第19讲数列通项教师版

第19讲数列通项求法【必备知识】1公式法：等差数列或者等比数列2累和法：或（）备注：3累积法：或（）备注：4关系式法：已知或求：备注：5构造法*：（1）同取倒数：（2）构造等比：（不动点法）（3）构造等差：（同除）【题型精讲】【题型一累和法】【题1】已知数列满足（），且，求数列的通项公式．【答案】（）【分析】利用累加法求解即可.【详解】因为，所以（），…，，所以（）（累加），又，所以（），因为当时，，所以（）．【题2】已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用等差数列通项公式将用，表示，可得通项公式，利用累加法结合等比数列求和公式求得的通项公式；（2）由于，可用分组求和算得的前n项和.【详解】（1）设的公差为，因为，所以，所以.因为，所以当时，，又当时满足此式，所以.（2）由（1）得，所以.【题3】已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）根据题意可得；当时，，又符合上式，所以；（2），【题4】已知数列满足且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题设得，应用累加法求通项公式即可；（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求.【详解】（1）由题设，即，而，所以，且，所以，显然也满足上式，故.（2）由（1）知：，所以，则，两式相减得：，所以.【题型二累乘法】【题1】已知数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，并求出的取值范围.【答案】(1)（）(2)，答案见解析【分析】（1）将已知条件变形为，运用累乘法即可求得结果.（2）运用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，（），所以，（），所以，，，…，，（且），所以（且），整理得：（且），即，（且），又因为，所以，（且），当时，适合上式，所以，（）.（2）由（1）知，，所以，即.【题2】在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．(1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式；(2)数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)答案详见解析；(2)答案详见解析【分析】（1）选①，利用累乘法求得；选②，利用求得.（2）选①，利用裂项求和法求得；选②，利用等比数列前项和公式求得.【详解】（1）选条件①：，，解法一：由，，得，，当时，，所以，又也符合，所以．解法二：由，得，所以数列是常数列，所以，所以．选条件②，，时，，又，显然不符合上式，所以.（2）选条件①：，所以．因此，所以．选条件②，，当时，，又，符合，所以．【题3】已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)已知是公比为的等比数列，，若数列是递增数列，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由累乘法可求出数列的通项公式；（2）分类讨论，即可得出答案.【详解】（1）由可得，当时，，，将以上各式相乘可得：，当时，成立；所以（2）因为是公比为的等比数列，，若，则，数列不是递增数列，若数列是递增数列，恒成立，则．故的取值范围为：.【题4】已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【分析】(1)利用数列递推式中的累乘法求通项.(2)利用等比数列的公式法求和.【详解】（1）由可得，所以，，，…，，以上各式左右两边分别相乘可得，即，所以，公式对也适合，所以.（2）因为，所以数列为等比数列，且公比为2，首项为1，通项由公式法可得数列的前项和．【题型三关系式法】【题1】已知数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列前项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据与的关系，即，和等比数列的性质进而求出数列的通项公式；（2）由结合(1)并列项得，再根据裂项求和得，进而即可证明.【详解】（1）当时，，两式相减得，，又，，．所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．（2）证明：，因为，所以，因为，所以．【题2】已知数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式；（2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围．【详解】（1）因为数列的前n项和满足，当时，，两式相减得：，即，当时，，解得：，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，设，因为，所以单调递减，则，所以，所以实数k的取值范围是．【题3】已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据公式，即可求解；（2）根据（1）的结果化简数列，再利用裂项相消法求和，根据数列的单调性，即可证明.【详解】（1）当时，，得，当时，，则，，即，两边同时除以，得，即数列是首项为，公差为1的等差数列，，即，所以数列的通项公式；（2），即，，，即，随着的增大，增大，所以的最小值为，随着的增大，无限接近1，所以.【题4】已知各项均为正数的数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接利用数列的递推关系式，利用的关系求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式；（2）根据裂项求和即可求解.【详解】（1）由得，故两式相减可得：，化简得，由于各项均为正数，所以，故（常数），又当时，，由于，故，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；故．（2）由（1）得：时，；所以当时，；当也符合上式，故【题5】已知数列满足：.(1)求出数列的通项公式；(2)已知数列满足，试求数列前n项和的表达式.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用求解即可，注意检验的情形；（2）由（1）知，，当时，，当时，恒成立，从而可去绝对值，再采用分组求和法，即可得解.【详解】（1）因为，所以当时，，两式相减得，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，，当时，，当时，恒成立，所以.【题6】数列满足，，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，，数列的前项和为，求对任意都成立的最小正整数.（参考公式：，）【答案】(1)；(2)1012【分析】（1）先写出，结合题中条件的式子，两式相减可得出与之间的递推关系，从而解决问题；（2）先分析出中各项所满足的通项公式，根据通项公式求解出，裂项求解出，从而求解出满足题意的值.【详解】（1）解：，当时，，作差，得，即.因为，，所以，满足，即为常数列，即，.（2）由题意，，即.设，，则，，.因为对任意都成立，所以，即，的最小值为1012.【题型四构造法】【题1】设数列的各项都为正数，且．(1)证明数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）由数列的各项都为正数，且，得，即，所以数列是以为公差的等差数列；（2），由（1）得，所以，则，所以.【题2】在数列中，，且，求.【答案】【分析】利用构造法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.【详解】由，得，所以数列是以首项为，公比为的等比数列.所以，即.当时，，此式也满足，故.【题3】已知数列满足，，(1)求通项公式；(2)令，求数列前项的和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用构造法求解作答.（2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和作答.【详解】（1）在数列中，，则，而，因此是以4为首项，2为公比的等比数列，，所以.（2）由（1）知，，，则有，则，所以.【题4】在数列中，，对，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明数列的前项和．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）化简已知递推关系式可证得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可整理推导得到；（2）利用裂项相消法可求得，由此可推理得到结论.【详解】（1）由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，.（2）由（1）得：，，，，，即.【题5】已知数列的前项和为，满足，(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前20项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由给定的递推公式，利用构造法求出，再求出数列通项作答.（2）利用（1）的结论，借助裂项相消法求和作答.【详解】（1）由，得，而，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，当