2024年初中升学考试模拟测试卷湖北省黄石市中考数学试卷

第1页（共1页）2023年湖北省黄石市中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定2．（3分）下列图案中，（）是中心对称图形．A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3•x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y4．（3分）如图，根据三视图，它是由（）个正方体组合而成的几何体．A．3 B．4 C．5 D．65．（3分）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞16．（3分）我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1，这组数据的众数和中位数分别是（）A．9.1，9.1 B．9.1，9.15 C．9.1，9.2 D．9.9，9.27．（3分）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（）A．2 B． C．4 D．9．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（）A． B．1 C． D．210．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共8小题，第11～14小题每题3分，第15～18小题每题4分，共28分．11．（3分）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝．12．（3分）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝．13．（3分）据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番．其中18000000用科学记数法表示为．14．（3分）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为km（结果保留π）．15．（4分）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）16．（4分）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为．17．（4分）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为；若△AOB的面积为，则＝．18．（4分）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，AD＝4，BB′＝，则∠BAB′＝（从“∠1，∠2，∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE＝．三、解答题：本题共7小题，共62分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）先化简，再求值：（+1）÷，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．20．（8分）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．（1）求证：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大小．21．（8分）健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉．目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一．某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为x，得到下表：成绩频数频率不及格（0≤x≤59）6及格（60≤x≤74）20%良好（75≤x≤89）1840%优秀（90≤x≤100）12（1）请求出该班总人数；（2）该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他们的成绩随机填入表格，求恰好得到的表格是的概率；（3）设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b，c，d，若2a+3b+6c+4d＝1275，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．22．（8分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．（1）求黄金分割数；（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．23．（9分）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；（3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．

2023年湖北省黄石市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定【分析】结合数轴表示确定实数a与b的符号和大小．【解答】解：由题意得，a＜0＜b，∴a＜b，故选：C．【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确运用该知识和数轴知识进行求解．2．（3分）下列图案中，（）是中心对称图形．A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；B、图形不是中心对称图形，不符合题意；C、图形不是中心对称图形，不符合题意；D、图形是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（）A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3•x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可．【解答】解：A、3x2+2x2＝5x2，原选项计算错误，不符合题意；B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原选项计算错误，不符合题意；C、x3•x2＝x5，原选项计算错误，不符合题意；D、﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y，原选项计算正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，熟练这些法则是解该类题目的关键．4．（3分）如图，根据三视图，它是由（）个正方体组合而成的几何体．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】在俯视图中，标出小正方形的个数，可得结论．【解答】解：由俯视图可知，小正方形的个数＝2+1+1＝4个．故选：B．【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握三视图的定义，属于中考常考题型．5．（3分）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1【分析】由题意可得x≥0且x﹣1≠0，解得x的取值范围即可．【解答】解：由题意可得x≥0且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1，故选：C．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．6．（3分）我市某中学开展“经典诵读”比赛活动，810班在此次比赛中的得分分别是：9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1，这组数据的众数和中位数分别是（）A．