2020-2021学年阿勒泰地区高一年级上册期末数学试卷(A卷)(含解析)

2020-2021学年阿勒泰地区高一上学期期末数学试卷（A卷）

一、单选题（本大题共14小题，共70.0分）

1.设集合2={%|-53%<1},8={久|%32},则2。8=（）

A.{%|—5<x<1}B.{%|-5<%<2］

C.{x\x<1}D.{x\x<2}

2.若sina+2sE2］=2（0<avTT）,贝肥加口的值为（）

A.1B.V3C.在D.不存在

2

3.与函数y=%有相同图象的一个函数是（）

3___

l9aXx

A.y=靠B.y=a°C.y=D.y=logaa

4.已知函数/（无）=sin（兀-3%）+sin（3x+］）（3>0）,若/'（x）在（兀,2兀）内没有零点，则3的取值

范围是（）

7

A.（%]B.（0中"|以C.（0,1]D.（0,|]u[|,^]

5.已知指数函数y=/（X）的图象过点G，务则10g2〃2）的值为（）

A.1B--1C.-2D.2

6.已知角a的终边经过点P（-1，》,则sina等于（）

A-2c--D.3

J34

7.已知平面向量做=@「与:，,涉=：翁再，副=啜一4「瀚:，则下列结论中错误的是（）

A.向量符与向量的共线

B.若鹫=微辞#&我（舄］，逼iE喉.），则昴i=®,跖=

C.对同一平面内任意向量感，都存在实数时,%，使得碘'=%赤十%暂

D.向量物在向量流方向上的投影为领

8.函数、=篝在区间［-兀,可上的图象是（）

9,明朝中叶，我国朱载靖创造了将一个八度平均分成十二等份的音乐定律方法-一十二平均律,

比法国梅尔塞恩于1636年发表的相似理论要早52年.

按此律，两个相差八度的音频率比恰为1：2,在乐理里称为“极度完全协和”，比如男女声齐唱时，

女牛比男生高八度但听起来就极为和谐.已知纯音的函数模型是y=As讥2兀"(/为频率，t为时

间)，自然界的声音一般都是若干纯音合成的复合音.若用三个纯音合成一组“极度完全协和”

的复合音F(t)=sint+sin2t+s讥4如则F(t)的最小正周期为()

A.B.nC.27rD.47r

10.函数f(x)=A?+"+3(：的零点个数是()

(2x—6+lnx(x＞0)

A.0B.1C.2D.3

11.已知向量五=(1,1),b=(x2,x+2),若落1共线,则实数%的值为()

A.—1B.2C.—1或2D.1或—2

12.已知函数/(%)=「一产2+",则不等式/(2020+%)+/(2021—2乃＜1的解集是()

A.(-8,4039]B.[4039,+oo)C.(—8,4042]D.[4042,+oo)

13.下列函数中，同时满足：①在(0,上是增函数，②为奇函数，③以兀为最小正周期的函数是

().

X

A.y=tanxB.y=cosxC.j,=tan-D.y=|sinx\

14.若无＞y＞0,n6{0,1,2,...,2020),则使得+y"》＞1恒成立的几有()个

A.1B.2C.3D.2021

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

15.设函数/'(%)=min{x2-l,x+1,-%+1},其中/nin{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,若/'(a+2)>

f(a),则实数a的取值范围为.

16.^sindcosd>0,则。在第___象限.

17.函数y=1的定义域是,值域是.

________-1

18.平面上有4B两定点，且依用=1,C是平面内的一动点，满足coszXCB=—『则田C|的取值

范围是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

19.已知全集U={1,2,3,4,5},A=[1,2,3),3={2,3,4}.求：4U上(CMnB,Cu(AnB).

20.如图所示，在平面四边形48CD内，AB=1,为正三角形，。为△ABC外心，BO-XC=j.

(1)求BC边长；

(2)求△BCD面积的最大值.

21.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元〜8千美元的地区销售该

公司4饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.

