高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.4函数的应用(Ⅱ)学习导航学案新人教B版必修1

3.4函数应用(Ⅱ)自主整理指数函数y=ax(a>1)经复合可得到指数型函数，指数型变化较快，例如生活中经常接触储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型.指数型增长随底数不同而不同.复利是一种计算利息方法，即把前一期利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息.我国现行定期储蓄中自动转存业务类似复利计息储蓄.对数函数y=logax(a>1)经复合可得到对数型函数，对数型增长特点是先快后慢.如经济学家马尔萨斯提出人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过时间，y0表示t=0时人口数，r表示人口年增长率.到了很多年以后，人口增长就很慢了.这种增长模型与直线型和指数爆炸型以及幂函数型增长都不同，增长趋势是先快后慢，最后几乎不大变化了.幂函数y=xn(n>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快.例如球体积V随半径R增大而变化关系就是幂函数关系，体积是半径函数V=πR3.随着x增大，假设y=xn(n>0)比起y=ax(a>1)增长速度来，是后者增长得快.高手笔记1.在实际问题中，常常遇到有关平均增长率问题，如果根底量为a，平均增长率为r，那么对于时间x总量y＝a〔1＋r〕x，解决平均增长率问题，可用此公式建立函数式.2.在构建函数模型过程中，如果涉及变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解方法去找出变量间较为简单对应关系，再解决较为复杂函数模型间关系.同时要注意借助于图形直观性去寻找问题答案.3.由于“递增率〞问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关量值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解.用函数图象求解未知量值或确定变量取值范围，是数学常用方法之一.4.数据拟合模型是指根据试题所给出一组相关数据，根据数据所呈现特点选择比拟适当函数来近似地模拟所给数据之间对应关系，这种模拟是粗略,只能起到估算作用.一般来说,需要根据所给数据描出其在坐标系中散点图，从图象上观察并选择适当函数，最后还需要检验.名师解惑1.幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型增长情况有什么区别？剖析：一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间〔0,＋∞〕上，无论n比a大多少，尽管在x一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax增长快于xn增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有ax>xn.同样地，对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间〔0,＋∞〕上，随着x增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax增长慢于xn增长，因此总存在一个x0，当x>x0时,就会有logax<xn.综上所述，在区间〔0,+∞〕上，尽管函数y=ax(a>1)、y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们增长速度不同，而且不在同一个“级别〞上，随着x增大，y=ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)增长速度，而y=logax(a>1)增长速度那么会越来越慢，因此，总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn<ax.2.常见数学模型有哪些？剖析：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注.具体函数运用在生活中有很多表达，在学习完函数这局部内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见数学模型：〔1〕平均增长率问题：如果原来产值根底数为N，平均增长率为p，那么对于时间x产值或产量y=N〔1+p〕x.〔2〕储蓄中复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，那么y=a〔1+r〕x.〔3〕根据几何、物理概念建立函数关系，如位移、速度、时间函数关系，灌溉渠横截面面积A和水深h函数关系.〔4〕通过观察、实验建立函数关系，如自由落体距离公式等.3.解数学应用题应具备哪些能力？剖析：〔1〕能阅读、理解对问题进展陈述材料，能综合运用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义或在相关学科、生产、生活中数学问题，并能用数学语言加以表述.〔2〕学会审题，题意较难理解是应用题特点，所以对应用题必须认真仔细、反复阅读，弄清题目所反映实际背景，弄清每一个名词、概念含义.分析条件，明确所求结论，把实际问题转化为数学问题.〔3〕正确建模与解模，在审题根底上，联想数学知识和方法，恰当地引入参数或适当坐标系，列出满足题意数学关系式或作出满足题意几何图形.解模时要特别注意：所建模型中函数自变量实际意义以及解模涉及近似计算要保持一定准确度.图示如下：图3-4-1讲练互动【例题1】据报载，自2004年起三年内，我国城市垃圾平均每年以9%速度增长，到2006年底，三年总共堆存垃圾将达60亿吨，侵占了约五亿平方米土地.〔1〕问：2004年我国城市垃圾约有多少亿吨？〔2〕据预测从2007年开场我国还将以年产一亿吨速度生产着新垃圾，从资源学观点看，生活垃圾也是资源，如果1.4亿吨垃圾发电，可以节约2333万吨煤炭，现在从2007年起，我国每年处理上年总共堆存垃圾用于发电，问：2007和2021这两年，每年可节约多少吨煤炭以及共节约多少平方米土地？分析:(1)如果设2004年产生垃圾为x亿吨，那么可依次得到后面各年垃圾量，于是可以找到关键等量关系，求出x；〔2〕这是一个比例关系，即1.4亿吨垃圾相当于2333万吨煤，那么2007和2021两年处理垃圾量分别相当于多少吨煤.解：〔1〕设2004年我国共有x亿吨垃圾，那么2005年有x(1+9%)亿吨，2006年共有x(1+9%)2亿吨.所以三年共堆存垃圾为x+x(1+9%)+x(1+9%)2亿吨.由题意,得x+x(1+9%)+x(1+9%)2=60，解得x=18.3亿吨.〔2〕2007年共处理堆存垃圾60×=6亿吨，设2007年节约x1万吨煤，由，解得x1=9998.6万吨；2021年共处理堆存垃圾(60+1-6)×=5.5亿吨.设2021年节约x2万吨煤，那么，解得x2=9165.4万吨.由于60亿吨垃圾占用了土地5亿平方米，即每吨垃圾占用土地为平方米，而2007和2021这两年共处理垃圾6+5.5=11.5亿吨，所以可节约11.5×=0.958亿平方米土地.黑色陷阱〔1〕要注意关键字眼“三年总共堆存垃圾〞，否那么易得到这种x(1+9%)2=60错误等量关系；〔2〕注意单位换算.变式训练1.在英国，1961年时，一所房子以3500英镑价格出售，而1981年，它却以34000英镑价格再次出售，20年来，这所房子没有什么变化，但价格上涨了，假定20年来，价格膨胀率不变，那么这所房子价格膨胀率是多少？