高中-必修一-函数单调性-知识点+例题-全面

PAGEPAGE1学科教师辅导教案―函数单调性教学内容知识模块1函数知识模块1函数单调性的概念1、概念：单调增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间.单调减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间.yy=x2xy2x10y1x10yx10yyy=x2yy=x2xy2x10y1x10yx10yyy=x2x2x10xy2yy1x2x22、函数单调性的几何意义：函数的单调性在图像上的反映是：若f(x)在区间I上是单调增函数，则它的图像在I上的部分从左到右是上升的；若f(x)在区间I上是单调减函数，则它的图像在I上的部分从左到右是下降的；3、单调区间：如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或者单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.【注意点】1、在函数的单调性定义中，x1,x2有三个特征：一是任意：即区间内任意取两个值x1,x2；二是有大小：一般设x1<x2；三是同属于一个单调区间：任意x1,x2∈I.2、理解函数单调区间应注意的问题：①函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先求函数的定义域；②单调区间可以是开区间，也可以是闭区间.但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点，要用开区间；③一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而应用“，”或“和”连接；如在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数，而不能说在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数；④函数的单调性是一个局部性质，介绍函数单调性时，一定要指出在哪一个区间上，而不能笼统说函数是单调的；⑤单调性与单调函数的区别：单调性是指在函数定义域的子区间上具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性，如在（-∞，0）和（0，+∞）上分别具有单调性，但是它不是单调函数；函数y=3x+1在整个定义域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数.精典例题透析精典例题透析[例1]根据下图说出函数在每个单调区间上是增函数还是减函数？[巩固1]下图是定义在（-5，5）上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出函数y=f(x)的单调区间以及在每一个区间上y=f(x)是单调增函数还是单调减函数.[例2]说出下列函数的单调区间及在各个单调区间上的单调性.（1）（2）（3）（4）[巩固2]下列说法不正确的是____________若x1,x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y=f(x)在I上是单调增函数函数y=x2在R上是单调增函数函数在定义域上是单调增函数函数的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）思考：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性是怎样的？知识模块2函数知识模块2函数单调性的判定与证明1、定义法：（1）取值：在区间内任取x1，x2，且x1<x2；（2）比较大小：比较f(x1)和f(x2)的大小（作差或作商），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）根据定义，得出结论.当符号不确定时，可以进行分类讨论，在确定差的符号.精典例题透析精典例题透析[例1]证明函数在（-1，+∞）上的单调性.[巩固1]证明：函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是减函数．[巩固2]证明函数f(x)＝x3在定义域上是增函数.2、作图法：根据函数的图像特点（上升或下降），判断函数在某个区间上的单调性（容易作出图像的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、简单的分段函数等）精典例题透析精典例题透析[例1]画出函数图像，判断下列函数在相应区间上的单调性（1）y=-x2+2(2)[巩固1]利用函数图像判断下列函数的单调性1、f(x)=3|x-1|2、f(x)＝2x2＋4x－3知识模块3函数知识模块3函数单调性的知识拓展1、和差函数单调性的判断f(x)和g(x)的单调性相同时，则f(x)+g(x)的单调性和f(x)、g(x)的单调性相同；f(x)和g(x)的单调性相异时，则f(x)-g(x)的单调性和f(x)的单调性相同.f(x)增增减减g(x)增减增减f(x)+g(x)增减f(x)-g(x)增减精典例题透析精典例题透析[例1]判断函数在（0，+∞）上的单调性.[巩固]判断函数在（-∞，0）上的单调性.2、复合函数单调性的判断：如果f(x)和g(x)的单调性相同，则f(g(x))为单调增函数；如果f(x)和g(x)的单调性相异，则f(g(x))为单调减函数；y=f(t)（外函数）增增减减t=g(x)（内函数）增减增减y=f[g(x)]增减减增即“同增异减”精典例题透析精典例题透析[例1]已知f(x)在R上是减函数，判断函数的单调性.[巩固1]已知f(x)=-x2+2x+8，g(x)=f(2-x2)，求g(x)的单调区间.3、抽象函数单调性的判断：抽象函数能够代表一类函数，判断此类函数的单调性主要是利用函数单调性的定义和抽象函数的运算性质，同时要注意赋值法的使用.精典例题透析精典例题透析[例1]定义在（0，+∞）上的函数y=f(x)对任意的正实数x、y都有，且当x<1时，f(x)>0，试判断函数y=f(x)在定义域上的单调性。[例2]已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0.判断函数在R上的单调性并证明.[巩固1]设函数y=f(x)定义在R+上，且对任意x、y>0，都有f(xy)=f(x)+f(y)，当x>1时，f(x)>0，试判断函数f(x)在（-∞，0）上的单调性.[巩固2]函数y=f(x)对任意的实数x、y都有，且当x<0时，f(x)>2，证明函数y=f(x)在R上是单调减函数.知识模块4函数知识模块4函数单调性的应用题型一：函数单调性的证明[例1]求证函数在（2，+∞）上是单调减函数.[巩固1]判断函数的单调性，并给出证明.