9.1，9.1 B．9.1，9.15 C．9.1，9.2 D．9.9，9.2【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数，然后再计算出中位数即可．【解答】解：将数据9.1，9.8，9.1，9.2，9.9，9.1，9.9，9.1按照从小到大排列是：9.1，9.1，9.1，9.1，9.2，9.8，9.9，9.9，则这组数据的众数是9.1，中位数是（9.1+9.2）÷2＝9.15，故选：B．【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确中位数和众数的含义，会找一组数据的中位数和众数．7．（3分）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．【解答】解：∵线段CD由线段AB平移得到，且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（）A．2 B． C．4 D．【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，∴OB＝OC，DN＝CN，∴ON＝BD，∵AB＝9，AC＝AD＝5，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，∴ON＝×4＝2．故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（）A． B．1 C． D．2【分析】根据折叠的性质得到AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，求得BE＝，根据直角三角形的性质得到∠BNE＝30°，求得∠EBN＝60°，于是得到结论．【解答】解：∵对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，∴BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，∴BE＝，∴∠BNE＝30°，∴∠EBN＝60°，∴∠ABM＝∠MBN＝30°，∴MN＝BN＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣1和经过点C（﹣3，0），再结合抛物线的对称性即可解决问题．【解答】解：因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上．将（1，0）代入二次函数解析式得，a+b+c＝0．故①正确．因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，所以，即b﹣2a＝0．又a+b+c＝0，则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，2c+3b＝0．故②正确．因为﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，所以点A离对称轴更近．则当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．故③错误．由ax2+bx+c＝k（x+1）得，ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．又a+b+c＝0，2c+3b＝0，得．则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）＝（）2﹣4×（）（c﹣k）＝．又k＞0，所以＞0．即该方程有两个不相等的实数根．故④正确．故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据抛物线的对称轴及经过定点得出a，b，c的关系是解题的关键．二、填空题：本题共8小题，第11～14小题每题3分，第15～18小题每题4分，共28分．11．（3分）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝（y﹣1）（x﹣4）．【分析】将整式x（y﹣1）+4（1﹣y）变形含有公因式（y﹣1），提取即可．【解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．【点评】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本题分解因式的关键．12．（3分）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9+1﹣2×＝9+1﹣1＝9，故答案为：9．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．13．（3分）据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番．其中18000000用科学记数法表示为1.8×107．【分析】运用科学记数法表示较大数字的方法进行求解．【解答】解：18000000＝1.8×107，故答案为：1.8×107．【点评】此题考查了运用科学记数法表示较大数字的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．14．（3分）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ所对的弧长约为πkm（结果保留π）．【分析】设OP＝OQ＝rkm．由FQ是⊙O的切线，可得cos∠FOQ＝，由此构建方程求出r，再利用弧长公式求解．【解答】解：设OP＝OQ＝rkm．由题意，FQ是⊙O的切线，∴FQ⊥OQ，∵cos∠FOQ＝，∴0.9＝，∴r＝6400，∴的长＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解．15．（4分）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看到点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行943米到达点D时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为423米．（参考数据：tan37°≈，tan47.4°≈）【分析】根据题意得到∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，根据三角函数的定义得到BC＝≈＝1600（米），过D作DH⊥BC于H，根据矩形的性质得到CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：由题意得，∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，∴BC＝≈＝1600（米），过D作DH⊥BC于H，则四边形ACHD是矩形，∴CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，∠E＝47.4°，∴＝1080（米），∴BE＝CH+HE﹣BC＝943+1080﹣1600＝423（米），答：地面目标运动的距离BE约为423米．故答案为：423．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和正弦函数的定义是解题的关键．16．（4分）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为a≤﹣1．【分析】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可．【解答】解：解不等式组，得．∵它的解集为﹣1＜x＜4，∴a≤﹣1．故答案为：a≤﹣1．【点评】本题考查不等式的解集，正确求解不等式是本题的关键．17．（4分）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为；若△AOB的面积为，则＝2．