第4章 图形与坐标（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（解析版）

第4章图形与坐标（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江·八年级专题练习）点A在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将问题看作求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得．【详解】解：由题意，将所求问题转为求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，则平移后的点的坐标为，即为，所以在新坐标系中，点的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了点坐标的变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对表示，如点的位置为，点的位置为．点从开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到，第2次向上移动2个单位到，第3次向右移动3个单位到，…，第次移动个单位(为奇数时向右，为偶数时向上)，那么点第次移动到的位置为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．【详解】解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，∴点第次移动到的位置时，列的数字是中所有奇数的和，行的数字是中所有偶数的和，∴，，∴点第次移动到的位置为，故选：．【点睛】本题主要考查平行直角坐标系中点的移动规律，解题的关键是找出点右移和上移的规律．3．（2022·浙江丽水·八年级期末）在平面直角坐标系中，点P（1，3）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据在各象限内，点坐标的符号规律即可得．【详解】解：∵，，在平面直角坐标系中，点P（1，3）所在的象限是第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了坐标系中各象限内的坐标特点，熟练掌握点坐标的符号规律是解题关键：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．4．（2022·浙江·八年级专题练习）若点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标有可能是（）A．（3，4） B．（4，3） C．（-3，-4） D．（3，-4）【答案】B【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．【详解】解：∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，∴点P的横坐标为4或-4，纵坐标为3或-3，∴点P的坐标可能为（4，3）或（4，-3）或（-4，3）或（-4，-3），故选B．【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．5．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，小手盖住的点的坐标可能为（

）A．（5，2） B．（-6，3） C．（-4，-6） D．（3，-4）【答案】C【分析】根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答．【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意；B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意；C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意；D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．6．（2022·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点P（3，-6）位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可．【详解】解：∵3>0，-6＜0，∴点P(3，-6)位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-）．7．（2022·浙江·八年级专题练习）下列点的坐标中，位于第三象限的是（

）A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）【答案】C【分析】根据平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0即可得．【详解】解：在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0是解题关键．8．（2022·浙江金华·八年级期末）下列叙述有误的是（

）A．三角形任何两边的和大于第三边B．对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段C．所有的等边三角形都是全等图形D．物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定【答案】C【分析】根据构成三角形三边关系的条件，垂直平分线的性质，相似三角形的判定，物体的位置的确定等，依次判断即可得出结果．【详解】解：A、三角形任何两边的和大于第三边，正确；B、对称轴一定垂直平分连结两个对称点的线段，正确；C、所有的等边三角形不一定全等，选项错误；D、物体在平面上的位置可以用第几行第几列来确定，也可以用方向和距离来确定，正确；故选：C．【点睛】题目主要考查构成三角形三边关系的条件，垂直平分线的性质，相似三角形的判定，物体的位置的确定等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．9．（2022·浙江金华·八年级期末）2022年第19届亚运会将在浙江杭州举行，金华将作为亚运会的分会场．以下表示金华市地理位置最合理的是（

）A．距离杭州市200公里 B．在浙江省C．在杭州市的西南方 D．东经119.65°，北纬29.08°【答案】D【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．【详解】解：能够准确表示金华市这个地点位置的是：东经119.65°，北纬29.08°故选D【点睛】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．10．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）小嘉去电影院观看《长津湖》，如果用表示5排7座，那么小嘉坐在7排8座可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知“坐标的第一个数表示排，第二个数表示座”，然后用坐标表示出小嘉的位置即可．【详解】解：∵用表示5排7座∴坐标的第一个数表示排，第二个数表示座∴小嘉坐在7排8座可表示出（7,8）．故选B．【点睛】本题主要考查了坐标的应用，根据题意得知“坐标的第一个数表示排，第二个数表示座”是解得本题的关键．二、填空题11．（2022·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第步的走法是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是_____；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是_________．【答案】

