广西壮族自治区贵港市培正中学高三数学理期末试题含解析

广西壮族自治区贵港市培正中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C． D．64参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．2.已知定义在R上函数f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣3，7]上的所有实根之和为（）A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：A【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x+2）=f（x），得到函数是周期为2的周期函数，分别作出函数f（x），g（x）在[﹣3，7]上的图象，利用图象观察交点的个数和规律，然后进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，∵g（x）=，∴g（x）关于直线x=2对称．分别作出函数f（x），g（x）在[﹣3，7]上的图象，由图象可知两个函数的交点个数为6个，设6个交点的横坐标从小到大为x1，x2，x3，x4，x5，x6，且这6个交点接近点（2，0）对称，则=2，即x1+x6=4，所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=3（x1+x6）=3×4=12，其中x=3时，不成立，则f（x）=g（x）在区间[﹣3，7]上的所有实根之和为12﹣3=9，故选：A．【点评】本题主要考查函数交点个数和取值的判断，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．本题综合性较强，难度较大3.如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数

与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该

点在E中的概率是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知全集，集合，，则等于（

）A．(0,3)

B．(0,5)

C．

D．(0,3]参考答案：D5.直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（） A．相交过圆心 B． 相交不过圆心 C． 相切 D． 相离参考答案：C6.执行如图所示的程序框图，输出的S值为(

)A．1

B． C．

D．参考答案：C执行步骤如下：第1步：S＝，＝1；第2步：S＝，＝2；退出循环。7.已知函数，则的图像大致为

参考答案：B略8.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.若，当时，，若在区间内，有两个零点，则实数m的取值范围是 (

)A． B． C． D．参考答案：D10.复数的虚部为

(A）2i（B）－2i（C）2（D）－2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量m=（x，2），向量n=（1，－1），若

m⊥n，则x=

。参考答案：212.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是

。

参考答案：13.已知数列{an}满足，，则=

．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由，，知an+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．【解答】解：∵，，∴an+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．14.在中，角所对的边分别为．若，，，则边=

．参考答案：7

略15.曲线y=e2x在x=0处切线方程为．参考答案：y=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．【解答】解：由于y=e2x，可得y′=2e2x，令x=0，可得y′=2，∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1故答案为：y=2x+1．16.若函数f（x）＝x3－3bx＋b在区间（0，1）内有极小值，则b应满足的条件是

；参考答案：b∈(0,1)或0<b<117.如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a的值是．参考答案：0或﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得：a=﹣1，综上，a=0或﹣1，故答案为：0或﹣1．【点评】本题主要考查了两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列中，且数列是公差为2的等差数列.(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)记数列的前n项和为，求满足不等式的n的最小值.参考答案：（Ⅰ）数列是首项为，公差为2的等差数列，所以.

…………3分所以.

…………6分（Ⅱ），

…………8分所以，

…………10分由得，，又，故的最小值为2016.

…………12分19.不等式选讲

已知，．（I）求证：，；（II）若，求证：．参考答案：（1）

………5分（2）

…………10分

略20.

设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．参考答案：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝，令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)的两根为x1＝，x2＝，当0<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0，故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(2)由(1)知，a>2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(lnx1－lnx2)，所以k＝＝1＋－a·，又由(1)知，x1x2＝1.于是k＝2－a·，若存在a，使得k＝2－a，则＝1.即lnx1－lnx2＝x1－x2.亦即x2－－2lnx2＝0(x2>1)(*)，再由(1)知，函数h(t)＝t－－2lnt在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，所以x2－－2lnx2>1－－2ln1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.21.18．（本小题满分12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋（1） 写出数量积X的所有可能取值（2） 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率参考答案：解：（1）x

的所有可能取值为-2，-1，0，1。（2）数量积为-