30°8．（2分）截止到2023年12月，南京市已经开通了两类地铁线——市区地铁线（1号，2号，3号，4号，7号，10号）和市域地铁线（S1，S3，S6，S7，S8，S9）．如图是某月连续13天两类地铁线日客运量的折线统计图．关于这13天的描述：①在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是262.8万人，最少的一天总人数是165.4万人；②对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量；③市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的6～7倍；④市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）9．（2分）日期“20240402”中，数字“4”出现的频率是．10．（2分）一个不透明的袋中装有2个红球，3个黄球，4个白球，这些球除颜色外其余都相同．搅匀后从袋中摸出一个球，摸到球的可能性最大．11．（2分）平面直角坐标系中，点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是．12．（2分）已知▱ABCD的周长为18，若BC＝2AB，则AD的长为．13．（2分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE．若∠EAD＝35°，则∠CAD＝°．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，O，E分别为AC，BC的中点．若OE＝3，OD＝5，则BC的长为．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E．若BE＝CE，则∠BAE＝°．16．（2分）用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：．17．（2分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若AB＝5，AD＝10，BF＝8，则▱ABCD的面积为．18．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AD＝7，DC＝24，AB＝15．M是AD边上的定点，N是BC边上的动点，O是MN的中点．点N从点B运动到点C的过程中，点O运动的路径长为．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）19．（6分）一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n100200300500100020003000摸到白球的次数m6512417830260111981803摸到白球的频率0.650.620.5930.6040.6010.5990.601（1）从该盒中任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为；（精确到0.01）（2）估计盒中白球的个数是；（3）以下数学实验及结果：①掷一枚正六面体骰子，6点朝上；②从标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片；③抛一枚硬币，正面朝上．其中，大量重复实验后，结果出现的频率与（1）中的估计值最接近的是.（填序号）20．（6分）如图，在▱ABCD中，已知点E、F在对角线边BD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．21．（8分）某校组织八年级学生参加消防知识竞赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计图表．消防知识竞赛成绩的频数分布表组别成绩x/分频数Ax＜602B60≤x＜706C70≤x＜809D80≤x＜90aE90≤x≤10015请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，并补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是°；（3）已知该年级有400名学生参加这次竞赛，若成绩在80分以上（含80分）的为合格，估计该年级成绩合格的有多少人？22．（7分）按下列要求在平面直角坐标系中画图并解答．（1）画出△ABC关于点O对称的△A1B1C1；（2）若△ABC绕某点逆时针旋转后，边AB的对应线段为A2B2（点A与点A2对应）．①补全△A2B2C2；②该点（旋转中心）的坐标是．23．（8分）如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F．（1）求证DE＝CF；（2）若DE＝1，则该正方形的边长为．24．（10分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点．求证．证法1：延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD．∵O为AB的中点，.（依据是）．∵DC＝BC，∠ACB＝90°，∴AC垂直平分DB．∴AB＝．∴．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．25．（10分）如图，已知线段a，b，c，用直尺和圆规按下列要求分别作一个平行四边形ABCD（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．（1）▱ABCD的一边为a，两条对角线分别为b，c；（2）▱ABCD的相邻两边分别为b，c，其高为a．26．（9分）数学概念如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．初步认识（1）如图①，矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形．深入思考（2）如图②，矩形ABCD中，E是边AB上的一点．①用直尺和圆规作矩形ABCD的内接菱形EFGH，使点F，G，H分别在BC，CD，DA上；（保留作图痕迹，不写画法）②已知AE＝2，BE＝1，AD＝a．若矩形ABCD存在以点E为顶点的内接菱形，则a的取值范围是．

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形由此即可判断．【解答】解：A、D中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故AD不符合题意；B、图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故B符合题意；C、图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故C不符合题意．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．2．