2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第六章　统计复习提升

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第六章统计

本章复习提升

易混易错练

易错点1对分层随机抽样的抽样比不理解致错

1.（2022上海松江一模）某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345

人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作

为样本.若从高二学生中抽取的人数为24厕应抽取（）

A.高一学生26人，高三学生23人

B.高一学生28人，高三学生21人

C.高一学生多于24人,高三学生少于24人即可

D.高一、高三学生人数都不限

2.中国农历的"二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，"二

十四节气歌"是以"春、夏、秋、冬"开始的四句诗,2016年11月30日，"二

十四节气"正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国

的第五大发明”.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问

"二十四节气歌"，只能说出春、夏两句的有45人，能说出春、夏、秋三句及以

上的有32人据此估计该校三年级的500名学生中，对"二十四节气歌"只能说

出第一句"春"或一句也说不出的人数为（）

A.69B.84C.108D.115

易错点2对频率分布直方图的特征理解有

误致错

3.（多选）（2021江苏南通联考）某高中为了积极响应国家"阳光体育运动”的号召,

调查该校3000名学生每周平均体育运动时间的情况，从高一、高二、高三三个

年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均

体育运动时间的数据（单位:小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说

法正确的是（）

频率

“丽

0.150---------------

0.125---------------------

0.1001—

0.075--------------------------

0.025-------------------------------1

0————————————!------->

24681012每周平均体育

运动时间（小时）

A.估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时

B.估计高一年级学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为300

C.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%

D.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数为600

4.从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩，成绩的分组及各组的频数

^□T(W^)：[40,50),2;[50,60),3；[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.

Q)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和频率折线图；

⑶估计成绩在[60,90)内的学生比例；

(4)估计成绩在80分以下的学生比例.

思想方法练

一、数形结合思想

L如图，样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为当和备,

样本标准差分别为SA和$8,则()

:

A.%(4>%B,SA>SBB.%4<XB,SA>SB

C.%4>%B,SA<SBD.%4<XB,SA<SB

2.从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布，将样

本分成5组,绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小矩形的高之比

为1:3:6:4:2,最右边一组的频数是6,请结合频率分布直方图提供的信息，解

答下列问题：

Q)样本容量是多少？

(2)列出频率分布表；

(3)成绩落在哪个范围内的人数最多?并求出该小组的频数、频率；

(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比.

频率

组距

5060708090100成绩/分

二、函数与方程思想

3.(2022江西新余一中段考)已知样本数据9,10,ll,x,y的平均数是10,方差是4,

贝Uxy=.

4.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在

购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备

件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，

为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到条形

图如图所示：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买

易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(x,n£N).

⑴若n=19,求y与x的函数关系式；

(2)若要求"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于05求n的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买

20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以

此作为决策依据，判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件.

答案与分层梯度式解析

第六章统计

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易混易错练

1.A设应抽取高一学生a人，高三学生b人厕磊=急=/，解得a=26,b=23,故选

A.

2.P由题意，得100名学生中只能说出第一句"春"或一句也说不出的学生有

100-45-32=23（人），

故估计该校三年级的500名学生中，对"二十四节气歌"只能说出第一句"春"

或一句也说不出的有500x急=115（人）.

易错警示

分层随机抽样就是按比例抽样，因此列比例式时要注意两边的标准是

否一致.

3.ABP对于A,估计该校学生每周平均体育运动时间为

1x0.05+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15+11x0.05=5.8（小时），故选项A正确;

对于B,高一年级的总人数为3000x^1200,由题中频率分布直方图可知，该

校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为（0.025+0.1）x2=0.25,所以估

计高一年级学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为1200x0.25=300,

故选项B正确;对于C,该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为

（0.075+0.025）x2xl00%=20%,故选项C错误;对于D,该校学生每周平均体育

运动时间不少于8小时的人数为3000x20%=600,故选项D正确.故选ABD.

4.解析（1）频率分布表如下：

成绩分组频数频率

[40,50)20.04

[50,60)30.06

[60,70)100.20

[70,80)150.30

[80,90)120.24

[90,100]80.16

合计501.00

(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示.

频率

组距

⑶样本中所求学生的比例为0.20+0.30+0.24=0.74=74%.所以估计成绩在

[60,90)内的学生占74%.

⑷样本中所求学生的比例为1-(0.24+0.16)=1-0.4=0.6=60%,所以估计成绩在

80分以下的学生占60%.

易错警示

利用频率分布直方图解决相关问题时，要注意三点:一是纵轴表示频率与组距

的比值;二是频率分布直方图中小矩形的面积是频率;三是频率分布直方图中原始

数据损失，往往用每组区间的中点值代替.

思想方法练

1.8由题图知,A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10;B组的6个数分别为

15,10,12.5,10,12.5,10.

由东线图说出原始薪据，进而利用相关公式解决问题.

所_2.5+10+5+7.5+2.5+10—25

-_15+10+12.5+10+12.5+10_35

“B-----------------6T

显然^4<玛.

由题图可知,B组数据的分布比A组的均匀，故B组数据比较稳定，方差较小，从而

标准差较小，所以SA>SB.故选B.

2.解析(1)设样本容量为•・最右边一组的频数是6,从左到右各小组的小矩形

的高之比为1：3:6:4:2,/.2:(1+3+6+4+2)=6:n,解得n=48.

(2)频率分布表如下：

分组频数频率

[50,60)31

1Z

[60,70)93

16

[70,80)183

8

[80,90)121

4

1

[90,100]68

合计481

从频率分布直方图中获取数据,从而列出频率分布表，应用了数形结合思想.

⑶成绩落在[70,80)内的人数最多濒数为18,频率为看

⑷样本中成绩不低于60分的学生占总人数的(1V)xl00%=93.75%.••估计这

次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的93.75%.

思想方法

数形结合思想在统计问题中的应用有两方面:一方面用图形直观表示相关统

计量，另一方面是借助图形直观比较相关统计量的关系,要熟练运用条形图、扇形

图、折线图、频率分布直方图的特点解决相关统计问题.

3.答案91

解析因为平均数是10,方差是4,

所以3(9+10+ll+x+y)=10,

|x[(9-10)2+(10-10)2+(ll-10)2+(x-10)2+(y-10)2]=4,

则x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=18,解得x=13,y=7或x=7,y=13,所以xy=91.

利用平均数和方差的计算公式构造关于x,y的方程组求解，体现了方程思想.

4.解析⑴当x<19时,y=19x200=3800;

当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700,

所以y=｛歌蓝。幺i9(x£N).

根据题目