北师大版高中数学必修四《三角函数》全册导学案(学生版)

北师大版高中数学必修四

《三角函数》全册导学案

目录

第一章三角函数.........................................................................1

§1周期现象..........................................................................1

§2角的概念的推广..................................................................2

§3弧度制..........................................................................6

§1一一§3综合测评A.....................................................................................................................................10

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式............................................13

§4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义.............................................13

§4.2单位圆与周期性...............................................................18

§4.3单位圆与诱导公式（一）....................................................19

§4.3单位圆与诱导公式（二）......................................................23

§5正弦函数的性质与图像........................................................26

§5.1从单位圆看正弦函数的性质...................................................26

§5.2正弦函数的图像..............................................................26

§5.3正弦函数的性质..............................................................26

§6余弦函数的性质与图像..........................................................30

§6.1余弦函数的图像................................................................30

§7正切函数......................................................................34

§7.1正切函数的定义...............................................................34

§7.2正切函数的图像与性质.........................................................34

§7.3正切函数的诱导公式...........................................................38

§8函数V=Asin（69+。）的图象........................................40

§9三角函数的简单应用............................................................46

第一章三角函数［基础训练A组］....................................................49

高一数学必修四三角函数检测题A........................................................................................................51

第一章三角函数［综合训练B组］....................................................56

第一章三角函数［提高训练C组］....................................................58

高考链接...........................................................................60

第一章三角函数

课标要求：

1.掌握角的概念，理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义.

2.掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；理

解推广后的角的概念；

3.理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角

的弧度数.“角度制”与“弧度制”的区别与联系

4.能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并

能运用公式解决一些实际问题

5.掌握任意角的三角函数的定义；

6.已知角a终边上一点，会求角a的各三角函数值；

7.掌握2br土a,乃土a角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路

8.掌握工±a,角的正弦、余弦、正切的诱导公式

22

及其探求思路

9.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

10.掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。并能求出正、余

弦函数的最大最小值与值域、

11、掌握正切函数的图象和性质.

12、能正确应用正切函数的图象和性质解决有关问题.

13.熟练掌握正切函数性质，同时要注意数形结合，借助单位圆或正切函数的图象对问题，直观

迅速作业解答.

14.会用“五点法”作出函数y=As〃?（vur+/）以及函数丫=Acos（w*+9）的图象的图象。

15.理解夕、W、A对函数y=Asin（械+9）的图象的影响.

16.能够将y=sinx的图象变换到y=Asin（wx+夕）的图象.

17.会根据条件求解析式..

18.灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。

§1周期现象.

一、课前指导

学习目标

1了解周期现象在现实中广泛存在；2感受周期现象对实际工作的意义；3理解周期函数的概念；

4能熟练地判断简单的实际问题的周期；5能利用周期函数定义进行简单运用研究

学法指导

单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，感知周期现象；从数学的角度分析这

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种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用

要点导读

1.是周期现象

二.课堂导学

例1若钟摆的高度Mmm）与时间〃s）之间的函数关系如图

1-3-1所示.

（1）求该函数的周期；

（2）求。=10s时钟摆的高度.

解（D由图象可知，该函数的周期为1.5s.

图1—3-1

(2)设&=7•⑺，由函数fQ)的周期为1.5s,可知

/(10)=/(l+6Xl.5)=/(I)=20,

故t=10s时钟摆的高度为20mm.

§2角的概念的推广.

一.课前指导

学习目标

i.掌握角的概念，理解“正角”''负角”“象限角”“终边相同的角”的含义.

2.掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；理

解推广后的角的概念；

学法指导

1.在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用角度制或弧度制的一种，不

能混用。

2.在进行集合的运算时，要注意用数形结合的方法。

3.终边相同的角、区间角与象限角的区别：

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几

象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于

任何一个象限，称为非象限角。

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终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2k“(kez),即

=2kn+a,kGZ},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如aW{a|2Waw2}=[Z,四

6666

要点导读

1.角可以看成。。

按角叫正角,按叫负角。如

果一条射线零角。

2.