【分析】设走完第步时，棋子所处的位置为点（为自然数），根据走棋子的规律找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，”，依此规律即可得出结论．【详解】解：设走完第步时，棋子所处的位置为点（为自然数），观察，发现规律：，，，，…，∴，，，∵，∴，∵，∴．故答案为：；．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系内点的变化规律，解题的关键是找出点与点移动变化规律．12．（2022·浙江金华·八年级期末）己知点A（m+1，1）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为_____．【答案】﹣1【分析】利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而求出即可．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．【详解】解：∵点A（m+1，1）与点B（2，n+1）关于x轴对称，∴m+1＝2，n+1＝﹣1，解得：m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出m和n的值是解题关键．13．（2022·浙江·八年级单元测试）已知点A（－1，b＋2）在x轴上，则b＝________．【答案】-2【分析】根据“x轴上的点纵坐标为0”可知b+2=0，算出b的值即可．【详解】解：∵点A在x轴上，∴b+2=0，解得：b=-2，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握“x轴上的点纵坐标为0”是解题的关键．14．（2022·浙江·八年级专题练习）我校两校区，均坐落在富有文化底蕴的老北京城区内．什刹海校区周边，有德胜门箭楼、钟鼓楼、郭守敬纪念馆、宋庆龄故居、梅兰芳纪念馆等名胜古迹；诚毅校区所处的西四地区，更有妙应寺白塔、历代帝王庙、程砚秋故居、鲁迅博物馆等，学校以此为依托，开展了内容丰富、形式多样的学生活动．出发前，小华利用所学知识，通过建立平面直角坐标系，来给活动地点定位．如图，以什刹海校区为例，若德胜门箭楼的坐标为（﹣3，0），鼓楼的坐标为（6，﹣6），则（﹣1.5，﹣2.4）最有可能表示的是___．【答案】宋庆龄故居．【分析】根据德胜门箭楼的坐标为（-3，0），鼓楼的坐标为（6，-6），得出原点位置及单位长度，从而得出答案．【详解】解：如图，（﹣1.5，﹣2.4）最有可能表示的是宋庆龄故居．故答案为：宋庆龄故居．【点睛】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及单位长度．【常考】一．选择题（共7小题）1．（2021秋•德清县期末）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则（）A．m＝3，n＝﹣2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝2 D．m＝﹣2，n＝3【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，∴m＝3，n＝﹣2，故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．2．（2021秋•嵊州市期末）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标是（）A．（2，2） B．（1，2） C．（1，1） D．（2，1）【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：点C的坐标为（2，1）．故选：D．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．3．（2022秋•下城区校级期中）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（）A．若点A在y轴上，则a＝3 B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1 C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．【解答】解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误；B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确；C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误；D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2；故选：B．【点评】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0．4．（2021春•柳州期末）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′．若点A′位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（）A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4【分析】构建不等式解决问题．【解答】解：由题意，，∴，故选：D．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型．5．（2020秋•钱塘区期末）在平面直角坐标系中，把点P（2，3）绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（）A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【分析】分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形分别求解．【解答】解：如图，满足条件的点P1的坐标为（﹣3，2）或（3，﹣2），故选：D．【点评】本题考查旋转变换，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．6．（2020秋•婺城区校级期末）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1（1，0），第2次运动到A2（1，1），第3次运动到A3（﹣1，1），第4次运动到A4（﹣1，﹣1），第5次运动到A5（2，﹣1）…则第15次运动到的点A15的坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，4） C．（﹣4，﹣4） D．（5，﹣4）【分析】通过观察可知右下标是（除A1外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，由此判断即可．