2020-2021学年曾都区而二中高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年曾都区而二中高二上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.直线立。5140。+”讥140。=0的倾斜角是()

A.40°B,50°C.130°D.140°

2.把100个面包分给五个人，使每个人所得的面包个数成等差数列，最大的三份之和的;是最小的

两份之和，则最小的一份的量是多少？这是世界上最古老的的数学著作之一俅因德纸草书少

中一道题，则在该问题中的公差为()

B.|C,^D,^

3.在数列｛%｝中，ax-2,as+1=4-lnfl+—，则％=

In)

A.2+B.2+—l)lnnC.2+盟In%D.14-w+lnn

4.袋中装有1个白球和3个黑球，从中摸出2个球正好一白一黑的概率是()

A.之B.-C.-D.|

5.数列｛即｝满足即+即+1="-1，则该数列的前2020项和为()

A.1008x1009B,1009x1010C.1010x1011D.1011x1012

6.对于定义域为。的函数y=/(x)和常数c,若对任意正实数f,存在xeD,使得0<|/(x)-c|<f

恒成立，则称函数y=f(x)为“敛c函数”，现给出如下函数：

①/'(X)=x(xGZ)；

②f(x)=G尸+2(xGZ)；

③(fx)=log2x+1;

④/㈤=等.

其中为“敛2函数”的有()

A.①②B.③④C.①②③D.②③④

7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆卷+?=1的一个焦点重合，过点P(4,0)的直线与抛

物线交于4B两点，若A(5,m),则缁的值()

A.-8B.-4C.-2D.3

8.双曲线盘一3=1（<1>0/>0）的离心率为遥，且与椭圆5+1同焦点，则双曲线的方程

为（）

A./-日=1B.任一丝=1C.y2一立=iD.^-^=1

428428

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.对于定义域为。的函数/（X）,若存在久1，%2€。且%1#乂2，使得/（麓）=/（好）=2/01+尤2），

则称函数/（攵）具有性质M,若函数g（x）=|log2%—l|,且xe（0,a］有性质M,则下列说法中正

确的是（）

A.xf-%2=AB.好•螃=4

C.实数a的最小值为4D.实数a的最小值为J2&+2

10.有下面四个不等式，其中恒成立的有()

A.VaFB.a(l-a)<i

C.a24-h24-c2>aZ?+&c+caD.-+7>2

ab

11.下列命题中正确的有（）

A.|x|2+|%|—2=0有四个实数解

B.设a、b、c是实数，若二次方程a/+加；+。=o无实根，则acZ0

C.若a>C则岛>白

D.若xeR,则函数y=V%2+4+五餐的最小值为2

12.数列｛册｝的前几项和为3，若的+。2=2,an+i=Sn+l,则（）

A.数列｛%｝是公比为2的等比数列B.S6=47

C.称既无最大值也无最小值D.22+…+2〈与

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

%+y>2

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点;P（2,l）,若Q（%y）为平面区域卜<2上一个动点，则丽・丽

,y<1

的取值范围是.

14.圆/+y2+Q%-2ay-2=0的半径的最小值是.

15.已知双曲线摄一3二/^^^^^^的渐近线方程为丫二口则该双曲线的离心率为.

16.如图，在三棱锥4-BCD中，△4C0与△BCD都是边长为2的正三角形，且

平面ACD_L平面BCD,则该三棱锥外接球的表面积为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知A/IBC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ccosB+bcosC=2acosC.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2V5,SAABC=2次,求a，b的值.

18.已知数列｛g｝的前n项和为％，且%+属=n+l.⑴求%,a„；

(2)若勾=(-l)nT,非a｛九｝的前般项和为7,求”.

19.已知函数/'(%)=sinxcos(x*)-cosxs讥(x+今,xeR.

⑴求/吟)的值；

(2)求函数/(x)的单调递增区间.

20.已知圆C：/+丫2+2万一4丫+3=0.若圆(；的切线在％轴和'轴上截距相等，求切线的方程.

21.如图，在三棱台ABC-AiBiG中，平面44CG1"平面ABC,A^ALAC,=AtA=1,AB=

BC=V2,AC=2.

(I)证明：ArBIBC；

(n)求直线与平面&BCC1所成角的正弦值.

/l.c------------—

A

B

22.已知椭圆C：《+卷=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,点P(A%)在椭圆C上，满足丽;•

(I)求桶圆C的标准方程；

(H)已知两点8(%2，丫2)。1工》2)在曲线C上，记沅=(?/1),元=(费,丫2)，若沆元，。为

坐标原点，试探求AOAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：选,••直线xcos140°+ysin140°=0

的斜率k_85i4O：_^C05（180a-40g）-COS4018S40,_缶50：_

Rin140ssin（1803-40s］ain4n9Rin4D9rn«RO!

