高等数学-黄立宏

PAGEPAGE60第六章3．判定下列级数的敛散性：(1)；(2)；(3)；(4)；解：(1)从而，故级数发散．(2)从而，故原级数收敛，其和为．(3)此级数为的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．(4)∵，而，故级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)；(2)(3)； (4)；(5)； (6)．解：(1)∵而收敛，由比较审敛法知收敛．(2)∵而发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵而收敛，故也收敛．(4)∵而收敛，故收敛．(5)当a>1时，，而收敛，故也收敛．当a=1时，，级数发散．当0<a<1时，，级数发散．综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0<a≤1时，原级数发散．(6)由知而发散，由比较审敛法知发散6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1)； (2)；(3)；(4)解：(1)，，由比值审敛法知，级数收敛．(2)所以原级数发散．(3)所以原级数发散．(4)故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1)； (2)；(3)；(4)，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．解：(1)，故原级数发散．(2)，故原级数收敛．(3)，故原级数收敛．(4)，当b<a时，<1，原级数收敛；当b>a时，>1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)； (2)；(3)；(4)； (5)；(6)．解：(1)，级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P<1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛．(2)，为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于所以，发散，所以原级数条件收敛．(3)民，显然，而是收敛的等比级数，故收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为．故可得，得，∴，原级数发散．(5)当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，，所以原级数发散．(6)由于而发散，由此较审敛法知级数发散．记，则即又由知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛．13．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…； (2)；(3)； (4)；解：(1)因为，所以收敛半径收敛区间为(-1,1)，而当x=±1时，级数变为，由知级数发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为所以收敛半径，收敛区间为(-e,e)．当x=e时，级数变为；应用洛必达法则求得，故有由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．所以当x2<1即|x|<1时，级数收敛，x2>1即|x|>1时，级数发散，故收敛半径R=1．当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，发散，从而也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t=x-1，则级数变为，因为所以收敛半径为R=1．收敛区间为-1<x-1<1即0<x<2.当t=1时，级数收敛，当t=-1时，级数为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为0≤x≤2，即[0,2]14．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)； (2)；解：(1)由知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时，的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记易知的收敛域为(-1,1)，记则于是，所以(2)由知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记，易知级数收敛域为(-1,1)，记，则，故即，，所以15．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f(x)=ln(2+x)； (2)f(x)=cos2x；(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)； (4)；(5)； (6)；解：(1)由于，(-1<x≤1)故，(-2≤x≤2)因此，(-2≤x≤2)(2)由，(-∞<x<+∞)得所以，(-∞<x<+∞)(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)由，(-1≤x≤1)所以(-1≤x≤1)(4)由于(-1≤x≤1)故 (-1≤x≤1)(5)(6)由，x∈(-∞,+∞)得，x∈(-∞,+∞)所以第七章14.三个力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a,b,c.解：20.已知a,b的夹角，且，计算：(1)a·b;(2)(3a-2b)·(a+2b).解：（1）a·b=(2)21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算：（1）a·b;(2)(2a-3b)·(a+b)；（3）解：（1）(2)(3)25.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：(1)a×b;(2)2a×7b;(3)7b×2a;(4)a×a.解：（1）(2)(3)(4).26.已知向量a和b互相垂直，且.计算：(1)|(a＋b)×(a－b)|；(2)|(3a＋b)×(a－2b)|.（1）(2)37.求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.38.求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z+3)=0即x+7y-3z-59=039.设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y轴上的截距为b则平面方程可定为又(1,2,-1)在平面上，则有得b=2.故所求平面方程为40.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知代入三已知点，有化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.47.求下列直线与平面的交点：(1),2x+3y+z-1=0;(2),x+2y-2z+6=0.解：（1）直线参数方程为代入平面方程得t=1故交点为（2，-3，6）.（2）直线参数方程为代入平面方程解得t=0.故交点为（-2，1，3）.49.求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线平行.解：（1）可取直线的方向向量为s={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量故过点（0，2，4）的直线方程为（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为.50.试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）和4x-2y-2z=3;（2）和3x-2y+7z=8;（3）和x+y+z=3.解：平行而不包含.因为直线的方向向量为s={-2，-7，3}平面的法向量n={4，-2，-2}，所以于是直线与平面平行.又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有.