角的终边所在位置角的集合

X轴正半轴

Y轴正半轴

X轴负半轴

Y轴负半轴

X轴

Y轴

坐标轴

2.a、巴、2a之间的关系。

2

若a终边在第一象限则4n终边在象限；2a终边在

2

若a终边在第二象限则人终边在象限：2a终边在

2

若a终边在第三象限则4Cl终边：2a终边在。

2

若a终边在第四象限则4a终边象限；2a终边在

2

二.课堂导学

例1:写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°WB<720°的元素B写出来:

(1)60°；(2)-21°；(3)363°14,

例2.写出终边在下列位置的角的集合

(l)x轴的负半轴上；(2)y轴上;

类比：(1)终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

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（2）终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

思考：集合A={6|6=45°+k沏80°,kSZ},B={B|B=45°+kX90',k€Z}有何关系?

（图形表示）

例3.已知角的顶点与直角坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指

出它们是哪个象限的角？

（1）420°；（2）-75°；（3）855°；（4）-510°.

a

例4.若a是第二象限角，则2。，上分别是第几象限的角。问：a是第二象限角，如何表示?

2

三.课后测评

课后测评A

选择题（每小题5分）

1、下列角中终边与330°相同的角是（）

A.30°B.-30°C.630°D.-6300

2、-1120°角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、把一1485°转化为a+八360°（0°Wa<360°,k&Z）的形式是（）

A.450-4X360°B.-45°-4X360°C.-45°-5X360°D.3150-5X3600

4、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）

A.{a|90°<a<180°}

B.（a|90°+k-180°<a<180°+k>180°,AGZ}

C.{a|-270°+4780°<a<-180°+A•180°,

D.{a|-270°+k-360°<a<-180°+k-360°,AGZ}

5、下列命题是真命题的是（）

A.三角形的内角必是一、二象限内的角B.第一象限的角必是锐角

C.不相等的角终边一定不同

D.{a|a=k-36（r±9（y,ZeZ}=3|a=Z:」8O。+9O',ZeZ}

6、已知A={第一象限角）,B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系是（）

A.B=AACB.BUC=CC.AcCD.A=B=C

二.填空题（每小题5分）

1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合.

2、与1991°终边相同的最小正角是，绝对值最小的角是.

3、若角a的终边为第二象限的角平分线，则a的集合为.

4、角a的终边在坐标轴上，请用集合的形式表示a为.

三.解答题（每小题10分）

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已知角c是第二象限角，求：（1）角上a是第几象限的角；（2）角2a终边的位置。

2

课后测评B

一、选择题（每小题5分）

1.下列命题中正确的是（）

A.终边在y轴非负半轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若£=〃+A•360°(kGZ),则〃与£终边相同

2.与120°角终边相同的角是()

A.-600°+公360°,kQZB.-120°+4•360°,kGZ

C.120°+(2A+1)•180°,kGZD.660°+k・360°,kGZ

3.若角〃与£终边相同，则一定有(

A.。+£=180°B.。+£=0°

C.B=k•360°，kQZD.〃+£=A•360°,kRZ

4.设A=｛例。为正锐角｝,B⑻。为小于90°的角｝c=｛eIe为第一象限的角｝

D=｛。।。为小于90°的正角｝，则下列等式中成立的是（）

A.A=BB.B=C

C.A=CD.A=D

5.若。=-3,则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.若。是第四象限角，则不一a一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限1）.第四象限

二、填空题：（每小题5分）

7.角a=45°+在•90°的终边在第象限.

三、解答题：（每小题10分）

8.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合（不包括边界）

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9.写出终边在直线y=Gx上所有的角的集合，并指出在上述集合中，最大负角是多少？

10.已知a是第二象限角，试求：

(1)里角所在的象限；(2)4角所在的象限；(3)2。角所在范围.

§3弧度制.

学习目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧

度数.“角度制”与“弧度制”的区别与联系

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运

用公式解决一些实际问题

学法指导

角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

IT

360°=2乃；180°=万：1°=——“0.01745md；n°=—rad.