【解答】解：∵15÷4＝3…3，∴点A15在第二象限，∴点A15的坐标是（﹣4，4），故选：B．【点评】此题主要考查了点的变化规律，根据已知的点的坐标得出坐标变化规律是解题关键．7．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，已知在△AOB中A（0，4），B（﹣2，0），点M从点（4，1）出发向左平移，当点M平移到AB边上时，平移距离为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．5.75【分析】先利用待定系数法求出直线AB解析式，求出y＝1时x的值，再由平移的定义可得答案．【解答】解：设直线AB解析式为y＝kx+b，将点A（0，4），B（﹣2，0）代入，得：，所以直线AB解析式为y＝2x+4，当y＝1时，2x+4＝1，解得：x＝﹣1.5，则当点M平移到AB边上时，平移距离为4﹣（﹣1.5）＝5.5，故选：C．【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握待定系数法求直线解析式和平移变换的定义．二．填空题（共8小题）8．（2021秋•鄞州区期末）点A（2，3）关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3）．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点A（2，3）关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9．（2022秋•兰溪市期中）已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点P的坐标是（﹣3，﹣2）．【分析】横坐标的绝对值是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值是点到x轴的距离．关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解答】解：因为点P关于y轴对称的点在第四象限，所以点P在第3象限，点P的坐标是（﹣3，﹣2）．【点评】主要考查了点的坐标的意义和对称的特点．10．（2021秋•钱塘区期末）点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．【解答】解：点（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），故答案为（﹣2，﹣3）．【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．11．（2021秋•北仑区期末）已知点P的坐标是（2，﹣3），则点P关于y轴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．【解答】解：∵点P的坐标是（2，﹣3），∴点P关于y轴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的坐标性质，正确记忆相关性质是解题关键．12．（2022秋•南湖区校级期中）点A（﹣1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（﹣1，2）．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解答】解：点A（﹣1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．13．（2020秋•永嘉县校级期末）把点A（3，﹣1）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得点的坐标为（5，2）．【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移，纵坐标加解答．【解答】解：点A（3，﹣1）向右平移2个单位，横坐标变为3+2＝5，向上平移3个单位，纵坐标变为﹣1+3＝2，所以所得点的坐标为（5，2）．故答案为（5，2）．【点评】本题考查了利用平移解答坐标与图形的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．14．（2021秋•鄞州区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，从点P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P2018的坐标为（﹣505，﹣505）．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在D第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2018的在第三象限，再根据第三项象限点的规律即可得出结论．【解答】解：由规律可得，2018÷4＝504…2，∴点P2018第三象限，∵点P2（﹣1，﹣1），点P6（﹣2，﹣2），点P10（﹣3，﹣3），∴点P2018（﹣505，﹣505），故答案为：（﹣505，﹣505）【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，该位置处点的规律，然后就可以进一步推得点的坐标．15．（2021秋•义乌市月考）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点M的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为（﹣3，5）．【分析】如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．利用全等三角形的性质，平行四边形的性质求出OC、OD即可；【解答】解：如图作ND∥x轴交y轴于D，作NC∥y轴交x轴于C．MN交y轴于K．∵NK＝MK，∠DNK＝∠BMK，∠NKD＝∠MKB，∴△NDK≌△MBK，∴DN＝BM＝OC＝3，DK＝BK，在Rt△KBM中，BM＝3，∠MBK＝60°，∴∠BMK＝30°，∴DK＝BK＝BM＝，∴OD＝5，∴N（﹣3，5），故答案为（﹣3，5）【点评】本题考查坐标与图形变化，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共3小题）16．（2021秋•鄞州区校级月考）如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4）．请根据图中所给信息解决下列问题：（1）A→C（+3，+4）；B→C（+2，0）；C→A（﹣3，﹣4）；（2）如果贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程；（3）如果贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出妮妮的位置E点．【分析】（1）根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可；（2）根据运动路线列式计算即可得解；（3）在图中依次表示出各位置，然后确定出点E的位置即可．【解答】解：（1）A→C（+3，+4）；B→C（+2，0）；C→A（﹣3，﹣4）；故答案为：+3，+4；+2，0；A；（2）如果贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程；根据题意得：|+1|+|+4|+|+2|+|0|+|+1|+|﹣2|＝10m．