故直线不在平面上.(2)因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3)直线在平面上，因为,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.51.求过点（1，-2，1），且垂直于直线的平面方程.解：直线的方向向量为,取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为即x+2y+3z=0.52.求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.解：设过两平面的交线的平面束方程为其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故解得λ=-4.故所求平面方程为2x+15y+7z+7=0第八章5.求下列各极限： 解：(1)原式=(2)原式=+∞.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=8.求下列函数的偏导数：(1)z=x2y+; (2)s=;(3)z=xln; (4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y; (6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z; (8).解：(1)(2)(3)(4)(5)两边取对数得故(6)(7)(8)13.求下列函数的二阶偏导数：(1)z=x4+y4-4x2y2; (2)z=arctan;(3)z=yx; (4)z=.解：(1)由x,y的对称性知(2)，(3)(4)15.设z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函数的全微分：(1); (2);(3); (4).解：(1)∵∴(2)∵∴(3)∵∴(4)∵∴22.求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)求,；(2)z＝,x＝u＋v,y＝u－v,求,；(3),y＝x3,求;(4)u＝x2＋y2＋z2,x＝,y＝,z＝,求.解：（1）(2)(3)(4).第九章1.求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点;(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,点M0(x0,y0,z0).解：曲线在点的切向量为当时，切线方程为.法平面方程为即.（2）联立方程组它确定了函数y=y(x),z=z(x)，方程组两边对x求导，得解得在点M0（1，-2，1）处，所以切向量为{1，0，-1}.故切线方程为法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对x求导，得于是曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为,故切线方程为法平面方程为5.求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(1)z=x2+y2,点M0(1,2,5);(2)z=arctan,点M0(1,1,);解：（1）故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为z-5=2(x-1)+4(y-2).即2x+4y-z=5.法线方程为（2）故曲面在点M0(1,1,)的切平面方程为z-=-(x-1)+(y-1).法线方程为.8.求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为的方向导数。解：9.求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。解：的方向余弦为故11.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组得驻点为.在点处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值.(3)解方程组得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Zxx=－2(4y-y2), Zxy=4(3－x)(2－y) Zyy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36.在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.(5)解方程组得驻点为zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩阵为于是易知H（P1）不定，故P1不是z的极值点，H（P2）当a<0时正定，故此时P2是z的极小值点，且,H（P2）当a>0时负定，故此时P2是z的极大值点，且.第十章6.画出积分区域，改变累次积分的积分次序：(1);(3);解：（1）相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.图10-6D亦可表示为：所以(3)相应二重积分的积分区域D为：如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：D2：所以.8.计算下列二重积分：(1)(2)D由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；解：（1）(2)积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示010.在极坐标系下计算二重积分：(1)(2)D为圆=1所围成的区域；(3)D是由=4,=1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。解：(1)积分区域D如图10-16所示：图10-16D亦可采用极坐标表示为：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以(2)积分区域D可用极坐标表示为：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：(3)积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：(4)积分区域D如图10-18所示，图10-18D可用极坐标表示为：所以：11.将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：解：（1）积分区域D如图10-19所示.图10-19D亦可用极坐标表示为：所以：(2)积分区域D如图10-20所示.图10-20D可用极坐标表示为：于是：(11章3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(5)，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；(6)，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；解：(1)L：y=x2，x从0变到2，(2)如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为图11-1L2的方程为y=0(0≤x≤2a)故(5)(6)直线Γ的参数方程是t从1→0．故7．应用格林公式计算下列积分：(3)，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(,1)的一段弧；(4)，L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．解：(3)如图11-5所示，记，，围成的区域为D．（其中=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：故(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．，，即，于是从而(5)L，OA如图11-7所示．图11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，，由格林公式得：于是：12章5.求