180180

②将弧度化为角度：

2%=360°；"=180°；\rad=(―)°«57.30°=57°18,；〃=

7171

要点导读

1.规定把周角的人作为1度的角,用叫做角度制.

2.叫做］弧度的角；叫做弧度制,在弧度

制下，1弧度记做Irad.在实际运算中，常常将rad单位省略.

3.弧度制的性质：

2勿一

①半圆所对的圆心角为j二rr=万；②整圆所对的圆心角为2乃.

rr

③正角的弧度数是.④负角的弧度数是.

⑤零角的弧度数是,⑥角a的弧度数的绝对值

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4.特殊角的弧度

角030456090120135150180270360

度°°°°°°°°°°°

弧

度

5.弧长公式

1«1=-------------

二.课堂导学

例1.将下列各角化成+。（4WZ0W。＜2不）的形式，并确定其所在的象限.

⑴学；⑵一拳.

例2.利用弧度制证明扇形解公郑=押其中/是扇形弧长R是圆的半径

三.课后测评

课后测评A

一.选择题（每小题5分）

1、下列各角中与240。角终边相同的角为（）

2、若角a终边在第二象限，则n-a所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3、把一1125°化成a+2〃冗（0WaV2n,A£Z）的形式是（）

n7五n7冗

A.--——6nB.■—6nC.--——8五D.—7--8n

4444

jrTT

4、已知集合M-{x\x-k——,keZ},N={x|x二k•兀土一,kGZ）,则（）

22

A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集

C.M=ND.集合M与集合N之间没有包含关系

5、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）

A.4cm~B.2cm2C.4ncm*D.2ncm2

k兀4

6、集合{a|a=———,4£Z}n{a|-为（）

25

JI3nf7n4nn3冗7Ji4n、,3冗7n

I5,10i10'55'10'10'5110'10

二.填空题（每小题5分）

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1、若角a,夕关于y轴对称，则a,夕的关系是；

2、若角a,夕满足一万<。<?<%，则a-尸的范围

3、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是.

4、已知a是第二象限角，且|a+2区4,则a的集合是.

三.解答题(每小题10分)

已知a=1690",

(1)把a表示成2%乃+/的形式，其中kGZ,夕2[0,2万).

(2)求。，使。与a的终边相同，且。c(—4肛一2万).

课后测评B

一、选择题(每题5分共60分)

(1)在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角()

A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等

C.所对的弧长等于各自的半径D.以上都不对

⑵.把—1458°化为a+2k兀(keZ,O<«<2])的形式是()

A.--8^B.――71-^71C.---10^D.2^—10万

4444

（3）.把一?万表示成6+26■（女eZ）的形式，使网最小的。的值是（

）

A.一包兀71n3%

B.一—C.—D.—

4444

(4).若9是第二象限角，那么葭和夕都不是(）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

(5).将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是()

7171乃71

A、—B、C、—D、

3757

(6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长，其圆心角的弧度数是(）

A、IB、rC、6I）、2

⑺已知集合A={a[2Z:〃WaW（2火+l）1,Z£Z},B={a\-4<a<4}

则AD8等于（）

A、0B、{a|-4<a<4}C、{a10<tz<^-}

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D>{a|-4WaW—"或0<a<万}

（8）.设（乙，乙）且17。的终边与。的终边相同，则tan。等于（）

63

A.V2-1B.V2C.V2+1D.1

(9).集合A=<x|x=&乃+(—1)，8==2左乃+eZ

则A、B的关系为（）

A.AuBB.A二C.A二BD,卜cB=(/)

（10）已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为（)

2

A.-BD

3-1-r

（11）.终边在第一、四象限的角的集合可表示为（)

A.7t71B.3

2,2呜）鸣2e

C.(Ikn-y,2ki+yj(Z:eZ)D.f2kw-1,2ki)u(2k兀2k九+'卜左£Z)

2

（12）若a是第四象限的角，则万一0在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题（每题5分共10分）

（13）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧的弧长是

（14）用弧度制表示x轴上方的角的集合

（15）扇形的半径是5cm,弧长是J27rem那么扇形的面积是cm

3

/、.4717171717C

(16)sin—•tan——Ftan——•cos---tan——-cos—

336642

三、解答题（每题10分共20分）

17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是

多少？

18.如图，一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.