（3）妮妮的位置E点如图所示．【点评】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解标记的两个数的实际意义是解题的关键．17．（2020秋•婺城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A3B3C3，然后写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A3B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．18．（2021春•新市区校级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，﹣3），B（﹣2，0）．（Ⅰ）如图①，则三角形OAB的面积为3；（Ⅱ）如图②，将线段AB向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到平移后的线段A′B′．连接OA′，OB′．①求三角形OA′B′的面积；②P（﹣1，m）（m＞0）是一动点，若S三角形POB＝10，请直接写出点P坐标．【分析】（Ⅰ）判断出OA，OB的长，利用三角形面积公式求解．（Ⅱ）①利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．②利用三角形面积公式，构建方程求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣3），B（﹣2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴S△AOB＝×2×3＝3，故答案为：3．（Ⅱ）①如图，S△A′B′O＝4×5﹣×3×4﹣×2×3﹣×5×1＝．②由题意，×2×m＝10，∴m＝10，∴P（﹣1，10）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用参数构建方程解决问题．【易错】一．选择题（共5小题）1．（2021秋•宁波期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，3）到x轴的距离是（）A．﹣4 B．4 C．5 D．3【分析】根据各象限内点的坐标特征与点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．【解答】解：点M（﹣4，3）在第二象限，到x轴的距离是3．故选：D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解决的关键．2．（2021秋•宁波期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（）A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位 C．向下平移8个单位 D．向上平移8个单位【分析】关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，那么向右平移两个横坐标差的绝对值即可．【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴轴对称，∴平移后的坐标为（3，﹣4），∵横坐标增大，∴点是向右平移得到，平移距离为|3﹣（﹣3）|＝6．故选：B．【点评】本题考查了平移中点的变化规律及点关于坐标轴对称的知识点，用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数；点的左右移动只改变点的横坐标．3．（2020秋•莲都区期末）下列各点属于第一象限的是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）【分析】根据第一象限的点的横坐标与纵坐标均为正数判断即可．【解答】解：A．（1，﹣2）在第四象限，故此选项不符合题意；B．（1，2）在第一象限，故此选项符合题意；C．（﹣1，﹣2）在第三象限，故此选项不符合题意；D．（﹣1，2）在第二象限，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了点的坐标，熟记各个象限的点的坐标特点是解答本题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．（2021•临海市开学）点P（1，﹣3）到x轴的距离是（）A．1 B．﹣3 C．﹣1 D．3【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，从而得解．【解答】解：∵点P的坐标为（1，﹣3），∴点P（1，﹣3）到x轴的距离是|﹣3|，∵|﹣3|＝3，即点P（1，﹣3）到x轴的距离是3．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．5．（2021秋•长兴县月考）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据题意可得a＜0，b＞0，从而可得ab＜0，﹣b＜0，然后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限，∴a＜0，b＞0，∴ab＜0，﹣b＜0，∴点B（ab，﹣b）所在的象限是第三象限，故选：C．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2020秋•衢江区期末）点A的坐标为（﹣1，2），点A到x轴的距离是2．【分析】根据点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值解答即可．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），∴点A到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值即为2．故答案为：2．【点评】本题考查了点的坐标．解题的关键是能够根据点的坐标确定点到坐标轴的距离．7．（2021秋•海曙区校级期中）点P（﹣5，9）关于y轴的对称点Q的坐标为（5，9）．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答．【解答】解：点P（﹣5，9）关于y轴的对称点Q的坐标为（5，9）．故答案为：（5，9）．【点评】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征，关于y轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数．8．（2020秋•衢州期末）当m＝3时，点A（2﹣m，m﹣3）在x轴上．【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出m﹣3＝0，进而得出答案．【解答】解：∵点A（2﹣m，m﹣3）在x轴上，∴m﹣3＝0，解得：m＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握x轴上点的坐标特点是解题的关键．9．（2020秋•钱塘区期末）若点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，则点A的坐标为（0，﹣1）．