2

(1)下列几个模拟函数中：(T)y=ax+bx；@y=kx+b；@y=logax+b；④y=a"+b(x表示

人均GDP,单位：千美元，3;表示年人均4饮料的销售量，单位：L)用哪个模拟函数来描述人均

4饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；

(2)若人均GDP为1千美元时，年人均4饮料的销售量为23人均GDP为4千美元时，年人均4饮料的

销售量为53把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均4饮料的销售量最

多是多少？

7、

22.(1)已知sina+cosa=石，ae(0,7r),求tana的值；

(2)求y=sin2x+2金cosg+x)+3的最小值.

23.已知扇形40B的圆心角a=120。，半径长r=6.

(1)求弧卷的长；

(2)求扇形所含弓形的面积；

(3)将此扇形卷成一圆锥，求该圆锥的体积.

24.已知函数/(%)=loga。一X),3(x)=l°ga(X+l),其中a>0且awl.1.求函数

f(x)+g(x)的定义域;2.判断函数f(x)+g(x)的奇偶性，并证明;3若F(x)>g(x),

求了的取值范围.

25.设g(%)=cosx,函数y=/(%)的图象是由函数y=g(%)的图象经如下变换得至!J：先将y=g(%)图

象上所有点的纵坐标伸长到原来的百倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移］个单位长度.

(1)求函数y=/(为的解析式，并求其图象的对称轴方程；

(2)已知关于％的方程f(%)+9(%)=TH在［0,2"］内有两个不同的解a、B，

①求实数血的取值范围；

②证明：cos(a—£)=^——1.

参考答案及解析

L答案：A

解析:解：因为集合4={%|-5<%<1],S={x\x<2},

对应数轴上的图象为：「、—!：；:"

L-5-4-3-2-1012345

所以ACB={%|-5<%<1]

故选：A.

把对应的集合a,B的范围画在数轴上，即可求出结论.

本题主要考查交集及其运算以及数形结合思想的应用.在求两个集合之间的运算时，如果涉及到范

围问题，一般借助于数轴来解决.

2.答案：D

解析：解：sina+2sin2]=2(0<a<兀)，

可得sina+2sin2-1=1(0<a<兀)，

即sina—cosa=1(0<a<兀)，

可得a=p

则tana的值为：不存在.

故选：D.

利用二倍角的余弦函数化简已知条件，然后求解所求表达式的值.

本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力.

3.答案:D

解析：解：对于4y=1j=x(x40),与y=x的定义域不同，不是同一函数；

对于B,y=alogaX=x(x>0),与y=x的定义域不同，不是同一函数；

对于C,y==\x\{xG/?),与y=x的对应关系不同，不是同一函数；

x

对于D,y=logaa=x(xeR),与y=x的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.

故选：D.

根据函数的定义域相同，对应关系也相同，得出两个函数是同一函数.

本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目.

4.答案:D

解析：解：,函数/(%)=sin(兀—3%)+sin(6)x+-)=sinaix+cosa)x=V2sin(a)x+-)(a>>0),

当％E（7T,2兀），3%+zE（37T+z，237T+工），

，/（%）在（兀,2兀）内没有零点，.・.237r+?<7r（D，

或3兀+£之兀，且237T+£4271■②，

44

解①求得0<O）<1,解②求得3<3

综上可得，0<3W1，或［<（0<^,

故选：D.

由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的零点，求得3的

范围.

本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，正弦函数的零点，属于中档题.

5.答案：C

解析：

本题考查了指数函数的解析式、指数幕的运算性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

设指数函数y=/（x）=a/a>0,且a41,为常数），把点（3子）代入可得曰=/，解得a,即可得

出.

解：设指数函数y=/（%）=a%（a>0,且aW1,为常数），

把点G净代入可得曰=自解得a=1.

•1•f（x）=（|）x,

则log2f（2）=log2G）2=-2.

故选：C.