；.直线xcosl40。+ys讥140。=0的倾斜角为50。.

2.答案：C

解析：解；设每人所得成等差数列也“},不妨设d>0.

则的+a2=+a5）,ar+a2+a3+a4+as=100,

2al+d='（3a1+9d）,5al4——d=100>

联立解得：d=^.

6

故选：c.

设每人所得成等差数列也工，不妨设d>o.由题意可得ai+a2="a3+a4+a5），ar+a2+a3+

a4+a5=100,利用通项公式与求和公式即可得出.

本题考查等差数列的通项公式，属基础题.

3.答案：A

解析:

本题主要考查了对数函数的性质，数列的递推公式和通项公式，考查了基本运算的能力.

解：•・,/加二遨k珏&哪I带勾=魄答说室;5二叫朴诲，制替理一沏窿，

・•・唾=皆［普晟辎啊=啊替诙兽一诲氢…|胃牌=噬出沏窿-曜L苗,

将上面n-1个式子左右两边分别相加得

碑,=竭［替沏履带正物缪一溷筠棒|徵昌一沏馈也…带「麟:一胸除一：1的

*uv¥wvL.wyJ

二卷网答通砥二香存露的.

故选A.

4.答案：A

解析：解：袋中装有1个白球和3个黑球，

从中摸出2个球，基本事件总数n=量=6,

从中摸出2个球正好一白一黑包含的基本事件个数m=弓废=3,

从中摸出2个球正好一白一黑的概率是P=2=：="

OZ

故选：A.

从中摸出2个球，基本事件总数〃=戏=6,从中摸出2个球正好一白一黑包含的基本事件个数m=

盘盘=3,由此能求出从中摸出2个球正好一白一黑的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.答案：B

解析：

本题考查了数列的递推关系，考查数列的分组求和，考查了等差数列的前n项和，属于中档题.

由数列的递推关系把数列的前2020项分组，然后利用等差数列的前n项和公式可得答案.

•••+an+i=n-l,

52020=(al+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+-"+(a2019+a2020)

=0+2+4+…+2018

=332=1009X1010.

2

故选：B.

6.答案：D

解析：

本题考查了新定义“敛c函数”、极限的定义，考查了推理能力和计算能力，属于难题.

根据给出的新定义逐一判定给出的函数是否为“敛2函数”.

解：①对任意正实数6,不存在xeZ,使得0<-2|<f恒成立，例如：取f=P因此不是“敛2函

数”；

②对任意正实数f,存在XGZ且久>使得0<|仁尸+2-2|<f恒成立，因此是“敛2函数”；

③对任意正实数《，存在x6(0,+8)且2】苫<x<21+“x+2),使得0<|log2x+1-2|<f恒成立,

因此是“敛2函数”；

④对任意正实数。存在¥6(-8,0)1；(0,+8)且“<金，使得0<|等-21<6恒成立，因此是

“敛2函数”.

综上可知：只有②③④是“敛2函数”.

故选：D.

7.答案：B

解析：解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆著+?=1的一个焦点重合，

可得£=4,即p=8,抛物线方程为/=I6x,

过点P(4,0)的直线方程可设为y=k(x-4),联立抛物线方程可得—(8/+16)x+16/c2=0,

可得久4乂3=16,

由4(S,m),可得小=y

也=^4|=5

则|PB||4-y|4-

故选：B.

求得椭圆的焦点，可得P=8,求得抛物线方程，设出过P的直线方程，联立抛物线方程，运用韦达

定理，可得B的横坐标，再由三点共线的线段之比为横坐标之比的绝对值.

本题考查抛物线与椭圆的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算

能力，属于中档题.

8.答案：B

解析：解：椭圆［+3=1的焦点(±VTU,0),所以双曲线条一，=1(。>0/>0)的焦点坐标

(±VTo,o),

双曲线会，=l(a>0,b>0)的离心率为遥,所以梃二段，可得a=V2,则b=Vc2-a2=V8.

1a

所以双曲线方程为：兰一丝=1.

28

故选：B.

求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a,b,即可得到双曲线

方程.

本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查.

9.答案：BD

解析：解：设%1<%2，由/(*)=/(据)，得|log2*-1|=|log2将一1|，

则1-10g2好=log2X^-1,故10g2好好=2,

Axlxl=4（好<2,xl>2）,

又2/Q1+x2）=1210g2（X1+%2）-2|=|10g2（X]+%2）2-2|,

/（好）=/（%2）=2/（X1+x2）,

2

•••log2（^i+x2）-2=1-log2xf,

・・丫2_4

.名一蓝•••log2（^l+£）2_2=1-log2后,

则log2（xf+4xf+4）=3,・•・+4xf+4=8,

x1=12企-2,故次=J2a+2,

a>V2V2+2>则实数a的最小值为J2夜+2.

