乘公交-看奥运-数学建模论

高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮

件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问

题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他

公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正

文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反

竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：重庆大学

参赛队员（打印并签名）：1.____________________________________________

2._____________________________________________

3._____________________________________________

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：—年—月—日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

1

高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

2

乘公交，看奥运

【摘要】本文要解决的问题是以即将举行的08年北京奥运会为背景而提出的。

人们为了能现场观看奥运会，必然会面对出行方式与路线选择的问题。因此如何

快速、高效地从众多可行路线中选出最优路线成为了解决此问题的关键。

鉴于公交系统网络的复杂性，我们没有采用常规的Dijkstra算法，而采用了

高效的广度优先算法。其基本思想是从经过起（始）点的路线出发，搜寻出转乘

次数不超过两次的可行路线，然后对可行解进行进一步处理。为满足不同查询者

要求，我们对三个问题都分别建立了以时间、转乘次数、费用最小为目标的优化

模型。

针对问题一（只考虑公汽系统），我们建立了模型一并通过VC++编程得到

了任意两个站点间的多种最优路线，并得出所求站点间最优路线的最优值，如下

表所示：

出发站S3359S1557S0971S0008S0148S0087

终点站S1828S0481S0485S0073S0485S3676

最短耗时（min）641061066710646

最少转乘次数（次）121122

最少费用（元）333233

模型二是根据问题二（同时考虑公汽和地铁系统）建立的，同样用VC++编

程得到所求站点间的最优路线，如下表所示：

出发站S3359S1557S0971S0008S0148S0087

终点站S1828S0481S0485S0073S0485S3676

最短耗时（min）64106965587.533

最少转乘次数（次）121120

最少费用（元）333233

对问题三（将步行考虑在内）我们建立了模型三的优化模型，然后在模型改

进里又建立了图论模型。

本文的主要特点在于，所用算法的效率十分显著。在对原始数据仅做简单预

处理的条件下，搜索任意站点间的最优路线所需的平均时间不超过0.5秒。另外,

本文所建立的模型简单、所用算法比较清晰，易于程序实现，对公交线路自主查

询计算机系统的实现具有现实指导作用。

关键字：转乘次数广度优先算法查询效率实时系统

3

一问题的重述

传承华夏五千年的文明，梦圆十三亿华夏儿女的畅想，2008年8月8日这

个不平凡的日子终于离我们越来越近了！在观看奥运的众多方式之中，现场观看

无疑是最激动人心的。为了迎接2008年奥运会，北京公交做了充分的准备，首

都的公交车大都焕然一新，增强了交通的安全性和舒适性，公交线路已达800

条以上，使得公众的出行更加通畅、便利。但同时也面临多条线路的选择问题。

为满足公众查询公交线路的选择问题，某公司准备研制开发一个解决公交线路选

择问题的自主查询计算机系统。

这个系统的核心是线路选择的模型与算法，另外还应该从实际情况出发考

虑，满足查询者的各种不同需求。需要解决的问题有：

1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与

算法。并根据附录数据，利用模型算法，求出以下6对起始站到终到站最佳路线。

(1)、S3359-S1828(2)、SI557fs0481(3)、SO971fs0485

(4)、S0008-S0073(5)、SO148fs0485(6)、S0087-S3676

2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。

3、假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问

题的数学模型。

二符号说明

L：第i条公汽线路标号,i=l,2…10400,当i«520时，乂表示上行公汽路线，当

i>520时，Lj表示与上行路线L-20相对应的下行公汽路线;