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综合测评A

一、选择题（每小题5分）

1.若。是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是（）

(A)90°-a(B)90°+a(0360°-a(D)180°+a

2.终边与坐标轴重合的角a的集合是()

(A){。|。=八360°,ASZ}(B){a|a=k>180°+90°,—}

(C){o|a=k>180°,A-GZ}(D){a|90°,ASZ}

3.若角。、万的终边关于y轴对称，则£的关系一定是(其中％GZ)()

(A)a+j3=jr(B)a-fi=—(C)a-£=(2A+l)霏(D)a+£=(2A+l)不

2

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）

（A）王（B）2（0V3（D）2

33

5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（）

（A）石（B）—工（C）巴（D）—巴

3366

*6.已知集合於｛第一象限角｝,左｛锐角｝,俏｛小于90°的角｝,下列四个命题：

①炉炉C②4uC③Cui④/neq其中正确的命题个数为（）

（A）0个（B）2个©3个（D）4个

二.填空题（每小题5分）

7.终边落在x轴负半轴的角a的集合为,终边在一、三象限的角平分线上的角£的集合

是.

8.-仝nrad化为角度应为

12-----------------

9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的

倍.

10.若角。是第三象限角，则3角的终边在，2a角的终边在

2----------------------------------

三.解答题（每小题10分）

11.试写出所有终边在直线丫=-0尤上的角的集合，并指出上述集合中介于-180°和180°之间的角.

12.已知0°＜，＜360°,且，角的7倍角的终边和6角终边重合，求9.

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13.已知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面

积是多少？

*14.如下图，圆周上点/依逆时针方向做匀速圆周运动.已知1点1分钟转过《（0＜。＜加）角，2

分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求0.

§1——§3综合测评B

一、选择题（每题5分共60分）

（1）在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（）

A.所对的弧长相等B.所对的弦长相等

C.所对的弧长等于各自的半径D.以上都不对

（2）.把—1458°化为a+2版■（女eZ,0Ke＜2i）的形式是（）

7T771D.*10%

A.---8%B.---%—8%C.-----107

444

（3）.把—2乃表示成6+2女万（攵eZ）的形式,

使网最小的。的值是（)

A」7171n3万

B.一一C.—D.—

4444

（4）.若9是第二象限角，那么•^和夕都不是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

（5）.将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是（）

（6）圆弧长度等于其内接正三角形的边长，其圆心角的弧度数是（）

JT2/""

A、—B、-71C、,x/3D、2

33

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⑺已知集合A={a|2&乃WaW(2&+1)应攵£Z},B={a\-4<a<4}

则AD8等于()

A^0B、{cir|-4<a<4}C、{a\0<a<7r}

D^{a|—4<a<一%或0WaW万}

7TTT

(8).设6e(—,—)且17。的终边与。的终边相同，则tan。等于()

63

A.72-1B.V2C.V2+1D.1

(9).集合A={x|x=&乃+(-1)*•],&Gz},8={x|x=2br+5,%GZ

则A、B的关系为()

A.AuBB.A^BC.A=BD,Ac8=。

(10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为()

八2万八3

BC.—D.—7T

-f32

(11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为()

A.7171B.

2,^2呜u(1乃2乃

C.[2左万-,2左乃+yGZ)D.(2k7T-,2k:tjuf2k.7i2k冗+'71卜左wZ)

2

(12)若a是第四象限的角，则万一7在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题(每题5分共10分)

(13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧的弧长是

(14)用弧度制表示x轴上方的角的集合

24

(15)扇形的半径是5cm,弧长是——cm那么扇形的面积是cm

3

兀兀nRJ[

(16)sin--tan——Ftan--cos--tan—cos—=

336642------------

三、解答题(每题10分共20分)

17.已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是

多少？

18.如图,一条弦AB的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.