6.答案：A

解析：解：因为角a的终边经过点P（-1，）

所以％=—|,y=£r=y/x2+y2=1,

则s讥a

故选：A.

直接利用任意角的三角函数，求解即可.

本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

7.答案：C

解析：试题分析：选项A正确，鬻=-窈，所以向量苗与向量,赤共线；选项B正确，由&=树辞带急牌

可知，A、3士:，解得，”,；选项C错误，向量号与向量勘共线，所以由平面向量的

,一矗=一3凰iir必总、弟w=一品

基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项。正确，所以

做1,勘，夹角是颗矿，向量物在向量勘方向上的投影为国热整螂矿=觥

考点：1.平面向量的基本定理；2,平面向量的坐标运算；3.向量的投影

8.答案：B

解析：解：由于函数y=/(%)=署的定义域为R,且满足/(-乃=答詈=—答=一八吗，

故函数y是奇函数，故它的图象关于原点对称.

再根据当％e[0,自时，y=/(%)>0,再结合所给的答案，

故选：B.

根据函数、=署是奇函数，它的图象关于原点对称，且当％e[0,刍时，/"(%)>0,再结合所给选

项，可得结论.

本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象特征，属于基础题.

9.答案:C

解析：解：由于函数y=sinty=s)2ty=si九4t的周期分别为2TT,TT,p结合周期函数的定义，

函数F(t)=sint+sin2t+s讥4t的最小正周期为2TT,

故选：C.

由题意利用正弦函数的周期性求得函数F(t)=sint+sin2t+s讥4t的周期.

本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题.

10.答案：D

解析：解：当X<0时，由/(%)=/+4%+3=0,解得％=-3或％=-1,有2个零点；

当％>0,函数/(%)=2%—6+Inx,单调递增，

则/(l)V0,/(3)>0,此时函数/(%)只有一个零点，

所以共有3个零点.

故选：D.

根据函数零点的求解，由分段函数，分别进行求解即可.

本题主要考查函数零点个数的判断，根据分段函数分别求解是解决本题的关键.

11.答案：C

解析：解：因为落石共线，向量五=(1,1),b=(x2,x+2),所以/=x+2,解得x=-1或者％=2；

故选：C.

利用向量共线的坐标关系得到x的等式解之.

本题考查了向量共线的坐标关系；属于基础题目.

12.答案：A

解析：解：f(%)=e~x-ex~2+|x,

.1•/(2—x)=e-Q-x)-e(2-x)-2+|(2—%)=ex~2—e~x+1—|x,

则f(X)+f(2-x)=1,即是f(久)关于(L》-1对称，

由/'(2020+x)+f(202。-2x)<1得/'(2021-2x)<1-/(2020+x)=f(2-(2020+x))=

/(-x-2018),

1(x)=—e~x-ex~2+j,令g(x)==-e~x-ex~2+j,

g'[x}=e~x-ex~2,为减函数，且当x<l时，g'(x)>0,/''(久)单调递增，

当x>1时，g'(x)<0,1(%)单调递减，

即当x=1时，/,Q)取得极大值f'(l)=-2e-1+1<0,

即/(x)<0恒成立，则/Q)在R上是减函数，

则不等式/<2021-2%)</(-%-2018),等价为2021-2%>-%-2018,

即x<2021+2018=4039,

即不等式的解集为(-8,4039],

故选：A.

根据条件得到/。)+/(2-％)=1,然后将把不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性,

结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可.

本题主要考查不等式的求解，结合条件得到/(%)+/(2-x)=1,以及求函数的导数，研究函数的

单调性，利用函数的单调性将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题.

13.答案：A

解析：A.同时满足：①②③，故此项正确；

Ry=cos%在|o,以上是减函数，故此项错误;

Ci，=tang以27r为最小正周期，故此项错误;

D.y=|s讥制为偶函数，故此项错误；

故选A.