【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、订购校服时了解学生衣服尺寸，适合用普查，故A不符合题意；B、了解全班学生上学的交通方式，适合用普查，故B不符合题意；C、了解神舟七号飞船零部件的质量，适合用普查，故C不符合题意；D、了解我国初中生视力情况，适合用抽样调查，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、太阳从西方升起，东方落下是不可能事件，不符合题意；B、没有水分，种子发芽是不可能事件，不符合题意；C、买一张电影票，座位号是偶数号是随机事件，符合题意；D、13个人至少有2人生肖相同是必然事件，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．【解答】解：为了直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，宜选用扇形统计图．故选：A．【点评】本题考查统计图的选择，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、近6.6万名考生的数学成绩是总体，故A不符合题意；B、每位考生的数学成绩是个体，故B符合题意；C、3000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题题意；D、样本容量是3000，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．6．【分析】根据平行四边形的判定定理判定即可．【解答】解：当∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°时，∴AD∥BC，AB∥CD，∴ABCD是平行四边形，∴四个选项中只有B选项满足题意，故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．7．【分析】如图，求出∠BAE＝30°；证明AB＝AE；求出∠ABE，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°；∵△ADE为等边三角形，∴AE＝AD，∠EAD＝60°；∴AB＝AE，∠BAE＝30°，∴∠ABE＝∠AEB＝＝75°，∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°，故选：A．【点评】该题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握正方形、等边三角形等几何知识点，并能灵活运用．8．【分析】根据折线统计图中的数据进行计算并判断即可．【解答】解：①由统计图可知：在这13天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是232.9+29.9＝262.8（万人），最少的一天总人数是143.5+21.9＝165.4（万人），故①正确；②由统计图可知：对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日（周一到周五）的日客运量，故②正确；③市区地铁线平均日客运量不一定是市域地铁线的6～7倍，比如周三应当是207÷25≈8倍，故③错误；④由统计图可知：市区统计图的纵坐标的单位长度是50万人，市域统计图的单位长度是10万人，且市区的折线图波动比市域的折线图波动幅度大，∴市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大，故④正确，综上，正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查的是折线统计图，有理数的乘法和方差，从折线统计图中获取已知信息是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）9．【分析】根据频率的计算公式计算即可．【解答】解：由题意知，数字“4”出现的频率是＝0.25．故答案为：0.25．【点评】本题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率的计算方法．10．【分析】根据球的个数即可判断．【解答】解：由题意知，袋中白球的个数最多，所以搅匀后从袋中摸出一个球，摸到白球的可能性最大．故答案为：白．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．11．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．【分析】由平行四边形的性质可得AB＝DC，AD＝BC，2（AB+BC）＝18，即可求解．【解答】解：∵▱ABCD的周长为18，∴AB＝DC，AD＝BC，2（AB+BC）＝18，∵BC＝2AB，∴AB＝3，BC＝6，∴AD＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．13．【分析】根据所给旋转方式可得出∠EAC的度数，再结合∠EAD＝35°即可解决问题．【解答】解：因为△ADE由△ABC绕点A逆时针旋转100°得到，所以∠CAE＝100°．又因为∠EAD＝35°，所以∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝100°﹣35°＝65°．故答案为：65°．【点评】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．14．【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理即可得到结论．【解答】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∵O，E分别为AC，BC的中点，∴AC＝2OD，AB＝2OE，∵OE＝3，OD＝5，∴AB＝6，AC＝10，∴BC＝＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题的关键．15．【分析】由菱形ABCD，得AB＝BC，AD∥BC，由AE⊥BC，BE＝CE，根据线段垂直平分线的性质，可得AB＝AC，即可证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝60°，继而求得∠BAE的度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC，∠AEB＝90°，∴AB＝AC＝BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，故答案为：30．【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”第一步应假设：这两条直线不平行，故答案为：这两条直线不平行．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．17．【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可求AB＝AF＝5，由等腰三角形的性质可得BO＝OF＝4，AE⊥BF，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【解答】解：如图，设AE与BF交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理：AB＝AF＝5，∴DF＝5＝AF，∵AE平分∠BAD，AB＝AF，∴BO＝OF＝4，AE⊥BF，∴AO＝＝3，∴S△ABF＝•BF•AO＝12，∴▱ABCD的面积＝4S△ABF＝48，故答案为：48．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，求出AO的长是解题的关键．18．