2020年高考数学（文）重难点07选考系列（解析版）

2020年高考数学（文）

重难点07选考系列（参数方程与不等式）

【高考考试趋势】选考系列主要包含参数方程极坐标，以及不等式是高考中二选一的一道解

答题，属于相对比较简单的题目，共10分，是高考大题中分值最小的一道题目.对于参数方

程与极坐标，一般均是简单一点的解析几何.对于不等式部分，主要还是以绝对值不等式为

主.本专题中主要介绍几种高考中常见的选做题类型，以及在后面【点睛】处有此类题型的

解决方法.通过本专题的讲解与练习之后，在高考中，此类题型就能够迎刃而解.拿到满分.

【知识点分析以及满分技巧】对于参数方程与极坐标系方程属于简单一点的解析几何.

需要搞清楚极坐标系与直角坐标系之间的等量转化，相对于要学会将极坐标系转化成直角坐

标去运算，同理将直角坐标系转化成极坐标系去运算.

对于绝对值不等式的求解，一般采用三段法，将绝对值不等式分成三段，从而进行分段

讨论运算，应注意计算技巧，计算是本类题目的易错点.

【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）

一、解答题

1.（2020•宁夏高三月考（文））在平面直角坐标系xOj中，曲线G的参数方程为

x=cos6x=-2--t

2”为参数）.

曲线G的参数方程为＜r

6,

y=3sin。

y

2

（1）求曲线G，的普通方程;

（2）求曲线G上一点p到曲线G距离的取值范围.

【答案】（1）?+^-=1；^3x+y+2j3=0.

（2）[0,25/3].

【解析】

【分析】

（1）利用平方和代入法，消去参数即可得到曲线G，G的普通方程；

（2）由曲线G的方程，设P（cosa,3sina）,再由点到直线的距离公式和三角函数的

性质，即可求解.

【详解】

（八fx=cos。

（1）由题意，\.C（。为参数），则.八，平方相加，即可得C1：

y=3sin，M=sin6

x2y

-9

x--2--t

2

由，。为参数），消去参数，得C2：y=—g(x+2),即石罗233

争

y

(2)设P(cosa,3sina),

P到C2的距离d_小。sa+3sina+2码

2

*/ae[0,2K),当sin1a+&=1时，即。=工，dn1a、=28，

\613

[TT4兀

当sin|a+w=T时，即a==~,dmin=0.

I6J3

取值范围为

【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题,

其中解答中合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数

方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能

力.

X=3+2c（）、a

2.（2020•四川高三期末（文））已知曲线C的参数方程为《一，‘（。为参数），

y=1—2sina,

以直角坐标原点为极点，％轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.

（1）求曲线。的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹.

（2）若直线/的极坐标方程为sin。-2cos6=（,求曲线。上的点到直线I的最大距离.

【答案】（1）02—6夕cosG—2夕sin6+6=0,表示以（3,1）为圆心，2为半役的圆；

（2）述+2.

5

y=psin3,

【解析】（1）把曲线C的参数方程利用平方关系转化为普通方程，再结合《八转

x=pcosO,

化为极坐标方程；

（2）把直线/的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离得到结果.

【详解】

/、（x=3+2cosafx-3=2cosa,

解：1由।°.得1.

y=\-2sina[y-l=-20sma,

两式两边平方并相加，得（x-3『+（y—1）2=4.

所以曲线C表示以（3,1）为圆心，2为半径的圆.

y=psind,,

将＜_.代入得（pcose_3x）2~+（zQsing_lx）2=4,

X—L）COSU,

化简得p2-6pcos^-2psin^+6=0.

所以曲线C的极坐标方程为夕2一6夕cos，-2Psin8+6=0.

（2）由sin。-2cos。=工，得psine-2pcos6=l,即y-2x=l,得2x-y+l=0.

所以直线/的直角坐标方程为2%—y+l=0.

因为圆心C（3,1）到直线1:2x—y+1=0的距离d=++"=竽

所以曲线C上的点到直线/的最大距离为4+r=述+2.

5

【点睛修数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如cos2a+sin2a=1等三角恒等式）

消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系

222

x-pcosO[A+)-P

式〈.八，〈V等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本

y=psinO[—=tand

x

题这类问题•般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问

题.

