北师大初中数学七上《5.3 应用一元一次方程-水箱变高了》教案 （四）

5.3水箱变高了教案教学目标：1．了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系．2．学会通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题．教学重点与难点：重点：1．寻找图形问题中的等量关系，建立方程．2．根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法．难点：寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．教法与学法指导：本节课主要使学生领悟形体变化问题中的变与不变，体验解决形变而体积不变这一问题的思路和方法．通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题．本节课的关键是通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．教学中，注意指导学生审清题意，抓住图形问题中的不变量．所以教学中采用直观——自主探索的方法，在教师的引导下，通过学生亲自动手制作模型，自主探索发现在模型变化过程中的等量关系，建立方程，从而将图形问题代数化．课前准备：多媒体课件、橡皮泥、细铁丝、土豆、水杯．教学过程：一、创新情境，引入新课教师：（向同学们出示土豆）同学们认识这是什么吗？学生：土豆！学生：谁能在最短的时间内测出它的体积是多少？学生讨论，但找不到好的方法．教师：如果，我再给大家一个带有容积刻度并且能容下土豆的水杯，你想到办法了吗？生1：（恍然大悟）把水杯装满水，把土豆放入水杯中，溢出水的体积就是土豆的体积！生2：先倒入一部分水，记下刻度，把土豆放入杯中，让水淹没土豆，水比刚才上升的体积就是土豆的体积！（学生通过直观感知、操作等活动，寻找图形问题中的等量关系．）教师：现在拿出你们准备好的橡皮泥，先用这块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体；然后再让这个“瘦长”的圆柱“变胖”，变成一个又矮又胖的圆柱，随后思考两个问题：(1)在你操作的过程中，圆柱由“瘦”变“胖”的过程中，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高度呢？(2)在这个变化过程，是否有不变的量？是什么没变？(让学生亲自动手操作，在动手操作的过程中，体会哪些量发生了变化，哪些量没有变化？教师对基础差的同学可适当引导)学生：在我操作的过程中，圆柱的直径和高度都发生了变化，而橡皮泥的体积没有变．（设计意图：我们知道,感知到的东西往往没有自己亲手经历操作后的感受来得实在．所以设置此环节,让学生手、眼、脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现．这样能培养学生观察、分析，归纳、总结等数学学习中不备数学思想与数学方法，也同时让学生感悟最复杂的问题中的道理，就在我们玩的过程，就在我们的生活中．通过学生的动手操作整体感知，上述两个问题中都涉及到了体积不变这个等量关系，为下一步处理例题做好准备．）（教学建议：不要把得学生太紧,不要怕完不成进度,这个过程进行完后,学生对课本设置相关内容就剩下规范解题过程了．学生的理解远比直接先讲教材的例题效果要好的多．）二、合作探究，展示交流探究1：等体积问题（多媒体展示）教师：很好．我这儿有一个问题：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米学生：用一元一次方程来解．这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积．教师：这位同学的分析很好．列方程时，关键是找出问题中的等量关系．下面我们如果设新水箱的高为xm，通过填写下表来看一下旧水箱的体积和新水箱的体积．旧水箱新水箱底面半径/m21．6高/m4x体积/m3π×22×4π×1．62×x（学生计算填表，让一位同学说出自己的结果）学生：旧水箱的圆柱的底面半径为4÷2=2m，高为4米，所以旧水箱的圆柱的体积为π×22×4m3．新水箱的圆柱的底面半径为3.2÷2=1.6m，高设为xm，所以新水箱的体积为π×1.62×x．由等量关系我们便可得到方程：π×22×4=π×1.62×教师：列出方程我们只是走完“万里长征”的重要的第一步，如何解这个方程呢？学生：将π换成3.14，算出x的系数π×22，然后将系数化为1就解出了方程．学生：我认为应先观察方程的特点，左右两边都含有π，可用等式的第二个性质，方程两边同时除以π，可使方程变得简单．教师：这位同学的想法很好．下面我们共同把这个题的过程写一下．解：设新水箱圆柱的高为x厘米，根据题意，列出方程π×22×4=π×1.62×x解得x=答：高变成了米．教师：通过本题的解答过程，你能总结一下列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？（学生认真思考后，小组内交流．教师适时引导共同归纳出列一元一次方程解决实际问题的步骤：理解题意、寻找等量关系、设未知数列方程、解方程、作答．）（设计意图：设置丰富的问题情境，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望．）探究2：周长相等问题教师：用你手中的铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？学生：不变，都相等．教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试．（学生动手操作，操作完成后让学生汇报结果）学生：面积发生变化．教师：下面以小组为单位，借助你手中的铁丝，依据上一题的解题经验，小组内分工合作完成下面问题．例1用一根长为10米的铁丝围成一个长方体．(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？（教学建议：小组讨论解题过程中，教师巡视课堂，指导、参与学生的讨论制作．帮助有学习有难的个人或小组．在讨论解答完成后，让小组选代表利用多媒体，阐述解题的步骤、思路并展示自己小组所做的长方形（或正方形）．指导学生反思各组的解答过程并讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验．通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律．教师及时引导学生给予评价，表扬鼓励．同时用多媒体展示解题步骤，进一步规范学生的解题格式．）解：(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m．根据题意，得x+(x+1.4)=10×．解这个方程，得x=1.8．x+1.4=1.8+1.4=3.2此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m．(2)此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m．根据题意，得x+(x+0.8)=10×．解这个方程，得x=2.1．x+0.8=2.1+0.8=2.9．此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.1×2.9=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3．2×1.8=5.76(m2)．此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33(m2)．(3)设正方形的边长为xm．根据题意，得4x=10×．解这个方程，得x=2.5．正方形的边长为2.5m，正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2)，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16(m2)．教师：我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度10米．由此便可建立“等量关系”．但是我们可以发现，虽然长方形的周长不变，改变长方形的长和宽，长方形的面积却在发生变化，而且围成正方形的时候面积达到最大．（设计意图：通过例题让学生再次感受找到题目中的等量关系是列方程解应用题的关键，让学生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程．使学生体验“数学化”过程，