【分析】连接BM，CM，AC，过O作OF∥BC交BM于G，交CM于H，由三角形中位线定理可以判断，GH就是O的运动轨迹，然后根据勾股定理求出BC的长即可求出GH的长．【解答】解：连接BM，CM，AC，过O作OF∥BC交BM于G，交CM于H，如图：∵O是MN中点，GH∥BC，∴G，H分别为BM和CM的中点，∴在N点移动过程中，由三角形中位线定理可知，OG∥BC，OH∥BC，∴GH即为O的运动轨迹，∴GH＝BC，在Rt△ACD中，AC＝＝25，在Rt△ABC中，BC＝＝20，∴GH＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了轨迹，熟练运用中位线定理判断O点运动轨迹，再根据勾股定理求出轨迹的长度是本题解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）19．【分析】（1）根据频率估计摸到白球的概率即可；（2）根据摸到白球的概率估算出白球的个数即可；（3）分别计算出概率即可得出答案．【解答】解：（1）从该盒中任意摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为0.60；故答案为：0.60；（2）估计盒中白球的个数是40×0.6＝24个；故答案为：24；（3）①掷一枚正六面体骰子，6点朝上的概率为；②从标有1，2，3，4，5的五张卡片中随机抽一张，抽到标有奇数的卡片的概率为＝0.6；③抛一枚硬币，正面朝上的概率为；其中，大量重复实验后，结果出现的频率与（1）中的估计值最接近的是②；故答案为：②．【点评】本题考查了频率估计概率：利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．20．【分析】连接AC交BD于O点，依据平行四边形的对角线互相平分得到AO＝OC，OB＝OD，然后再证明OE＝OF，最后依据对角线相互平分的四边形是平行四边形进行证明即可．【解答】证明：连接AC交BD于O点．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO．又∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．21．【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出D组人数，继而可补全图形；（2）用360°乘以E组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．【解答】解：（1）样本容量为6÷12%＝50，则a＝50﹣（2+6+9+15）＝18，补全图形如下：故答案为：18；（2）扇形统计图中“E组”所对应的圆心角度数是360°×＝108°，故答案为：108；（3）400×＝264（人），答：估计该年级成绩合格的约有264人．【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．22．【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）①根据旋转的性质作图即可．②连接AA2，BB2，CC2，分别作线段AA2，BB2，CC2的垂直平分线，相交于点M，则△ABC绕点M逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）①如图，△A2B2C2即为所求．②连接AA2，BB2，CC2，分别作线段AA2，BB2，CC2的垂直平分线，相交于点M，则△ABC绕点M逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，由图可知，点M的坐标为（0，﹣1），∴该点（旋转中心）的坐标是（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．23．【分析】（1）连接BF，由四边形ABCD是正方形，可得∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，可得DE＝EF，由EF⊥BD，得∠FEB＝90°，进而证明Rt△BEF≌Rt△BCF可得EF＝CF，等量代换即可得DE＝CF；（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°，∵EF⊥BD，∴∠FEB＝90°，在Rt△BEF和Rt△BCF中，，∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），∴EF＝CF，∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°，∴∠DFE＝45°，∴DE＝EF，∴DE＝CF；（2）解：∵DE＝EF＝CF＝1，∠DEF＝90°，∴DF＝DE＝，∴DC＝CF＝DF＝1+，∴该正方形的边长为1+．故答案为：1+．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．24．【分析】证法1：延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD．．依据是三角形的中位线定理得到CO＝AD，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AD，即可证得结论；证法2：延长BO到点E，使OE＝OC，怎么四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可证得结论．【解答】解：证法1：延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD．∵O为AB的中点，∴CO＝AD．（依据是三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半），∵DC＝BC，∠ACB＝90°，∴AC垂直平分DB．∴AB＝AD∴CO＝AB；证法2：延长BO到点E，使OE＝OC，∵O为AB的中点，∴OA＝OB．∴四边形ACBE是平行四边形．∵∠ACB﹣90°，∴四边形ACBE是矩形，∴AB＝CE．∵CO＝CE，∴CO＝AB．【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）结合平行四边形的判定与性质，任意作射线AM，以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线AM于点C，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，再作线段c的垂直平分线，以点O为圆心，线段c的一半的长为半径画弧，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，在AC的上方交于点B，以点O为圆心，线段c的一半的长为半径画弧，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，在AC的下方交于点D，连接AB，BC，CD，AD即可．（2）结合平行四边形的判定与性质，任意作直线MN，在直线MN上任取一点E，过点E作直线MN的垂线，以点E为圆心，线段a的长为半径画弧，交垂线于点A，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线MN于点B，以点B为圆心，线段c的长为半径画弧，交射线EN于点C，最后以点A为圆心，线段c的长为半径画弧，以点C为圆心，线段