22

3.(2020.四川高三期末(文))在直角坐标系X0Y中，曲线C的方程为土+匕=1.以

43

坐标原点为极点，》轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

psin=-叵.

(1)求曲线C的参数方程和直线/的直角坐标方程；

(2)若直线/与X轴和y轴分别交于A,B两点，P为曲线C上的动点，求APAB面积的最

大值.

x-2cosa

广（a为参数），x—y—2=0（2）77+2

Iy=V3sina

【解析】

【分析】

(1)根据椭圆参数方程形式和极坐标与直角坐标互化原则即可得到结果；(2)可求出

AB=2枝,所以求解APA区面积最大值只需求出点P到直线/距离的最大值；通过假设

P(2cosa,6sina),利用点到直线距离公式得到j,从而得到当

sin(a—o)=l时，4最大，从而进一步求得所求最值.

【详解】

J2(x=2cosa

(1)由二+L=1,得C的参数方程为《L(a为参数)

43y=Vasina

由psin^-―I=

（2）在x—y—2=0中分别令y=0和尤=0可得:A（2,0）,8（0,—2）

=AB=2叵

设曲线C上点尸（2cosa,岳ina卜则p到/距离:

（62）

12cosa-Vasina-21|V3sina-2cosa+2|sina——7=coscr+2

IV7V77

"=6=6-V2

=叵牛也1其中：8S0=£，sin展年

夜V7V7

当sin（a—。）=1，

所以4上43面积的最大值为,*2血*里=2=，7+2

2V2

【点睛】本题考查椭圆参数方程、极坐标化直角坐标以及椭圆上的点到直线距离的最值

问题求解，求解此类最值问题的关键是利用参数表示出椭圆上点的坐标，将问题转化为

三角关系式的化简，利用三角函数的范围来进行求解.

1

x=—+tcosa

4.（2020•四川高三期末（文））在直角坐标系宜力中，直线/的参数方程为<2

y=fsina

（，为参数，0<a<»）.以坐标原点为极点，无轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

2cos。

的极坐标方程为夕=

sin7?

（1）求曲线。的直角坐标方程;

（2）设直线/与曲线C相交于AB两点，若|AB|=8,求a值.

【答案】（1）产:？%；（2）a=工或学

66

【解析】

（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角

坐标方程，可求得4+「2和丫2,根据直线参数方程参数的几何意义可知

IAB|=,-胃="亿+叶）2_4%，代入可求得结果.

【详解】

2cosa

(1)山夕=---得夕sin26=2cose

sin'，

/.p1sin20=2pcos6,BPy2=2x

（2）将直线/的参数方程代入曲线。的方程得：入出2a_21cosa—1=0

A=（-2cosor）2+4sin2a=4>0

、「r、E-r2cos（71

设4,12是方程的根，则：［+J=.1，邛2=^~2~

sin"asina

・•.|AB|=|=+亮=^=8

21

/.sin*-a=—,又Oca<乃

4

.1乃…5万

sina=—a=—或一

266

【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是

够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于a的方程，属中档题.

5.（2020•四川高三期末（文））已知函数/（x）=|x+a|+|2x—5|（a>0）.

（1）当a=2时，解不等式/（幻25；

（2）当xe［a,2a-2］时，不等式/（x）W|x+旬恒成立，求实数a的取值范围.

Q|3

【答案】（1）{x|xW2或x»§}；（2）（2,y］.

【分析】

（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a的取值

范围，判断x+a,x+4为正，去掉绝对值，转化为|2x-5|44—a在xe［a,2a-2］时

恒成立，得到a<4,a-4<2x-5<4-a,在2a-2］恒成立，从而得到。的取

值范围.

【详解】

3—3x,x<—2

(1)当a=2时，/(x)=|x+2|+|2x-5|=>7—x,—24x4—,

2

c5

3x-3o,x>—

2

xv—2

/、x<—2

由/(x"5,得(22<，即｛2<x<-2

x<——

3

-2<x<-

-2<x<2

7-x>5x<2

3x-3>5

Q

综上：x<2或

Q

所以不等式5的解集为｛*|无42或x2§｝.