【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列式求出a，再求点A的坐标即可．【解答】解：∵点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，∴2a﹣1＝0，解得：a＝，∴2a﹣1＝0，1﹣4a＝﹣1，∴点A的坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查了点的坐标，熟记y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．（2020秋•西湖区校级期末）平面直角坐标系中，已知点A（a，3），点B（2，b），若线段AB被y轴垂直平分，则a+b＝1．【分析】根据线段AB被y轴垂直平分，则可知点A与点B关于y轴对称，根据对称的性质即可解答．【解答】解：∵线段AB被y轴垂直平分，∴点A（a，3）与点B（2，b）关于y轴对称，∴a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握对称的性质．【压轴】一、单选题1．（2020·浙江·八年级期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的好点．已知点的好点为，点的好点为，点的好点为，这样依次得到，若点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点P（x，y）的好点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3），点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2019=4×504+3可判断点P2019的坐标与点P3的坐标相同．【详解】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3）点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，而2019=4×504+3，所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（-3，3）．故选：C．【点睛】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律．2．（2021·浙江·八年级期末）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点从原点出发，沿着“…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知坐标为···，设第秒运动到点为正整数)，则点的坐标是)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．【详解】解：由题意知，A1（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0），A5（5，-1），A6（6，0），A7（7，1），…由上可知，每个点的横坐标等于序号，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，-1，0这样循环，∴A2020（2020，0），故选：A．【点睛】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．【详解】解：观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．二、填空题4．（2020·浙江宁波·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点的坐标为_______．【答案】（2，2）【分析】根据中心对称的性质找出部分Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．【详解】观察，发现规律：P0（0，0），P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n为自然数）．∵2020=6×336+4，∴P2020（2，2）．故答案为：（2，2）．【点睛】此题考查规律型：点的坐标以及中心对称的性质，解题的关键是找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（-2，2），P6n+3（0，-2），P6n+4（2，2），P6n+5（-2，0）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意列出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．5．（2020·浙江金华·八年级期中）已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标：___________．【答案】或或【分析】分和两种情况，再分别利用全等三角形的性质求解即可得．【详解】设点P的坐标为，，，由题意，分以下两种情况：（1）如图1，当时，，轴，，又，，解得或，则此时点P的坐标为或；（2）如图2，当时，，点P在x轴上，且，则此时点P的坐标为；综上，符合条件的点P的坐标为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、坐标与图形，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．6．（2020·浙江宁波·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______．【答案】【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证∆CDA≅∆AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，∴∠DCA=∠EAB，又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，∴∆CDA≅∆AEB（AAS），∴BE=AD，∵，∴AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，连接CA′，则点A′在直线l上，DA′=DA=5，AC=A′C，∴=OC+A′C，∵在∆COA′中，OC+A′C≥OA′，∴当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，此时，OA′=，∴最小值=．故答案是：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称求线段和的最小值问题，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．三、解答题7．（2020·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点与交于点．（1）求出的长度；（2）求的面积；（3）在平面上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB＝20；（2）的面积为；（3）点P的坐标为（12，28），（－12，－4），（28，16），（4，－16），（2，－2），（14，14）【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）连接BC，设AC＝BC＝x，则OC＝16－x，在RtBOC中，利用勾股定理计算即可求得AC的长，进而在RtACD中可求得CD的长，最后利用三角形的面积公式即可求得答案；（3）分类讨论，画出相应图形，作出正确的辅助线构造全等三角形，计算即可．