方法总结方法总结利用定义证明函数单调性时，常用的变形技巧有：(1)因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差变形后进行因式分解；(2)通分：当原分母是分式函数的时候，作差后往往进行通分，然后对式子进行因式分解；(3)配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于符号判断；(4)分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.题型二：求函数的单调区间[例1]作出函数的函数图像，并指出函数f(x)的单调区间.[巩固1]作出函数f(x)＝|x2＋2x－3|的图像，并指出函数f(x)的单调区间.[例2]已知函数，求f(x)的单调区间，并指出函数在单调区间上的单调性.[巩固2]已知函数，求f(x)的单调区间，并指出函数在单调区间上的单调性.方法总结方法总结(1)图像法：作出函数图像；上升图象对应增区间，下降图像对应减区间(2)定义法：作差，因式分解；判断各因式符号；如果各因式符号确定，那么函数在整个定义域上具有单调性，如果有一个因式的符号不确定，那么需要分界点以确定单调区间，因式符号必须在某个区间内恒成立.题型三：由函数的单调性比较大小与解不等式[例1]如果函数f(x)=x2+bx+c关于直线x=2对称,比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.[巩固1]已知f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0)，则f(3)，f(-3)，f()从小到大的顺序为________________.[例2]已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(2x-1)<f(3)，求x的取值范围.[巩固1]已知f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x)，求x的取值范围.[巩固2]]已知函数f(x)是定义在[0，+∞)上的增函数，且，f(2)=1，解不等式：方法总结方法总结1、利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小即可；2、利用函数单调性解抽象不等式是：若函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，对任意x1,x2∈I，且f(x1)<f(x2)，则有x1<x2；若函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，对任意x1,x2∈I，且f(x1)<f(x2)，则有x1>x2.题型四：用函数的单调性求函数的最值[例]函数的最大值为_____.[巩固]已知二次函数f(x)=ax2-2ax-5，求函数在区间[0，2]上的最值.方法总结方法总结判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值；①如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调增(减)函数，那么f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值或最(小)大值；②如果函数y=f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，那么f(x)在区间(a，c)有最大值f(b)；③如果函数y=f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，那么f(x)在区间(a，c)有最小值f(b).题型五：由函数的单调性求参数的取值范围[例1]若函数的单调增区间是[3，+∞)，则a=_______.[巩固1]若函数在区间[3，+∞)上单调递增，则a的取值范围是__________.[例2]已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1，2]上具有单调性，求实数a的取值范围.[巩固2]若函数f(x)＝ax2＋4x－12在（-1，+∞）上是单调增函数，求参数a的取值范围.方法总结方法总结1、利用单调性的定义：设单调区间内x1<x2，由f(x1)–f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求参数范围；2、利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数；对于二次函数，要注意开口方向和二次项系数不为零.巩固巩固基础训练函数的单调增区间为_________________.2、已知函数在[a，+∞)上单调递增，则a的取值范围是______________.3、函数的单调增区间为_______________，单调减区间为______________.4、函数y=(2k+1)x+b在R上是单调减函数，则k的取值范围是______________.5、已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈[2，+∞)时，f(x)是增函数，当x∈(-∞，2)时，f(x)是减函数，则f(1)=_______.6、下列函数中，在区间（0，2）上为单调增函数的是_____________.（填序号）①y=3-x②y=x2+1③④y=-|x|7、如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞，4]上单调递减，则实数a满足的条件是______________.8、求证：函数在区间（-∞，0）上是单调增函数.9、已知函数f(x)=x2-2x+2.（1）求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；（2）若g(x)=f(x)-mx在区间[2，4]上是单调函数，求m的取值范围.能力提升训练能力提升训练10、若函数f(x)是定义在R上的增函数，当a+b>0时给出下列四个关系，其中正确的关系为____________.（填序号）①f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)②f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)③f(a)+f(-a)>f(b)+f(-b)④f(a)+f(-a)<f(b)+f(-b)11、已知函数在区间[-2，+∞)上为单调增函数，则a的取值范围是__________.12、设函数y=f(x)为R上的减函数，且f(-2)=0，则不等式f(x-1)>0的解集是_____________.13、已知f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是__________.14、求f(x)=x2-2ax-1在区间[0，2]上的最大值和最小值.15、已知f(x)=ax2-2ax+2+b（a>0）在区间[2，3]上的值域为[2，5].（1）求a、b的值；（2）若