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AB

R

R

0

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

§4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

一.课前指导

学习目标

1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角a终边上一点，会求角。的各三角函数值；

学法指导

三角函数线的定义：设任意角a的顶点在原点。，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位

圆相交与点P(x,y)，过尸作X轴的垂线，垂足为“；过点4(1,0)作单位圆的切线，它与角a的终

边或其反向延长线交与点T.

(III)(IV)

由四个图看出：

当角a的终边不在坐标轴上时，有向线段=sina=)=)=y=MP,

r1

cosa=±=±=x=OM,tana=^-=-=—=

r1xOMOA

称有向线段________________________________分别为正弦线、余弦线、正切线。

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要点导读

1.三角函数另一种定义：

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),它与

原点的距离为r(r=+1y『=+y>o),那么

(1)比值上叫做a的正弦，记作sina,即；

r

Y

(2)比值一叫做a的余弦，记作cosa,即；

r

(3)比值上叫做a的正切，记作tana,即；

x

2.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号

①正弦值』为正(y>0,r>0),

r

____________________________________为负(y<0/>0)；

②余弦值为正(1>0/>0),

_______________________________为负(xv0/〉0)；

③正切值上为正(龙,y同号)，

X

__________________________________为负(x,y异号).

二.课堂导学

例1.已知角。的终边经过点P(2,-3),求a的三个函数制值。

34

例2.求下列各角的三个三角函数值：(1)0；(2)n：(3)—.

2

例3已知角a的终边过点(a,2a)(aw0),求a的三个三角函数值。

例4：已知角a的终边上一点P(一6,加)，且sina=——,求cosa,sina的值。

4

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补充：已知点P（3r,-4r）（r。0）,在角a的终边上，求sina、cosa>tana的值。

三.课后测评

课后测评A

一、选择题（每小题5分）

1.若三角形的两内角a,B满足sinacos（｝<0,则此三角形必为（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能

2.已知点p（tana,cosa）在第三象限，则a的终边在第几象限（）

A.一B.二C.三D.四

3.如果角a的终边过点（2sin30°,一2cos30°）,则sina的值等于（）

c-且

42

4.Sin2cos3tan4的值（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不存在

5.下列不等式中成立的是（）

/兀、、/兀\

A.sin（——）>sin（——）B.cos（一一）>cos（一一）

5656

八/n、、/71、

C.tan（一一）>tan（一一）D.cot（一一）>cot（一一）

5656

6.已知集合E=｛6|cosevsina04，〈21｝,集合F=｛，|tan。vsin。｝,那么EcF为区间（）

,，兀、八，乃3万、C.（万，浮c/3乃5万、

A.（—,万）B.（—，—）D.（—，—）

24444

二、填空题：（每小题5分）

3

7.已知角a的终边过点（一x,4）,且cosa=一g则x二.

COSXtanx

8.函数y=+：----：的值域为

cosxtanx

9.已知点P（tana,sina一cosa）在第一象限，且，则角a的取值范围是,

sinaA/1-COS2a

10.若角a的终边落在直线x+y=0上，则

Vl-sin2aCOS6Z

三、解答题：（每小题10分）

11.已知角a的终边经过点一（2,-3）,求a的两个三角函数值.

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12.已知角a的终边经过P(4a,-3a),(awO)求2sina+cosa的值

2m_3

13.若。为第三、四象限的角且sin6=—二，求m的取值范围。

4-m

14.求值：sin(-1320°)coslllO°+cos(-1020°)sin7500+tan49500

15.利用单位圆求满足下列条件的x的集合：cosx>-

2

课后测评B

一.选择题(每小题5分)

1-z跖Isinxl,cosx,|tanx|./七心目/\

1.函数尸1---+------------1的值域是()

sinx|cosx|tanx

(A){-1,1)1,3}(0{-1,3}(D){1,3}

2.已知角0的终边上有一点尸(-4a,3a)(aHO),则2sin〃+cos0的值是)

(A)-(B)--(C)2或-2(D)不确定

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