14.答案:B

解析：解：如%>y>1,xny+ynx>1显然成立；

当1n=0时，xny+ynx=2>1成立；

当几=1时，由贝努力不等式(1+%)丁>1+厂％,r>1,x>—1,

取厂=[,a=-,

yx

则(i+与=i+工>工>o,中>3得%击，

同理去，故％政+y©>l成立；

当几>2时，取％=y=p代入检验

Z4

万政+扣+(l)n<(|)|+(|)2=^+1<1,不成立，

故选：B.

根据题意，分情况讨论，光〉yN1和1>%>y>0,n=0,n=1,nN2判断，得出结论

本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题.

15.答案：(—℃,—2)u(—1,0)

解析：

本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关

键是通过题意得出/"(>)的简图，属于中档题.

在同一坐标系内画出三个函数y=1-x,y=x+1,y=M-i的图

象，以此作出函数/(x)图象，观察最小值的位置，通过图象平移，可得a<-1,且(。+2)2-1>£1+1,

①或—(a+2)+l>a2—1,②，解不等式即可得到所求范围.

解：/(%)=min{x2—l,x+1,—%+1]

x+l,x<—1

=112-1,-1w1,

、—X+1,X>1

作出/(%)的图象，可得：

f(a+2)>f(a)变为：a<—1,且(a+2)2-1>a+I*(T)

或—(a+2)+1>a2—1,②

①变为a?+3a+2>0,解得a<-2；

②变为a2+a<0,解得—l<a<0.

则实数a的取值范围为(—8,—2)U(-1,0).

故答案为：(―°°,—2)U(—1,0).

16.答案：一或者三

解析：

本题考查三角函数在各个象限的符号问题，属基本知识的考查，较简单.

sindcosd>0,.■.sind^cos。同号，由三角函数在各个象限的符号直接判断即可.

解:sinOcosd>0

sin3、cosd同号.

当sin。>0,cosd>0时，。在第一象限，

当sin。<0,cosd<。时,。在第三象限

故答案为：一或者三

17.答案:{x\x丰0}；{y\y丰0]

解析：解：由分式函数的性质可知，函数的定义域为{x|xH0},值域为力0},

故答案为：(x\x0}；{y}y0),

根据函数成立的条件，结合分数函数的图象和性质即可得到结论.

本题主要考查函数的定义域和值域的求解，比较基础.

18.答案：(0,1)

解析：解：,・・△4BC中，cosZ.ACB=

.,.乙4cB为钝角，且是最大角.

由于N4CB对的边是4B,故AB是最大边，再由=可得0<|BC|<1,

故答案为(0,1).

由题意可得N4CB为钝角，且是最大角，可得是最大边，再由|2B|=1,可得0<|BC]<1.

本题主要考查三角形中大边对大角，大角对大边，属于基础题.

19.答案：解：•••全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},

.■.AUB={1,2,3,4}.CuA={4,5},AnB={2,3},

则(CMClB={4},CuCAnB)=[1,4,5).

解析：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

由4与B求出两集合的并集，由全集u求出a的补集，找出a补集与B的交集，求出a与B的交集，找出

交集的补集即可.

20.答案：解：(1)取BC的中点E,4B的中点F,

连接。E,OF,则。EIBC,OF1AB,

则就^^P(AB+BC)-BO=AB-BO+

BO-BC=-,

2

因为前■BC=(BE+~EO>)-~BC=(|BC+前)-

-->i-->2

BC=-BC,

2

同理荏-BO=AB-(BF+FV)=AB-

1-->-->1-->21

(--4B+FO)=--AB=

所以—工+工前2=三,

222

所以|前|=2,

故3c长度为2.

(2)设=仇Z.ABC=a,AC=CD=3

则由余弦定理得/=AC2=1+4—4cosa=5—4cosa,

-1十

由正弦定理可得七方=--，即tsizi。=sina,

(tcosd)2=t2—t2sin20=t2—sin2a=5—4cosa—(1—cos2a)

=(2—cosa)2,

可得tcos。=2—cosa,

△BCD面积为S=^BC・CD・sin(0+.=tsin(6+§

=-ytcosd+1tsind=V(2—cosa)+1sina=遮+sin(a—g),

当a—:今即戊=•时，ABCD面积取得最大值l+百.