故选：BD.

设41<%2,由/'（就）=f（好），可得好好=4,结合2f（Xi+%2）=|2/。。2（X1+必）-2|=|10g2（*i+

2

X2）-2|,可得短+4淄+4=8,进而求得打，x2>由此可得a的最小值.

本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运

算，逻辑推理等核心素养，属于中档题.

10.答案：BC

解析：解：对于4,若a<0,b<0,当且仅当a=b时等号成立，故A错误；

对于B,a（l—a）S（哼竺）2=:当且仅当a=l—a,即a=：时等号成立，故B正确；

对于C,a2+b2>2ab,a2+c2>2ac,b2+c2>2bc,

所以2（小+炉+c2）>2ab4-2bc4-2ac,当且仅当a=b=c时等号成立，

22

所以Q24-b+c>+he+ac,故。正确；

对于。，若a,b异号，则色+2,当且仅当。=一8时等号成立，故。错误.

ab

故选：BC.

利用基本不等式分别验证选项即可得结论.

本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题.

11.答案：BC

解析：解：A：因2+因一2=0则团=1或|泪=一2,故方程只有两个实数解，故A是假命题；

B：设a、b、c是实数，若二次方程a/+b%+c=0无实根,则，-4ac<0,则ac>—>0,则ac>0,

4

可以推出acNO,故3是真命题；

：若・・故是真命题；

Ca>b,C?+1>0,•c2+lc2+lC

D：若x€R,则函数y=7x2+4+无餐的最小值为I，此时x=o,故。是假命题.

故选：BC.

A：田2+因-2=0先求出田的取值，从而判定根的个数，即可得到命题的真假；B先根据二次方

程a%2+"+。=o无实根，求出如b、c的关系，可得到命题的真假；C根据不等式的性质可判断

命题的真假；C求函数y=HE+磊的最值时注意右E的范围，求出最小值，判定真假.

本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，命题的真假的判定，函数单调性的应用，考查分

析问题解决问题的能力，解决此类问题往往是逐一进行判定，属于中档题.

12.答案：BD

解析：解：数列｛厮｝的前n项和为土，若ai+a2=2,an+1=Sn+1,

令n=1,知a2=S]+1=%+1,结合%+a2=2,

知%-a2=|,

On+l=Sn+1=an=Sn_x+1，

所以即+1一=«n(n22),

但为=[,a2=|,言=3彳2,

当7122，S"=产2""+二=3x2n-2-1，

711-22

S6=3x16-1=47,故4错误，8正确；

山于言=1，g2,时，言=盗==行云6(；，中，故C错误；

所以能无最小值，有最大值，三+三+…+工=2+犯聿故。正确.

3n%a2ani-i3

故选：BD.

直接利用赋值法和数列的递推关系式求出数列的通项，进一步利用求和公式的应用和取值范围确定4、

B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的关系式的变换，

主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

13.答案：[3,5]

解析:

本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运

算等基础知识，考查数形结合的数学思想，属于中档题.

作出可行域，确定目标函数，平移直线，即可得到结论.

解：设z=0P-0Q=(2,1)-(x,y)=2x+y，

作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y,即y=-2x+z,

平移目标函数，当过点截距最大，从而Z最大，即Zmax

经过4(1,1)点时在y轴上的截距最小，从而Z最小，zmin=3,

・・•加・丽的取值范围是[3,5],

故答案为[3,5].

14.答案：V2

解析:

本题考查圆的一般方程，属于基础题，解题时要注意圆的性质的合理运用.

2

解：•・,圆黑2+y2+Q%一2ay-2=0变形为(％+])+(y一Q)2=2+3Q2,

・•・r=|V5a24-8>V2,/.a=0时，r取最小值加.

故答案为：

15.答案：V2

解析：解：双曲线捺-3=@>0/>0)的渐近线方程为丫=%,

可得a=b,则c=

所以双曲线的离心率为：e=-=V2.

a

故答案为：V2-

利用双曲线的渐近线方程，得到a,b的关系，然后求解双曲线的离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.

16.答案：y7T

解析：解：取4B,CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知4F1BF,

AF=BF,EF=①,易知三棱锥的外接球球心0在线段E尸上，

2

连接。力，oc,W/?2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,

求得R2=|,所以其表面积为我.

故答案为：y7T.

取AB,CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,求出EF,判断三棱锥的外接球球心0在线段E尸上，

连接040C,求出半径，然后求解表面积.

本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形

结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.

