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文档简介
关于函数的奇偶性习题函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.第2页,共17页,2024年2月25日,星期天☆对奇函数、偶函数定义的说明:
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(前提条件)。
[a,b][-b,-a]xo第3页,共17页,2024年2月25日,星期天利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;(2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)作出相应结论.第4页,共17页,2024年2月25日,星期天判断函数的奇偶性
判断下列函数是否具有奇偶性.(1)f(x)=x+x3+x5;(2)f(x)=x2+1;(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x2,x∈[-1,3].分析:先求定义域,再判断f(-x)与f(x)的关系.解析:(1)函数f(x)=x+x3+x5的定义域为R.当x∈R,-x∈R.∵f(-x)=-x-x3-x5=-(x+x3+x5)=-f(x).∴f(x)=x+x3+x5为奇函数.第5页,共17页,2024年2月25日,星期天(2)函数f(x)=x2+1的定义域为R,当x∈R,-x∈R.∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),∴f(x)=x2+1是偶函数.(3)函数f(x)=x+1的定义域是R,当x∈R时,-x∈R,∵f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),(x∈R)∴f(x)=x+1既不是奇函数,也不是偶函数.(4)因为函数的定义域关于原点不对称,存在3∈[-1,3],而-3[-1,3].∴f(x)=x2,x∈[-1,3]既不是偶函数,也不是奇函数.点评:定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提.第6页,共17页,2024年2月25日,星期天练习.判断下列函数的奇偶性(1)(2)(3)(4)第7页,共17页,2024年2月25日,星期天
说明:根据奇偶性,函数可划分为四类,①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数
第8页,共17页,2024年2月25日,星期天题2.已知函数且f(-2)=10,则f(2)等于()A-26 B-18 C-10 D10A1
第9页,共17页,2024年2月25日,星期天2.函数f(x),g(x)在区间[-a,a](a>0)上都是奇函数,则下列结论:①f(x)-g(x)在[-a,a]上是奇函数;②f(x)+g(x)在[-a,a]上是奇函数;③f(x)·g(x)在[-a,a]上是偶函数;④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是4第10页,共17页,2024年2月25日,星期天跟踪训练2.偶函数f(x)(x∈R)满足:f(-4)=f(1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增,使f(x)<0的自变量范围是(
)A.(-∞,-4)∪(4,+∞)B.(-4,-1)∪(1,4)C.(-∞,-4)∪(-1,0)D.(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4)解析:根据题目条件,想象函数图象如下:答案:B第11页,共17页,2024年2月25日,星期天利用函数的奇偶性求函数的解析式
已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,求当x∈(0,+∞)时,f(x)的表达式.解析:当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),因为x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,所以f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4,因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-x-x4.第12页,共17页,2024年2月25日,星期天跟踪训练3.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求当x≥0时,函数f(x)的解析式.分析:将x<0时,f(x)的解析式转化到x>0上,这是解决本题的关键.解析:由f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-f(-x)=-{(-x)[1-(-x)]}=x(1+x);当x=0时,f(0)=-f(0)f(0)+f(0)=02f(0)=0即f(0)=0.∴当x≥0时,f(x)=x(1+x).第13页,共17页,2024年2月25日,星期天第14页,共17页,2024年2月25日,星期天1.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;(2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)作出相应结论.2.若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数.3.若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.4.函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质.第15页,共17页,2024年2月25日,星期天5.由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).6.奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反.7.偶函数在其对称区间
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