湖南省长沙市国防科学技术大学附属中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省长沙市国防科学技术大学附属中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知＜x＜，则tan为A.

B.

C.2

D.参考答案：A略2.已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】建立直角坐标系，求出向量，再根据向量数量积求结果.【详解】以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示直角坐标系，则,所以，故选B【点睛】本题考查利用坐标求向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设全集U是自然数集N，集合，则如图所示的阴影部分的集合为A. B. C. D.参考答案：C4.已知直线m,l,平面,,且m^,lì,给出下列命题:①若//,则m^l；②若^,则m//l；③若m^l,则//；④若m//l,则^。其中正确命题的个数是A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B略5.如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（

）

A．

B．

C．

D．开始i=1,S=0S=S+

输出S结束否是

2013参考答案：D略6.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11π B．7π C． D．参考答案：D考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．7.已知直角坐标原点O为椭圆C：的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：没有交点”的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x0，y0）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义知，2a=8，∴a=4，双曲线两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为×=，即=，又已知双曲线右支上的一点P（x0，y0），∴，∴=，即，∴b=2，∴c==2，则双曲线的离心率为e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．9.项数列中，，，，则等于(

)（A）16

（B）8

（C）

（D）4参考答案：D10.若集合，那么（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为

▲

。参考答案：12.如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，5]【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价为x2﹣a＜|x﹣1|，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，则f（x）=，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则等价为，即，即，解得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]【点评】本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键．13.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为_____________．参考答案：4320略14.已知向量与的夹角为，且||=3,||=2，若，且，则实数的值为____________.参考答案：略15.集合中最小整数位

.参考答案：不等式，即，，所以集合，所以最小的整数为。16.正△的边长为1，向量，且，则动点P所形成的平面区域的面积为

．参考答案：17.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/1OOmL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据有关调査，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共100人.如图是对这100人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为有_____

参考答案：15三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知长方形ABCD，，。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.椭圆以A、B为焦点，且过C、D两点.（Ⅰ）求椭圆的的标准方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。参考答案：略19.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，． （Ⅰ）求与； （Ⅱ）若，求数列的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）设的公差为，因为所以

解得或（舍），．故

，．（Ⅱ），略20.如图，建立平面直角坐标系x0y，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为f（k），求f（k）的最小值．参考答案：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．﹣（2分）由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴x==≤=10，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵炮弹的射程不小于6千米，∴∴y=kx﹣（1+k2）x2=﹣+∴f（k）=（）∴f（k）=5（1﹣）（）又f（k）在上单调递增∴f（k）的最小值为略21.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：θ=（ρ＞0），A（2，0）．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先把曲线C1的参数方程化为普通方程，由此能求出C1的极坐标方程．（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，），将代入ρ=4cosθ，得ρ1=2，将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为为参数），∴C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，∴C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，），将代入ρ=4cosθ，得ρ1=2，将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2﹣1，依题意，点A（2，0）到曲线（ρ＞0）的距离d=|OA|sin=1，∴S△APQ=|PQ|?d=×（2）×1=．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．22.如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,(Ⅰ)证明平面(Ⅱ)求二面角的正弦值。参考答案：解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,

……1分(Ⅰ)证明：已知,,

……………3分于是·=0，·=0.

……………4分因此，,,又

……………5分所以平面

……………6分(Ⅱ)解：设平面的法向量，则,即

…………7分不