〔忽略房子折旧因素〕假设上面膨胀率一直保持到2007年不变，那么在2007年，房子价格是多少？解析：设价格膨胀率为x%，那么3500(1+x%)20=34000,解得x%≈12%.假设按以上价格膨胀率一直保持到2007年不变，那么在2007年，房子价格是34000(1+12%)26≈647362〔英镑〕.【例题2】(2007海南高考样题，理17)某工厂今年1、2、3月生产产品1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月产量,以这三个月产量为依据,用一个函数模拟该产品月产量y与月份数x关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c，如果4月份产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比拟好理由是什么？分析:此题已给定两种供选择函数模型，处理关键就是根据数据求出模拟函数具体表达式，然后分别用这两个所求函数表达式来预测4月份产量，看哪一个函数表达式预测值与实际值比拟接近.解：设f(x)=px2+qx+r(p≠0).由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,有解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.2+0.35x+0.7.∴f(4)=1.3.设g(x)=abx+c.由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,有解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.x+1.4.∴g(4)=1.35.∵｜1.3-1.37｜＝0.07＞0.02＝｜1.35-1.37｜，x+1.4作模拟函数较好.绿色通道对于给出一组数据拟合函数模型题目，应根据数据找出比拟合理函数模型，根据数据特点，可能有多种可能结果，但用哪一个还需结合实情选择.变式训练2.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据:x0y1那么与x,y函数关系最接近函数为(其中a,b为待定系数)()A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=ax2+bD.y=a+解析：散点图如下图:由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升，是增函数，排除C、D，应选择B.答案：B2月1日起开场上市，通过市场调查，得到西红柿种植本钱Q〔单位：元/100kg〕与上市时间t〔单位：天〕数据如下表：时间t50110250种植本钱Q150108150〔1〕根据表中数据，从以下函数中选取一个函数，描述西红柿种植本钱Q与上市时间t变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=abt，Q=a·logbt.〔2〕利用你选取函数，求西红柿种植本钱最低时上市天数及最低种植本钱.分析:〔1〕可先以时间t为横坐标，本钱为纵坐标在平面直角坐标系中描出对应点，来判断其与哪个函数更吻合；〔2〕求相应函数最值即可.解：〔1〕由表中数据在平面直角坐标系中描点可知，当时间变化时，种植本钱不是一个单调函数，而Q=at+b、Q=abt、Q=a·logbt都是单调，故只能选用Q(t)=at2+bt+c.把点(50,150)，(110,108)，(250,150)分别代入Q(t)=at2+bt+c,可得解得Q(t)=t2t+.〔2〕对Q(t)进展配方,得Q(t)=(t-150)2+100，当t=150时，西红柿种植本钱最低为100元/100kg.【例题3】某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个鼓励销售部门奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销售利润进展奖励，且奖金y〔万元〕随销售利润x〔万元〕增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润25%，现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x，其中哪个模型能符合公司要求？分析:某个奖励模型符合公司要求，即当x∈［10,1000］时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图象得到初步结论，再通过具体计算确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x图象如下图3-4-2：图3-4-2x图象都有一局部在y=5上方，这说明只有按模型y=log7x+1进展奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间［10,1000］上是单调递增，当x∈(20,1000)时，y>5，因此该模型不符合要求.x806x是增函数，故当x∈(806,1000］时，y>5，因此，也不符合题意.对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1000］上单调递增，且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否超过利润x25%，即当x∈［10,1000］时，利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x图象，由图象可知f(x)是减函数，因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0，即log7x+1<0.25x.所以当x∈［10,1000］时，y<0.25x.这说明，按模型y=log7x+1奖励不超过利润25%.综上所述，模型y=log7x+1确实符合公司要求.绿色通道从这个例题我们看到，底数大于1指数函数模型比一次项系数为正数一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数幂爆炸等不同函数类型增大含义.变式训练1,y2,y3,y4随变量x变化数据如下表：x051015202530y151305051130200531304505y25337336.37×1051.2×1072.28×108y35305580105130155y452.31071.42951.14071.04611.0151关于x呈指数型函数变化变量是_____________.解析：以爆炸式增长变量是呈指数型函数变化.从表格可以看出，四个变量y1,y2,y3,y4均是从5开场变化，变量y4越来越小，但是减小速度很慢，那么变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1,y2,y3都是越来越大，但是增大速度不同，其中变量y2增长最快，画出图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案：y25.李先生打算将1万元存入银行,现银行提供两种计息方式:一是单利,即只有本金生息,利息不再产生利息,年利率为4%;二是复利,即头年所生利息第二年也开场计息,年利率为3.6%.利息税率为20%(即所产生利息中应扣除作为利息税上交国家局部),问小李应选用哪种计息方式(可以利用计算器)分析:列表格表示分别按复利和单利存款不同年数