Si-g：经过第i条公汽路线的第g个公汽站点标号；

/：第j条地铁路线标号,j=l,2；

Dih：经过第j条地铁线路的第h个地铁站点标号；

LSn：转乘n次的路线；

Tk：选择第k种路线的总时间；

Nlk：选择第k种路线公汽换乘公汽的换乘次数；

N2k：选择第k种路线地铁换乘地铁的换乘次数；

N3k：选择第k种路线地铁换乘公汽的换乘次数；

N4k：选择第k种路线公汽换乘地铁的换乘次数；

Wkm：第k种路线、乘坐第m辆公汽的计费方式，其中：

4

Wm=1表示实行单一票价，亚卜川=2表示实行分段计价；

CLkm：第k种路线，乘坐第m辆公汽的费用；

Ck：选择第k种路线的总费用；

MSk,m：选择第k种路线，乘坐第m辆公汽需要经过的公汽站个点数；

MDkn：选择第k种路线，乘坐第n路地铁需要经过的地铁站个点数；

FSkm：表示对于第k种路线的第m路公汽的路线是否选择步行，FS-n为0-1

变量，FSk.m=0表示不选择步行，FSk.0,=l表示选择步行；

FDkn：对于第k种路线的第n路地铁的路线是否选择步行，FDkn为0-1变量,

FDRk,1n1=0表示不选择步行，RF,11Dkn=l表示选择步行；

三模型假设

3.1基本假设

1、相邻公汽站平均行驶时间（包括停站时间）：3分钟

2、相邻地铁站平均行驶时间（包括停站时间）：2.5分钟

3、公汽换乘公汽平均耗时：5分钟（其中步行时间2分钟）

4、地铁换乘地铁平均耗时：4分钟（其中步行时■间2分钟）

5、地铁换乘公汽平均耗时：7分钟（其中步行时间4分钟）

6、公汽换乘地铁平均耗时：6分钟（其中步行时间4分钟）

7、公汽票价：分为单一票价与分段计价两种；

单一票价：1元

其中分段计价的票价为：0〜20站：1匹

21〜40站：2元

40站以上：3元

8、地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘）

9、假设同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘，且无需支

付地铁费

3.2其它假设

10、查询者转乘公交的次数不超过两次；

11、所有环行公交线路都是双向的；

12、地铁线T2也是双向环行的；

13、各公交车都运行正常，不会发生堵车现象;