【详解】解：（1）∵点的坐标为，点的坐标为，∴OA＝16，OB＝12，在RtAOB中，，∴AB＝20；（2）如图，连接BC，∵折叠，∴AC＝BC，∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝10，设AC＝BC＝x，则OC＝16－x，在RtBOC中，，∴，解得，∴，∴在RtACD中，∴，∴的面积为；（3）如图1，当点P在第一象限，PB＝AB且∠PBA＝90°时，过点P作PE⊥OB交y轴于点E，则∠PEB＝∠AOB＝90°，∴∠PBE＋∠BPE＝90°，∵∠PBA＝90°，∴∠PBE＋∠ABO＝90°，∴∠BPE＝∠ABO，∵∠PEB＝∠AOB，∠BPE＝∠ABO，PB＝AB，∴PEB≌BOA，∴PE＝OB＝12，BE＝OA＝16，∴OE＝BE＋OB＝28，∴点P的坐标为（12，28），如图2，当点P在第三象限，PB＝AB且∠PBA＝90°时，过点P作PF⊥OB交y轴于点F，则∠PFB＝∠AOB＝90°，∴∠PBF＋∠BPF＝90°，∵∠PBA＝90°，∴∠PBF＋∠ABO＝90°，∴∠BPF＝∠ABO，∵∠PFB＝∠AOB，∠BPF＝∠ABO，PB＝AB，∴PFB≌BOA，∴PF＝OB＝12，BF＝OA＝16，∴OF＝BF－OB＝4，∴点P的坐标为（－12，－4），如图3，当点P在第一象限，PA＝AB且∠PAB＝90°时，过点P作PG⊥OA交x轴于点G，则∠PGA＝∠AOB＝90°，∴∠PAG＋∠APG＝90°，∵∠PAB＝90°，∴∠PAG＋∠BAO＝90°，∴∠APG＝∠BAO，∵∠PGA＝∠AOB，∠APG＝∠BAO，PA＝AB，∴PAG≌ABO，∴PG＝OA＝16，AG＝OB＝12，∴OG＝OA＋AG＝28，∴点P的坐标为（28，16），如图4，当点P在第四象限，PA＝AB且∠PAB＝90°时，过点P作PH⊥OA交x轴于点H，则∠PHA＝∠AOB＝90°，∴∠PAH＋∠APG＝90°，∵∠PAB＝90°，∴∠PAH＋∠BAO＝90°，∴∠APH＝∠BAO，∵∠PHA＝∠AOB，∠APH＝∠BAO，PA＝AB，∴PAH≌ABO，∴PH＝OA＝16，AH＝OB＝12，∴OH＝OA－AH＝4，∴点P的坐标为（4，－16），如图5，当点P在第四象限，PA＝PB且∠APB＝90°时，过点P作PM⊥OB交y轴于点M，过点A作AN⊥PM，交MP的延长线于点N，则∠PNA＝∠PMB＝90°，∴∠PAN＋∠APN＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠APN＋∠BPM＝90°，∴∠PAN＝∠BPM，∵∠PNA＝∠PMB，∠PAN＝∠BPM，PA＝PB，∴PAN≌BPM，∴PM＝AN，BM＝PN，设PM＝AN＝a，则PN＝BM＝12＋a，∵MN＝OA＝16，∴a＋12＋a＝16解得a＝2，∴PM＝2，OM＝AN＝2，∴点P的坐标为（2，－2），如图6，当点P在第一象限，PA＝PB且∠APB＝90°时，

过点P作PI⊥OB交y轴于点I，过点A作AJ⊥PI，交IP的延长线于点J，则∠PJA＝∠PIB＝90°，∴∠PAJ＋∠APJ＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠APJ＋∠BPI＝90°，∴∠PAJ＝∠BPI，∵∠PJA＝∠PIB，∠PAJ＝∠BPI，PA＝PB，∴PAJ≌BPI，∴PI＝AJ，BI＝PJ，设PI＝AJ＝b，则PJ＝BI＝b－12，∵IJ＝OA＝16，∴b＋b－12＝16，解得b＝14，∴PI＝14，OI＝AJ＝14，∴点P的坐标为（14，14），综上所述，点P的坐标为（12，28），（－12，－4），（28，16），（4，－16），（2，－2），（14，14）．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）直接写出点A的坐标，点B的坐标，AO和BC位置关系是；（2）在P、Q的运动过程中，连接PB，QB，使S△PAB＝4S△QBC，求出点P的坐标；（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．【答案】（1）（－8，0）；（－4，－4）；平行

（2）（，0）或（8，0）

（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°；理由见解析【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到点A、B、C的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．【详解】解：（1）∵，∴a＋8＝0，b＋4＝0，解得，a＝−8，b＝−4，则A（−8，0），B（−4，−4），C（0，−4），∵点B的坐标为（−4，−4），点C的坐标为（0，−4），∴BC∥AO，故答案为：（−8，0），（−4，−4），BC∥AO；（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，①当点Q在点C的上方时，CQ＝4﹣t，∴S△APB＝AP•BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ•BC＝（4−t）×4＝8−2t，∵S△APB＝4S△BCQ，∴4t＝4（8﹣2t）解得，t＝，∴AP＝2t＝，∴OP＝OA﹣AP＝，∴点P的坐标为（，0）；②当点Q在点C的下方时，CQ＝t﹣4，∴S△BCQ′＝2t－8∴4t＝4（2t﹣8）解得，t＝8，∴AP＝2t＝16，∴OP＝AP﹣OA＝8，∴点P的坐标为（8，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（8，0）；（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．理由如下：①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，∴∠OPQ＝∠PQH，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO如图3所示，∴∠OPQ＝∠PQJ，∵BC∥AO，QH∥AO，∴QH∥BC，∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，即∠BQP＋∠OPQ＝150°，综上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．9．（2021·浙江·八年级期末）如图，已知．（1）求的面积；（2）在轴上是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点所有可能的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果在第二象限内有一点，且过点作轴于，请用含的代数式表示梯形的面积，并求当与面积相等时的值？【答案】（1）；（2）存在．或或或；（2），时，．