使学生在实际动手计算、制作中体验合作的愉快及成功的喜悦．进一步理性地感受上一个环节中得出的结论，培养学生数学思考的严谨性，判断推理的科学性，语言表述的准确性．）例2：一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？教师：这个题目中两人的设计中不变的量是什么？学生：竹篱笆围成的长方形的三边之和．教师：下面通过计算，．你认为谁的设计符合实际？（教学建议：教师巡视学生做题情况，指导学生解题的步骤，通过小组交流怎么判断结果的合理性．让学生明白是否符合实际关键看和墙相对的一边不能超过14米，所以我们就需要根据小王和小赵的设计求出这一边的长度和14米比较．而此时就需找到“等量关系”建立方程．）解：根据小王的设计可以设宽为x米，长为(x+5)米，根据题意，得2x+(x+5)=35，解这个方程得：x=10因此小王设计的长为x+5=10+5=15(米)，而墙的长度只有14米，小王的设计是不符合实际的．小赵的设计可以设宽为x米，长为(x+2)米，根据题意，得，2x+(x+2)=35，解这个方程得：x=11因此小赵的设计的长为x+2=11+2=13(米)．而墙的长度是14米，显然小赵的设计符合要求．此时，鸡场的面积为11×13=143(米2)．（设计意图：通过此题培养学生的验证能力，能把解应用题得到的解结合实际判断合理性，使学生分析问题能力、解决问题能力都得到提高．）三、训练反馈，应用提升1、墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少？教师：用实物演示图形的变化过程．引导学生思考：⑴问题中的已知量和未知量？⑵在图形的变化过程中哪些量在改变？哪些量没有变？学生：利用铁丝动手操作，观察图形变化的过程；弄清题意，积极回答老师所提问题；独立思考，解决问题，积极争取发言，阐述自己的解题思路．计算后说出答案．解：设长方形的长为x厘米，根据题意得，2(x+10)=10×4+6×2．解这个方程，得x=16．因此，小颖所钉长方形的长为16厘米，宽为10厘米．（设计意图：

通过分析、演示，观察、思考，让学生直观的感受的在图形的变化过程中各个量的变与不变，从而逐步的领悟到寻找等量关系是列方程解决应用问题的关键．）四、课堂小结，纳入系统教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？（教学建议：先让学生畅所欲言，着重引导学生总结以下三个方面：1．通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积=新水箱的体积”,“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键，即变的是什么，不变的是什么．2．遇到较为复杂的实际问题时,我们可以借助表格分析问题中的等量关系,借此列出方程，并进行方程解的检验．3．解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性．）（设计意图：

用问题的形式归纳小结不仅可以使学生从整体上把握知识，还可以培养学生良好的个性和思维品质．引导学生积极地参与总结，提高独立分析和自主小结的能力．）五、达标检测，反馈矫正1．根据图中给出的信息，可得正确的方程是（）A．B．C．D．2．要锻造一个半径为8cm，高为10cm的圆柱体，应截取半径为5cm的圆柱形毛柸cm．3．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？六、布置作业，课后促学必做题：课本114页，习题5.6第2题．选做题：助学巩固训练3．（设计意图：学生自由选择完成作业，按不同的要求统计达标情况，让每个学生都有了成就感．实践探究活动，通过学生自己动手操作实验、计算、验证，调动学生学习的积极性和主动性．充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．）板书设计：5．3应用一元一次方程――水箱变高了一、等体积问题解：学生活动区学生活动区学生活动区学生活动区二、周长相等问题解：三、巩固训练：解：学生活动区学生活动区教学反思：本节课的设计中，通过学生多次的动手操作活动,引导学生进行探索，使学生确实是在旧知识的基础上探求新内容，探索的过程是没有难度的任何学生都会动手操作，每个学生都有体会的过程，都有感悟的可能，这种形式让学生切身去体验问题情景，从而进一步帮助学生理解比较复杂的问题，再把实际问题抽象成数学问题．然后，指导学生借助表格去表达问题的信息，这里表格的引入非常自然，使学生真正感受到表格对分析问题所起的作用．从中也让学生学会学数学用数学的思考方式．今后的课堂上需要继续发扬的几点：1．注重“创设情境，导入新课”通过测量土豆的体积激发学生学习兴趣，动手操作感受获取知识的过程，可以让他保持精力相对集中．2．注重了培养学生合作交流、团结协作的意识

这节课的教学我改变了传统的以讲解例题为主的教学方式，而是利用小组合作的形式让学生经历试验、猜想、探索发现问题的过程，通过实际问题的解决，增强用数学方法解决问题的意识，从而做到了教学中注意培养学生学习