14＞公交、列车均到站停车

四问题的分析

5

在北京举行奥运会期间，公众如何在众多的交通路线中选择最优乘车路线或

转乘路线去看奥运，这是我们要解决的核心问题。针对此问题，我们考虑从公交

线路的角度来寻求最优线路。首先找出过任意两站点（公众所在地与奥运场地）

的所有路线，将其存储起来，形成数据文件。这些路线可能包含有直达公交线路,

也有可能是两条公交线路通过交汇而形成的（此时需要转乘公交一次），甚至更

多公交线路交汇而成。然后在这些可行路线中搜寻最优路线。

对于路线的评价，我们可以分别以总行程时间，总转乘次数，总费用为指标,

也可以将三种指标标准化后赋以不同权值形成一个综合指标。而最优路线则应是

总行程时间最短，总费用最少或总转乘次数最少，或者三者皆有之。之所以这样

考虑目标，是因为对于不同年龄阶段的查询者，他们追求的目标会有所不同，比

如青年人比较热衷于比赛，因而他们会选择最短时间内到达奥运赛场观看比赛。

而中年人则可能较倾向于综合指标最小，即较快、较省，转乘次数又不多。老年

人总愿意以最省的方式看到奥运比赛。而对于残疾人士则总转乘次数最少为好。

不同的路线查询需求用图4.1表示如下：

图4.1公交线路查询目标图

经分析，本问题的解决归结为一个求最短路径的问题，但是传统的Dijkstra

最短路径算法并不适用于本问题，因为Dijkstra算法采用的存储结构和计算方法

难以应付公交线路网络拓扑的复杂性,而且由于执行效率的问题，其很难满足实

时系统对时间的严格要求。

为此我们在实际求解的过程中，采用了效率高效得广度优先算法，其基本思

路是每次搜索指定点，并将其所有未访问过的近邻点加入搜索队列，循环搜索过

程直到队列为空。此方法在后文中有详细说明。

五建模前的准备

为了后面建模与程序设计的方便，在建立此模型前，我们有必要做一些准备

工作。

5.1数据的存储

由于所给的数据格式不是很规范，我们需要将其处理成我们需要的数据存储

格式。从所给文件中读出线路上的站点信息，存入txt文档中，其存储格式为：

两行数据，第一行表示上行线上的站点信息，第二行表示下行线的站点信息，其

中下行路线标号需要在原标号的基础上加上520,用以区分上行线和下行线。

如果上行线与下行线的站点名不完全相同，那么存储的两行数据相应的不完

全相同，以公交线L009为例：

L009:3739035914772159237722112482248034391920192101802020

30272981

L529:2981302720200180192119203439344024822211237721591478

6

03593739

L529为L009所对应的下行线路。

如果下行线是上行线原路返回，那么存储的两行数据中的站点信息刚好顺序

颠倒，以公交线路L001为例：

L001:0619191403880348039204290436388536120819352408203914

01280710

L521:0710012839140820352408193612388504360429039203480388

19140619

如果是环线的情况（如图5.1所示），则可以等效为两条线路：

顺时针方向：Sl-S2fs3fs4fS1-S2-S3fs4；

逆时针方向：SlfS4fs3fs2fSlfS4fs3-S2。

经过分析，此两条“单行路线”线路的作用等同于原环形路线

图5.1环行线路示意图

以环形公交线L158为例，此环形路线存储数据如下：

L153:534649235512128121711708112600172158581426435131215

121725126042606534649235512128121711708112600172

158581426435131215121725126042606

L673:5342606260425112171215351326481415851722600811170

1718121212235564953426062604251121712153513264814

1585172260081117017181212122355649

在这里，L153被看作成上行路线，L673被当成下行路线。这样对于每条公交

线路都可以得到两行线路存储信息。

5.2搜寻经过每个站点的公交路线

处理5.1所得信息，找出通过每个站点的所有公交路线，并将它们存入数据

文件中。

例如，通过搜寻得出经过站点S0001的线路和经过站点S0002的线路如下：

经过S0001的线路有：L421

经过S0002的线路有：L027L152L365L395L485

5.3统计任意两条公交线路的相交（相近）站点

依次统计出任意两条公交线路之间相交（相近）的站点，将其存入1040X

1040的矩阵A中，但是这个矩阵的元素是维数不确定的向量，具体实现的时候

可以将用队列表示。

例如：公交线路L001与公交线路L025相交的站点为A[l][25]={S0619,

S1914,S0388,S0348}o

7

六模型的建立与求解

6.1模型一的建立

该模型针对问题一，仅考虑公汽线路，先找出经过任意两个公汽站点Sj&与

S。O最多转乘两次公汽的路线，然后再根据不同查询者的需求搜寻出最优路线。

1，g

6.1.1公汽路线的数学表示

任意两个站点间的路线有多种情况，如果最多允许换乘两次，则换乘路线分

别对应图6.1的四种情况。该图中的A、B为出发站和终点站，C、D、E、F为转

乘站点。

图6.1公汽路线图

对于任意两个公汽站点S-g与S'。经过S.g的公汽线路表示为L,，有

S,geLi；经过S<；各的公汽线路表示为L。，有S。。eL.；

1l,gIl,g1

1)直达的路线LS0(如图6.1(a)所示)表示为：

LS0=|LnSjgeLn,S.>,„GLnJ

2)转乘一次的路线LS1(如图6.1(b)所示)表示为：

LS1=((LipLi2)号*eLu,S^„€匕2；1^,匕2eLS°；SCwL“月.SCwL/

其中：SC为L“，Li2的一个交点；

3)转乘两次的路线LS?(如图6.1(c)所示)表示为:

LS2=<(Lil,Lj2>Li3)SywLH，Sj,gwLj2；(L",Lj3),(Lj3，Lj2)史LS]；(Lj],Lj2)eLS1

通过以上转乘路线的建模过程，可以看出不同转乘次数间可作成迭代关系，

进而对更多转乘次数的路线进行求寻。不过考虑到实际情况，转乘次数以不超过

2次为佳，所以本文未对转乘三次及三次以上的情形做讨论。

6.1.2最优路线模型的建立

找出了任意两个公汽站点间的可行路线，就可以对这些路线按不同需求进行

8

选择，找出最优路线了：

1）以时间最短作为最优路线的模型：行程时■间Tk等于乘车时间与转车时间之和。

MinTk=3x£（MSk,m-l）+5xNlk

m=l（6.1式）

m=l,2,gggNlk+1;k=l,2,gggE

其中，第k路线是以上转乘路线中的一种或几种。

2）以转乘次数最少作为最优路线的模型：

MinNlk（6.2式）

此模型等效为以上转乘路线按直达、转乘一次、两次的优先次序来考虑。

3）以费用最少作为最优路线的模型：

MinCk=ZCLk,m（6.3式）

1Wki=1或Wkm=2,0<MSkm<20

其中，CLkm=<2Wk.m;=2,21<MSk,m<40（6.4式）

3Wk-=2，40<MSk.ra

6.1.3模型的算法描述

针对该问题的优化模型，我们采用广度优先算法找出任意两个站点间的可行

路线，然后搜索出最优路线。现将此算法运用到该问题中，结合图6.2叙述如下:

（该图中的Sy、S«„>S］」、S2］>S2,2表示公汽站点，L］、L2L3>L4>

L5、Le表示公汽线路。其中（a）、（b）、（c）图分别表示了从点S「g到点Sj,g直

达、转乘一次、转乘两次的情况）

图6.2公交直达、转乘图

（1）首先输入需要查询的两个站点Sjg与S。多（假设Sy为起始站，S.„

l'gl，gl'gl，g

为终点站）；

（2）搜索出经过Sy的公汽线路L,（i=l,2,…,m）和经过S；痘的公汽线路

（彳=1,2,…，n）,存入数据文件；判断是L1与L：是否存在相同路线，若

9

有则站点Sy与S：1之间有直达路线（如图6.2中的LJ,则该路线是换乘次数

最少（换乘次数等于0）的路线，若有多条直达路线，则可以在此基础上找出时间

最省的路线；这样可以找出所有直达路线，存入数据文件；

（3）找出经过Sj超的公汽线路Lj（如图6.2中的L?）中的另一站点S,1gl和经

过S.。的公汽线路中的另一站点判断s.Ri与S%、中是否存在相

1,g।1i,giii,gi

同的点，若存在（如图6.2中的J则站点S,6与S：/间有一次换乘的路线（如

图6.2中的L?与L3）,该相同点即为换乘站点；这样又找出了一次换乘路线，存

入数据文件；

（4）再搜索出经过Lj（如图6.2中的LJ线路上除了站点Sy的另一站点

Si2gl（如图6.2中的Szj）的公汽线路Lj6（如图6.2中的L（,）,找出公汽线路Lj6上

的其他站点Sj"2.gz2；判",g断z，如果Sj1,,g口与经过S。多的1公汽线路t“中的其他站点

S；2,M存在相同的点（如图6.2中的S2.2），则Si.g与s；忑间有二次换乘的路线

（如图6.2中的L,、L6>L5）,该相同点和点S&g|是换乘站点；将此二次换乘的

路线存入数据文件中；

（5）对上述存储的经过两个站点Sy与S；，B的不同路线，根据不同模型进

行最优路线进行搜索，得出查询者满意的最优路线。

6.1.4模型一的求解

根据以上算法和前面建立的模型一，用VC++进行编程（程序见附录）就可

以得出不同目标下的最优路线。

1）以耗时最少为目标的最优路线

起始站S3359到终到站S1828耗时最少为64min,耗时最少的最优路线（转乘

次数较少，费用较省的路线）有28条（注：表6.1选择了其中的10条表示）；

起始站S1557到终到站S0481耗时最少为106min,耗时最少的最优路线有2条;