【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出AB、AC的长，再利用三角形面积公式求解即可；（2）设Q（0，a），分三种情况①AB=BQ时；②AB=AQ时；③BQ=AQ时进行讨论求解即可；（3）由题意，OH=﹣m，利用梯形面积公式得，结合图形可得，再由得到关于m的方程，解方程即可求解m值．【详解】，，又，，设，则，在中，由勾股定理得：，即，得：，；存在设，则，，①当时，即，，解得：或，；②当时，即，解得：或（舍去，与重合），；③当时，即，，解得：，，综上：在轴上存在一点或或或，使为等腰三角形；，，，，，，，，，，∴，解得：，即，当时，．【点睛】本题考查了坐标与图形、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平方根、解一元一次方程等知识，解答的关键是利用数形结合思想，将各知识点串起来，进行探究、推理和计算．10．（2020·浙江·杭州英特外国语学校八年级期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．（1）求三角形的面积；（2）若线段与轴交于点，在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过作交轴于，且，分别平分，，如图②，求的度数．【答案】（1）16；（2）存在，或；（3）．【分析】（1）先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性可求出a、b的值，从而可得AB、BC的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得；（2）设点P的坐标为，从而可得，再根据点C的坐标可得PQ边上的高，然后利用三角形的面积公式可得一个关于m的绝对值方程，解方程即可得；（3）如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角平分线的定义、角的和差可得，然后根据直角三角形的两锐角互余、等量代换即可得．【详解】（1），，解得，，轴，，三角形的面积为；（2）存在，求解过程如下：设点P的坐标为，，，，三角形的PQ边上的高为4，，解得或，故点P的坐标为或；（3）如图，过点E作，，，，，，分别平分，，，，又轴轴，，．【点睛】本题考查了偶次方的非负性、算术平方根的非负性、平行线的判定与性质、点坐标等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，利用到平行线的判定与性质是解题关键．11．（2020·浙江·金华市南苑中学八年级阶段练习）如图1，已知直线l的同侧有两个点A，B，在直线l上找一点P，使P点到A，B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(5，4)，动点P在x轴上，求PA+PB的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC中，AB=8，∠BAC=45°，∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为___（3）如图4，∠AOB=30°，OC=4，OD=10，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，则CF+EF+DE的最小值为___【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）作点A关于x轴的对称点，连A'B交x轴于点P，由两点间距离公式可求解；（2）作点N关于直线AD的对称点，连接，由，可得当点B，点M，点三点共线，且BM垂直AC时，BM+MN的值最小，由直角三角形的性质可求解；（3）过作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点，连接交OA于点E，交OB于点F，则CF+EF+DE的最小值为的长，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图2：作点A关于x轴的对称点，连交x轴于点P，∴PA+PB的最小值就是的长，∵点B的坐标为，∴，∴PA+PB的最小值为；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴直线AB与直线AC关于直线AD对称，如图3，作点N关于直线AD的对称点，连接，∴，∴

∴当点B，点M，点三点共线，且BM垂直AC时，BM+MN的值最小，∴此时，∴，由（负根舍去）所以此时：∴BM+MN的最小值为，故答案为；（3）如图4，过作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点，连接交OA于点E，交OB于点F，∴由两点之间，线段最短，可得CF+EF+DE的最小值为，连接交OB于点G，连接交OA于点N，过点作于P，作于点H，∵∠AOB=30°，OC=4，OD=10，

∴，∠ODN=60°，∴∴所以CF+EF+DE的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的综合问题，考查的是轴对称-最短路径问题，图形与坐标，等腰直角三角形的性质，平方根的含义，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．12．（2020·浙江·杭州外语实验初中八年级期中）在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E．（1）如图，若点C的坐标为（3，0），试求点E的坐标；（2）如图，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分（3）若点C在x轴正半轴上运动，当时，试探索线段AD、OC、DC的数量关系，并证明．【答案】（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【详解】（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3=OE，∴点E的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，∵，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC==30°，∠DCA==60°∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，∴△OPD≌△OCD，∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．13．（2020·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：若，则点与点的“识别距离”为；若，则与点的“识别距离”为；（1）已知点，为轴上的动点，①若点与的“识别距离”为3，写出满足条件的点的坐标．②直接写出点与点的“识别距离”的最小值．（2）已知点坐标为，，写出点与点的“识别距离”的最小值．及相应的点坐标．【答案】（1）①或；②2；（2），．【分析】（1）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得；②先求出时a的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可；（2）参考②，先求出时m的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可．【详解】（1）①设点B的坐标为点与的“识别距离”为解得