四川省绵阳市清泉中学高三数学理测试题含解析

四川省绵阳市清泉中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P，以为球心，为半径作一个球设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B2.设为等比数列的前n项和，，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知直线l：，圆C：ρ=2cosθ，则圆心C到直线l的距离是（）A．2 B． C． D．1参考答案：C【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】直线l：的普通方程为x﹣y+1=0，圆C：ρ=2cosθ的普通方程为x2+y2﹣2x=0，由此能求出圆心C到直线l的距离．【解答】解：直线l：的普通方程为：y=x+1，即x﹣y+1=0，∵圆C：ρ=2cosθ，∴p2=2pcosθ，∴x2+y2﹣2x=0，∴圆C的圆心C（1，0），∴圆心C到直线l的距离是d==，故选C．【点评】本题考查直线和圆的参数方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的灵活运用．4.若函数同时具有以下两个性质:①是偶函数;②对任意实数x,都有。则的解析式可以是（

）A．=cosx B．=C．= D．=cos6x参考答案：5.已知，是数列的前n项和………………（

）(A）

和都存在

(B)和都不存在

(C)存在，不存在

(D)不存在，存在参考答案：A6.设是函数的反函数，若，则的值是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：B7.若向量=（2，﹣1），=（3﹣x，2），=（4，x）满足（6﹣）?=8，则x等于（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先计算6﹣的坐标，再根据6﹣）?=8列方程解出x．【解答】解：6=（9+x，﹣8），∴（6﹣）?=4（9+x）﹣8x=36﹣4x=8，∴x=7．故选D．8.已知集合，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则A.1：1:1 B. C. D.参考答案：【知识点】正弦定理；向量加减混合运算及其几何意义．C8F1B

解析：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，由△ABC的重心为G，得2sinA+sinB=﹣3sinC=﹣3sinC（﹣﹣），整理得：（2sinA﹣3sinC）+（sinB﹣3sinC）=0，∵，不共线，∴2sinA﹣3sinC=0，sinB﹣3sinC=0，即sinA=sinC，sinB=sinC，则=：：1=，故选：B．【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，整理后根据两向量不共线，表示出sinA与sinB，求出之比即可．10.已知△中，以为直径的圆交于，则的长为（）A．B．C．D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为________.参考答案：略12.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为．参考答案：80【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22，相乘得到结果，再表示出甲组含有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列．【解答】80解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，首先选2个放到甲组，共有C52=10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C32A22=6种结果，∴根据分步计数原理知共有10×6=60，当甲中有三个人时，有C53A22=20种结果∴共有60+20=80种结果故答案为：80．13.如图，在平面四边形ABCD中，，，AB=BC，点E为线段BC的中点．若()，则的值为_______．参考答案：【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设AB＝BC＝2后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得．【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝BC＝2，则有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，过D作DF⊥x轴于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因为，所以，（2,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值为故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的基本运算，建系用坐标表示是解题的关键，属于中档题．14.已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=．参考答案：4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，则===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案为：415.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．参考答案：0≤a≤3考点：点与圆的位置关系；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：设M（x，y），利用MA2+MO2=10，可得M的轨迹方程，利用圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．解答：解：设M（x，y），∵MA2+MO2=10，∴x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，∴x2+（y﹣1）2=4，∵圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，∴两圆相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3．故答案为：0≤a≤3．点评：本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M的轨迹方程是关键．16.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，)是数列的前n项和，则=

．参考答案：117.已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设∠APC=2θ，用θ表示出，求出θ的范围即可得出的范围．【解答】解：设∠APB=2θ，则PA=PB=，当OP取得最小值时，θ取得最大值．圆心C（2，1）到直线x+2y﹣9=0的距离为=，圆的半径为r=1，∴sinθ的最大值为=，∴≤cosθ＜1．∵≤2cos2θ﹣1＜1，即≤cos2θ＜1．=cos2θ=?cos2θ．设cos2θ=t，f（t）==，则f′（t）=，令f′（t）=0得t=﹣1+或t=﹣1﹣，∴f（t）在[，1）上单调递增，∴f（t）的最大值为f（）=，又f（1）=0，∴0＜f（t）≤．故答案为（0，]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2。（I）求证：BC⊥平面A1DC；（II）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值。参考答案：（Ⅰ）DE，DE//BC，BC

…………2分又，AD

…………4分（Ⅱ）以D为原点，分别以为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz

…………5分说明：建系方法不唯一，不管左手系、右手系只要合理即可

在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0）

…………8分

…………9分设平面A1BC的法向量为

令y=1,…10分设BE与平面A1BC所成角为，…………12分19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC，D为AB的中点，故CDAB。又直三棱柱中，

面

，故

，所以异面直线

和AB的距离为（Ⅱ）：由故

面

，从而

，故

为所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知

由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此得从而所以在中，由余弦定理得20.（本小题满分14分）已知函数，其中为实数，（1）若，求函数的最小值；（2）若方程在上有实数解，求的取值范围；（3）设…，均为正数，且……，求证：.参考答案：（1）0;（2）（3）见解析（1），由得

当在内递增；

当时，内递减；

故函数处取得最小值

（2）①当时，在内递增；，方程在上无实数解；②当时，在内递减；，方程在上无实数解；③当时，由得，当递减；当时，递增；又，由得故的取值范围为（3）由（1）知，当时，，

，从而有，

得，

求和得

即故

21.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|－|2x－3|.（I）在图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式|f(x)|＞1的解集.参考答案：解：（I）y=f(x)的图像如图所示（II）由f(x)的表达式及图像，当f(x)=1时，可得x=1或x=3;当f(x)=－1时，可得或x=5;故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3};f(x)＜－1的解集为{x|x＜或x＞5}.所以|f(x)|＞1的解集为{x|x＜或1＜x＜3或x＞5}.

22.．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD?BA=BE?BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