起始站S0971到终到站S0485耗时最少为106min,耗时最少的最优路线有2条;

起始站S0008到终到站S0073耗时最少为67min,耗时最少的最优路线有2条;

起始站S0148到终到站S0485耗时最少为106min,耗时最少的最优路线有3条;

起始站S0087到终到站S3676耗时最少为46min,耗时最少的最优路线有12条;

其耗时最少的最优路线如表6.1所示。

表6.1耗时最少的最优路线表

起始公汽线中转公汽线中转公汽线终到转乘所需

站路站路站路站次数费用

S3359L0535S29O3L1005S1784L0687S182823

S3359L0535S29O3L1OO5S1784LO737S182823

10

S3359LOI23S2903LI005S1784L0687SI82823

S3359LOI23S2903LI005SI784L0737SI82823

S3359L0652S2903LI005S1784L0687SI82823

S3359L0652S2903L1005SI784L0737SI82823

S3359L0844S2027L1005S1784L0687SI82823

S3359L0844S2027L1005S1784L0737SI82823

S3359L0844SI746LI005S1784L0687SI82823

S3359L0844SI746L1005SI784L0737SI82823

S1557L0604S1919L0709S3186L0980S048123

S1557L0883S1919L0709S3186L0980S048123

S0971L0533S2517L0810S2480L0937S048523

S0971L0533S2517L0296S2480L0937S048523

S0008LOI98S3766L0296S2184L0345S007323

S0008LOI98S3766L0296S2184L0345S007323

SO148L0308S0036L0156S2210L0937S048523

SO148L0308S0036L0156S3332L0937S048523

SO148L0308S0036L0156S3351L0937S048523

S0087L0541S0088L0231S0427L0097S367623

S0087L0541S0088L0231S0427L0982S367623

S0087L0541S0088L0901S0427L0097S367623

S0087L0541S0088L0901S0427L0982S367623

S0087L0206S0088L0231S0427L0097S367623

S0087L0206S0088L0231S0427L0982S367623

S0087L0206S0088L0901S0427L0097S367623

S0087L0206S0088L0901S0427L0982S367623

S0087L0974S0088L0231S0427L0097S367623

S0087L0974S0088L0231S0427L0982S367623

S0087L0974S0088L0901S0427L0097S367623

S0087L0974S0088L0901S0427L0982S367623

2）以转乘次数最少为目标的最优路线

起始站S3359到终到站S1828的最少转乘次数为1次，转乘次数最少的最优

路线（所需时间较短，费用较省的路线）有2条；

起始站S1557到终到站S0481的最少转乘次数为2次，转乘次数最少的最优

路线有2条与耗时最少的最优路线相同（表示在表6.1中，下同）；

起始站S0971到终到站S0485的最少转乘次数为1次，转乘次数最少的最优

路线有1条；

起始站S0008到终到站S0073的最少转乘次数为1次，转乘次数最少的最优

路线有9条；

起始站SO148到终到站S0485的最少转乘次数为2次，转乘次数最少的最优

路线有3条与耗时最少的最优路线相同；

起始站S0087到终到站S3676的最少转乘次数为2次，转乘次数最少的最优

路线有6条与耗时最少的最优路线相同；

11

其余转乘次数最少的最优路线路线如表6.2所示。

表6.2转乘次数最少的最优路线表

起始站公汽线路中转站公汽线路终到站耗时所需费用

