江西省上饶市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试题

上饶市2023—2024学年度上学期期末教学质量测试高二数学试题卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4．本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直线斜率可得答案.【详解】设直线的倾斜角为，则，因为，所以.故选：D.2.若向量，，则的值为（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算可得.【详解】由向量，，则.故选：B.3.盒子中有红球3个，黄球4个，任取3个球，则抽到2个红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式可得.【详解】盒子中有红球3个，黄球4个，从盒子中任取3个球，共有种取法，3球中抽到个红球，则有个黄球，故取法有种，由古典概型的概率公式得所求事件的概率为.故选：A4.根据与之间的一组数据求得两个变量之间的线性回归方程为，已知数据的平均值为，则数据的平均值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将代入回归直线方程，可得出的值.【详解】将代入回归直线方程可得.故选：D.5.已知椭圆，若点P在椭圆M上，，是椭圆M的左、右焦点，则的最大值为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由，再由基本不等式求解.【详解】解：由椭圆M方程可知，，且，则，当且仅当，则的最大值为：2故选：B6.某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，由题意得：，，，由全概率公式，得：，因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.故选：B.7.名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数.【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生则不同的分配方法种数为种.故选：B.8.已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合可得出，代入韦达定理求出的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设点、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意；设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，，因为，即，可得，即，所以，，可得，，所以，，则，所以，.故选：C.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若随机变量，下列说法中正确的有（）A. B.期望C.期望 D.方差【答案】AC【解析】【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.【详解】因为随机变量，则，，，由期望的性质可得，由方差的性质可得，AC对，BD错.故选：AC.10.已知，则下列结论成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】设，可得出，可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；由可判断C选项；由可判断D选项.【详解】设，对于A选项，，A对；对于B选项，的展开式通项为，所以，，B对；对于CD选项，，解得，，C错D对.故选：ABD.11.若直线与相交于点P，O为坐标原点，则的值可以为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】ABC【解析】【分析】由几类特殊情况可得ABC，由两直线互相垂直得点的轨迹，可得的范围可排除D.【详解】已知直线与，由，得.由直线，则不垂直于轴，不过原点，令，则直线恒过定点，当点与重合时，则过，，解得，此时，故A正确；由直线，直线不垂直于轴，也不过原点，令，则直线恒过定点，当点与重合时，则过，，解得，此时，故B正确；当时，，则两直线交点，此时，故C正确；当点不与重合时，设两条直线交于点，则，则交点的轨迹为以为直径的圆，且点与或重合时，都满足题意，但原点除外.且圆的圆心为的中点，圆的半径，则圆的方程为，不包含原点.由，则点也在圆上，则的取值范围为，故，故D错误.故选：ABC.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，过点的切线与双曲线的渐近线交于、两点，则下列说法正确的有（）A.双曲线的渐近线方程为 B.C.离心率 D.【答案】BCD【解析】【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断A选项；写出切线方程，求出点、的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断B选项；利用双曲线的离心率公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项，设点，则，且，易知点、，则，因为，解得，所以，双曲线的渐近线方程为，A错；对于B选项，接下来证明双曲线在点处的切线方程为，联立可得，又因为，整理可得，解得，所以，双曲线在点处的切线方程为，联立可得，即，联立可得，即，所以，，所以，点为线段的中点，即，B对；对于C选项，离心率，C对；对于D选项，，点到直线的距离为，所以，，D对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量服从正态分布，且，则______.【答案】##【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解指定区间的概率即可.【详解】随机变量服从正态分布，且，所以，所以，故答案为：14.以为圆心且与圆外切的圆的方程为______．【答案】【解析】【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程.【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为，两圆圆心距为，故，因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为.故答案为：.15.在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值______．【答案】##【解析】【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.【详解】不妨设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，则，，所以，.因此，与所成角余弦值为.故答案为：.16.如图，离心率相同两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则______．【答案】##【解析】【分析】由离心率相同，可得，由图可得，计算即可得的值.【详解】由图可得，故有，由两个椭圆离心率相同，则有，即，故，即有，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.某教育部门为了了解某地区高中学生每周的课外乒乓球训练的情况，随机抽取了该地区名学生进行调查，其中男生人．将每周课外训练时间不低于小时的学生称为“训练迷”，低于小时的学生称为“非训练迷”．己知“训练迷”中有名男生和名女生．非训练迷训练迷合计男女合计（1）根据数据完成上面的列联表；（2）判断是否有把握认为“训练迷”与性别有关．附：【答案】（1）列联表见解析（2）有，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题中信息可完善列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【小问1详解】解：根据已知条件完成的列联表如下：非训练迷训练迷合计男女合计【小问2详解】解：根据公式得，的观测值为，则，故有的把握认为“训练迷”与性别有关．18.某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会．（1）共有多少种选法；（2）若要求至少有1名队长参加，有多少种方法．【答案】18.21019.140【解析】【分析】（1）由组合的定义即可求解；（2）1：有2名队长，可以分选一名队长及分二名队长求解；法2：也可以从反面求解.【小问1详解】解：从10名运动员中选4名参赛共有种选法．【小问2详解】法1：由题意知，10名运动员中男、女队长各1名，共2名队长．若选中1名队长，则有种选派方法；若选中2名队长，则有种选派方法；∴队长中至少有1人参加，有种方法．法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女队长各1名．选派4人，若没有队长，则有种选派方法，若随机选择，则有种选派方法，∴队长中至少有1人参加，有种方法．19.已知点和圆．（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出相应的参数值，综合可得出直线的方程；（2）设点，利用中点坐标公式可得出点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程.【小问1详解】解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径，因为直线过点，且被圆截得的弦长为，所以，圆心到直线的距离为，①当直线的斜率存在时，设其方程为，即，则，解得，故直线的方程为，即；②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意.综上所述，直线的方程为或．【小问2详解】解：设点，因为，则点为线段的中点，设点，由中点坐标公式可得，可得，即点，因为点在圆上运动，则，可得，故点的轨迹方程为．20.如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，点为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理只需证明，即证EF平行且等于AB即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，而平面的法向量有现成的，无需计算，再根据两个平面的法向量求出两个平面的夹角.【小问1详解】证明：取PD中点F，连接EF、AF，因为E为棱PC的中点，所以EF为的中位线，所以，且，又，，，所以EF平行且等于AB，所以四边形ABEF为平行四边形，所以，又因为面PAD，面PAD，所以面PAD．【小问2详解】如图，取AD的中点为O，连接PO，因为，所以，又因为，平面底面ABCD且交线为AD，所以平面ABCD．建立空间直角坐标系，，，，，，设平面PBC的法向量为，则，即，令得，平面PAD即平面，其一法向量为，所以，，故平面PBC与平面PAD所成角的余弦值为．21.已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠．（1）若用方案甲，求化验次数为次的概率；（2）若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好．【答案】（1）（2）方案乙更好，利用见解析【解析】【分析】（1）若用方案甲，设化验次数为，利用独立事件的概率公式可求得的值；（2）计算出使用方案甲、乙时试验次数的期望值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：若用方案甲，设化验次数为，则可能取值为、、、、、、、、，若用方案乙，设化验次数为，则可能取值为、、、，由题意可得.所以，若用方案甲，化验次数为次