(2)/(x)<|x+4|,/(%)=|x+«|+|2x-5|<|x+4|,

因为xe[a,2a-2],2a-2>a,

所以。>2,

又X£[G,2Q-2],工+。>0,x+4>0,

得x+。+12x—5gx+4.

不等式恒成立，即|2x-5区4—a在x2a-2]时恒成立,

不等式恒成立必须。44,a-4<2x-5<4-a,

解得a+l<2x<9-a.

2。2a+1

所以L,八，

4a—4W9—a

13

解得1<。,

结合2<〃<4,

13

所以2<。工不，

(13一

即Q的取值范围为[2,《.

【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中

档题.

6.(2020.福建省龙岩第一中学高三期中(文))已知函数/(x)=|x+5]一卜一4|.

(1)解关于龙的不等式/(x)Zx+l；

(2)若函数/(x)的最大值为M,设。，〃为正实数，且(a+1)9+1)=M,求他的

最大值.

【答案】(1)(-oo,-10]u[0,8]:(2)4.

【分析】

(1)通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可：

(2)根据绝对值三角不等式求得了(x)的最大值，结合柯西不等式解出即可.

【详解】

(1)小)小+汩1。+1等价寸一(尤+5)+(1)"+1,

-5<x<4x>4

nVv、、<

(x+5)+(x-4)>x+L(zx+5)-(x-4)>x+L

解得x4-10,或0Vx<4,或44x48,

于是原不等式的解集为(-8，-10[30,8]

(2)易知|x+5]一|x—4]«|(%+5)—(x-4)|=9,即M=9.

所以(a+1)(匕+1)=9,

即9=(a+l)(7?+l)=[(G)+1(班)+1>[4ab+l^,

于是JM+1W3,解得。人44,当且仅当。=6=2时等号成立，

即时的最大值为4.

【点睛】本题考查了解绝对值不等式的问题，考查绝对值不等式的性质及柯西不等式的应

用，是一道中档题.

7.(2019•福建高考模拟(文))己知函数/(幻=卜+2„-4].

(1)求不等式/(x)43x的解集;

(2)若/(x)NZ(x-l)对任意xwR恒成立，求&的取值范围.

【答案】(1)[2,+00)(2)(-℃,2]

【分析】

(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再

取并集，即得所求;

|x+2|+|x-4|

(2)对x分类讨论，当xw1时，k<,借助绝对值不等式即可得到右侧的最

k-1!

小值，从而得到人的取值范围.

【详解】

(1)当x>4时，原不等式等价于x+2+x—4W3x,解得xN-2,所以x>4；

2

当x<—2时，原不等式等价于—x—2—x+4W3x,解得，所以此时不等式无解;

当—24xK4时，原不等式等价于x+2—x+4<3x,解得x22,所以2Kx<4；

综上所述，不等式解集为[2,«»).

(2)由得|x+2Hx_42

当x=l时，6NO恒成立，所以&eR；

|X4-2|+|X-4||X-1+3|+|X-1-3|

当XW1时,yIT=FTi+AWA

1十三川-白闫〔1+WH>9)=2

因为

当且仅当(1+aw一3

|>0即x24或x<—2时,等号成立

x-1

所以，k<2

综上，女的取值范围是(F2].

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价

转化的数学思想，属于中档题.

8.(2019•河北高考模拟(文))已知函数/(力=|2.+|2%+3|+m，meR.

(1)当加=一2时，求不等式/(x)<3的解集;

2

(2)若Vxe(fo,0),都有f(x"x+—恒成立，求相的取值范围.

【答案】⑴-2,1；(2)m>-3-2y/2

【分析】

4x+l,x>0

3

(1)当加=-2时,f(x)=|2x|+|2x+3卜2=<1,一一<x<0,分段解不等式即可.

2

,u3

-4x—5,x<——

12

3+/77,--<X<0

232

(2)f(x)=|2x|+|2x+3|+m=<.当—<4。时，得3+相2%~1—,

/c,32x

-Ax-3+m,x<——

2

32

当工<一一时，得“25x+—+3,利用恒成立求最值，可得m的取值范围.

2x

【详解】

4x+l,x>0

(1)当m=-2时,f(x)=|2x|+|2x+3卜2=<1,—<x<0

2

3