S3359L0956S1784L0687S18281013

S3359L0956S1784LO737S18281013

S0971LO533S2184LO937S04851283

S0008L0679S0291L0578S0073832

S0008L0679S0491L0578S0073832

S0008L0679S2559L0578S0073832

S0008L0679S2683LO578S0073832

S0008L0679S3614L0578S0073832

S0008L0875S2263L0345S0073832

S0008L0875S23O3L0345S0073832

S0008L0875S3917L0345S0073832

S0008LO983S2O83L0057S0073832

3）以费用最少为目标的最优路线

起始站S3359到终到站S1828的最少费用为3元，最少费用的最优路线（所

需时间较短，转乘次数较少的路线）有30条，其中28条路线所需时间为64min,

转乘次数为2次，另外两条路线所需时间为101min,转乘次数为1次；

起始站S1557到终到站S0481的最少费用为3元，最少费用的最优路线有2

条，所需时间为106min,转乘次数为2次；

起始站S0971到终到站S0485的最少费用为3元，最少费用的最优路线有3

条,其中两条所需时间为106min,转乘次数为2次,另外一条所需时间为128min,

转乘次数为1次；

起始站S0008到终到站S0073的最少费用为2元，最少费用的最优路线有9

条，所需时间为83min,转乘次数为1次；

起始站S0148到终到站S0485的最少费用为3元，最少费用的最优路线有3条，

所需时间为106min,转乘次数为2次；

起始站S0087到终到站S3676的最少费用为3元，最少费用的最优路线有

12条，所需时间为46min,转乘次数为2次；

最少费用的最优路线表示在表6.1和表6.2中。

6.2.1模型二的建立

该模型针对问题二，将公汽与地铁同时考虑，找出可行路线，然后寻找最优

路线。对于地铁线路，也可以将其作为公交线路，本质上没有什么区别，只不过

乘车费用、时间，换乘时间不一样罢了。因此地铁站可等效为公交站，地铁和公

交的转乘站即可作为两者的交汇点。因此该模型的公交换乘路线模型与模型-中

的基本相同。现建立模型二下的最优路线模型。

1）以时间最短的路线作为最优路线的模型：可行路线的总时间为乘公交（公汽

和地铁）时间与公汽与地铁换乘、公汽间、地铁间换乘时间之和。

MinTk=3x^（MSk,m-l）+2.5x^（MDk,n-l）+5xNlk

mn（6.5式）

+4xN2k+7xN3k+6xN4k

其中，第k路线为同时考虑公汽与地铁的转乘路线中的一种或几种。

2）以转乘次数最少的路线作为最优路线的模型：

12

MinNlk+N2k+N3k+N4k（6.6式）

此模型等效为以上转乘路线按直达、转乘一次、两次（包括公交与地铁间的转乘）

的优先次序来考虑。

3）以费用最少的路线作为最优路线的模型：可行路线的费用为乘公交和地铁费

用的总和。

MinCk=>CL,“+3xN4k（6.7式）

KKk.IllK

其中，CLkm仍满足（6.4式）。

6.2.2模型二的求解

不难发现，问题一是问题二解的一部分。在问题二中，新产生的最优解主

要源于在通过换乘地铁、换乘附近相近站点的路线上，如下图所示：

从点A到B,图（a）表示的是通过两公交线路上相邻公汽站SI,S2进行一次

转乘；图（b）表示利用地铁站进行二次转乘；图（c）表示利用另一条公汽路线为中

介进行二次转乘。

铁路线路引入给题目的求解增加了难度，为了形象了解为数不多的两条铁路

间的交叉关系，我们通过matlab编程（程序见附录）作出了两条铁路的位置关

系图，如图6.3所示。

地铁示意图

05101520253035404550

图6.3T1与T2铁路位置关系图

注：图四中的直线表示T1铁路线，圆表示T2铁路线，数值表示站点，例如1

表示T1铁路线上的D1铁路站，26表示T2铁路线上的D26铁路站。此图与网上

查询到的北京地铁示意图（如图6.4所示）相吻合。

13

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