解析：(1)取BC的中点E,4B的中点F,连接。bOF,则。EIBC,OF1AB,运用向量数量积的

定义和向量的投影可得所求值；

(2)设N2CB=8,AABC=a,AC=CD=t,在三角形ABC中，分别运用正弦定理和余弦定理，可

得tsin。=sina,tcos。=2-cosa,再由三角形的面积公式和三角函数的辅助角公式和正弦函数的

值域，可得所求最大值.

本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换和化简变

形能力，运算能力，属于中档题.

21.答案：解：(1)用①来模拟比较合适.

因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.

而②，③，④表示的函数在区间［0.5,8］上是单调函数，

所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适.

(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均4饮料的销量为2升；

若人均GDP为4千美元时，年人均4饮料的销量为5升，

把x=l,y=2；%=4,y=5代入到y=a/+bx,

得仁=黄26解得a=4b=l

(5=16a+4b44

所以函数解析式为y=-：%2+：］.(%E［0.5,8］)

1,91,9、2।81

•••V=——X2Q+-X=——（X——）-1--,

z444v2y16

二当％=9时，年人均A饮料的销售量最多是%

解析：(1)用①来模拟比较合适.理由是：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两

边递减.而②，③，④表示的函数在区间［058］上是单调函数.

(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均4饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均4饮料

的销量为5升，把％=1,y=2；x=4,y=5代入到y=a/+力%,解得。=一：，b=3,所以函数

44

解析式为y=~ix2+lx.(%e［0.5,8］),再用配方法能求出当x=?时，年人均4饮料的销售量最多是

44Z

考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值，解题时要认真

审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化.

22.答案：解：(1),已知sina+cosa=2，aE(0,7r),sin2cz+cos2cr=1,sina>0,cosa<0,

zpi.125sina12

求得sina=—,cosa=-----，・•・tana=-----

1313cosa5

(2)y=sin2x+2近cosg+%)+3=cos(2x—^)+2V2cos[1—g—%)]+3

=1—2sin2(x—E)+2企sin(E—x)+3=4—[2sin2(x—+2&sin(?—x)+1]+1

=5—[V2sin(x—^)+I]2,

•••sing-x)e[-1,1],

二函数的最小值为5-(1+V2)2=2-2V2.

解析：把函数解析式的前两项利用诱导公式sin6—a)=cosa,以及cos©-a)=cosa及二倍角的

余弦函数公式进行变形，然后利用完全平方公式化简，由正弦函数的值域即可得到函数的最小值.

此题考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的值域，以及完全平方公式的应用，其技

巧性比较强，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题.

23.答案：解：⑴弧检的长l=a-r=:x6=47r.

(2)如图,

在RtANOC中，0A=6,ZXOC=60°,易得。C=3,2C=3百，

AB=6A/3,

二弓形的面积S弓形=S扇形一ShA0B=^lr—-OC=|X4TTX6—6V5x3=12兀—9V3.

(3)设圆锥的底面圆半径为R,高为h,贝1]2兀/?=4兀，

R=2,h=Vr2-R2=V62-22=4a

故圆锥的体积为U=-nR2h=-nx22x4>/2=3直兀.

333

解析：Q)根据已知条件，结合弧长公式，即可求解.

(2)先求扇形面积，再求出三角形40B的面积，两者相减，即可求解.

(3)根据已知条件，结合圆锥的体积公式，即可求解.

本题主要考查扇形面积公式，以及圆锥体积的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

24.答案：(1)(-1=0；(2)因为了:F=［吗*+耳+1。曳(1-启=贸启，所以FQ)为偶函数；⑶当。>1

时，一1<叉<;0；当D/291时，0<1.