17.答案：解：(1)MABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,满足ccosB+bcosC=2acosC.

a2+c2-b2,a2+b2-c2

cx+bx=2ax

-^r~-^ir-2ab

a2+c2-b2a2+b2-c2a2+b2-c2

・•・--------+-----------=2nX——-——

aab

・•・ab=a2+b2—c2,

222

》a+b-cab1

•**cosC=-----=—=一,

2ablab2

v0<C<7T,**-C=p

(2)c=2v5,S“8c=2V5,

•••S^ABC~=2v解得ab=8,：•h=^,

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC,

即12=小+置一2a[.cos60°,

整理，得：。4一20小+64=0,

解得a=2,h=4,或a=4,b=2.

解析：(1)利用余弦定理推导出ab=a2+b2-c2,再利用余弦定理求出cosC=p由此能求出角C的

大小.

⑵由正弦定理得SA.BC==2遮，求出ab=8,b=，由余弦定理得：a4-20a2+64=0,

由此能求出a,b的值.

本题考查正弦宣理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数

形结合思想、化归与转化思想，是中档题.

18.答案：解：(1)令n=l,得与+标？=2,(7^7+2)(旅7-1)=0，得%=1,所以=即

2

Sn=n.

当nN2时，。九=Sn-Sn_i=2九一1,当九=1时，的=1适合上式，所以Q九=2九一1.

(2泡=(-1尸.黑=(T尸.鬻=(一1产.(；+・).

当九为偶数时，〃=瓦+历+…+%=G+M_G+g_c+[)_(；+$+—(；+W)=1一

1_71

n+1n+l,

当〃为奇数时，％=瓦+历+…+%=(：+｝)-(|+[)-G+J-(；+§+…+(3+^71)=1+

1_n+2

n+1n+lf

'一片中为偶数

综上所述，方=(：」>

为奇数

解析：(1)根据%,即求数列通项公式即可.

(2)整理通项公式，利用裂项相消求的｛%｝的前n项和为7n.

19.答案：解：⑴:函数/(%)=sinxcos^x-cosxsin(x+])=sin2x-cos2x=-cos2x,xeft,

・••/《)=-cos*-多

(2)对于函数f(%)=—cos2x,令Zkit<2x<2kn+TT,

求得"<%</C7r+p可得/(X)的增区间为即,"+JkEZ.

解析：⑴由题意利用三角函数的恒等变换，化简/'(X)的解析式，可得“劫的值.

(2)由题意利用余弦函数的单调性，求出"X)的增区间.

本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦函数的单调性，属于基础题.

20.答案：解：圆C：%2+、2+2%-4)/+3=0即(％+1)2+0-2)2=2,表示圆心为C(—1,2),半

径等于鱼的圆.

设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0,设过原点的切线方程为履-y=0,则圆心C到切线的距离

等于半径.

由企=!z昔|z色，求得。=-1或3.

72

再由近=熄籍，求得k=2士VS，

故所求的切线的方程为x+y—3=0,x+y+l=0,y=（2+V6）x.

解析：求出圆心和半径，设直线方程为x+y-。=0或丫=/£",由圆心C到切线的距离等于半径，求

出待定系数a和k的值.

本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想.注意分截距不

等于0和截距

等于0两种情况进行讨论，属于中档题.

21.答案：（I）证明：•.•平面4血6J■平面4BC,平面&ACC10平面ABC=4C,1AC,

：.AtA1平面ABC,

•••BCu平面4BC,•••BC1ArA,

•:AB=BC=72,AC=2,

：.AB2+BC2=AC2,BCVAB,

又&4、力Bu平面ABBiAi，

•••BCJL平面力BBi&,

AXBu平面488送1，

AXB1BC.

（口）解：由（I）知，BCL平面

•••BCu平面BiBCCi，

.♦・平面488遇11平面々BCG，

作为H1BBi交延长线于点”，

•••平面ABBiAi。平面&BCC1=BB],

•1•A^HJL平面

二为直线与平面/BCG所成角,

=4c=2,.•.点4为R4的中点,

•，•PAr=1,A1B1==乎，PBi=y/PAf+A^=争

在Rt/kP41当中，ArH-PB1=PAr-A1Blf

22

而力道=y/ArA4-AB=V3»

：•sinZ-A-^BH=Ai—B=—3,

故直线与平面BiBCCi所成角的正弦值为也

解析：(I)由平面AiACCi1平面ABC,推出_L平面ABC,故BCJ.A/；由勾股定理的逆定理知，

BCLAB,再利用线面垂直的判定定理与性质定理，得证；

(U)易知平面4BBM11平面B/CC],作1BBi交BBi延长线于点H,证得即为所求，再

由平面几何知识求得和的长后，即可得解.

本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性