【分析】由A点的坐标可得出k的值，再结合k的几何意义即可求出△AOC的面积．过点B作x轴的垂线，将△AOB的面积转化为梯形的面积，即可求出的值．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，又根据k的几何意义可知，S△OBD＝S△AOC，则S梯形ACDB＝S△AOB．又△AOB的面积为，且A（a，），B（b，），所以，即．解得．又a＞b＞0，所以．故答案为：，2．【点评】本题考查反比例函数中系数k的几何意义，熟知k的几何意义及将△AOB的面积转化为梯形的面积是解题的关键．18．（4分）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，AD＝4，BB′＝，则∠BAB′＝∠1（从“∠1，∠2，∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE＝．【分析】由旋转的性质即可求出∠BAB′＝∠1，连接DD'，由相似三角形的性质可求DD'的长，再证点D′、D、C′在同一条直线上，然后证△CEB′∽△C'ED，即可求解．【解答】解：由旋转的性质得：∠BAD＝∠B′AD′，∵∠BAB′+∠B′AD＝∠BAD，∠1+∠B′AD＝∠B′AD′，∴∠BAB′＝∠1，如图，连接DD'，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴CB′＝BC﹣BB′＝4﹣＝，由旋转得：AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，∵∠BAB′＝∠1，∴∠AD′D＝∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，∴△BAB′∽△DAD′，∴＝，即＝，解得：DD′＝2，由旋转的性质得：四边形AB′C′D′是平行四边形，∠AB′C′＝∠B，AB′＝AB＝3，∠C′＝∠ECB′，B′C′＝BC＝4，∴∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，C′D′＝AB′＝3，∵∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′、D、C′在同一条直线上，∴DC′＝C′D′﹣DD′＝3﹣2＝1，∵∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，∴△CEB′∽△C'ED，∴＝＝，即＝＝＝，设DE＝x，B′E＝y，∴＝＝，解得：x＝，∴DE＝，故答案为：∠1；．【点评】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△CEB′∽△C'ED是解题的关键．三、解答题：本题共7小题，共62分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）先化简，再求值：（+1）÷，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，∵m﹣3≠0，m﹣1≠0，∴m≠3，m≠1，∴当m＝2时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．20．（8分）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．（1）求证：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大小．【分析】（1）利用SAS证明全等即可；（2）根据全等的性质，得到∠MAP＝∠ADM，由∠MAP+∠AMP＝∠ADM+∠AMP＝90°，从而求出∠APM＝90°．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°，∵BM＝CN，∴BC﹣CN＝AB﹣BM，即BN＝AM，在△ABN和△DAM中，∴△ABN≌△DAM（SAS）；（2）解：由（1）知△ABN≌△DAM，∴∠MAP＝∠ADM，∴∠MAP+∠AMP＝∠ADM+∠AMP＝90°，∴∠APM＝180°﹣（∠MAP+∠AMP）＝90°．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关图形的性质和判定是解题的关键．21．（8分）健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息，是人民健康保障的数据金矿和证据源泉．目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一．某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，先收集本班学生八年级的《体质健康标准登记表》，再算出每位学生的最后得分，最后得分记为x，得到下表：成绩频数频率不及格（0≤x≤59）6及格（60≤x≤74）20%良好（75≤x≤89）1840%优秀（90≤x≤100）12（1）请求出该班总人数；（2）该班有三名学生的最后得分分别是68，88，91，将他们的成绩随机填入表格，求恰好得到的表格是的概率；（3）设该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b，c，d，若2a+3b+6c+4d＝1275，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况．【分析】（1）根据成绩为良好的频数及频率即可解决问题．（2）列出所有情况即可解决问题．（3）用a，b，c，d表示出班级全体学生的平均分，再结合2a+3b+6c+4d＝1275即可解决问题．【解答】解：（1）由表格可知，成绩为良好的频数为18，频率为40%，所以该班总人数为：18÷40%＝45（人）．（2）将68，88，91进行随机排列得，68，88，91；68，91，88；88，68，91；88，91，68；91，68，88；91，88，68．得到每一列数据是等可能的，所以恰好得到88，91，68的概率是．（3）由题知，抽查班级的学生中，成绩是不及格，及格，良好，优秀的人数分别是6，9，18，12，又该班学生的最后得分落在不及格，及格，良好，优秀范围内的平均分分别为a，b，c，d，所以该班学生成绩的总分为：6a+9b+18c+12d．又2a+3b+6c+4d＝1275，所以6a+9b+18c+12d＝3825．则该班全体学生最后得分的平均分为：3825÷45＝85（分）．所以该校八年级学生体质健康状况是良好．【点评】本题考查加权平均数及以样本估测总体，能根据表格中的数据得出抽取的样本容量是解题的关键．22．（8分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．（1）求黄金分割数；（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【分析】（1）依据题意，将m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；（2）依据题意，将b2﹣2mb＝4变形为（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0，从而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．【解答】解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黄金分割数大于0，∴黄金分割数为．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0．又b≠﹣2a，∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根．∴a•（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q为两个不相等的实数，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．23．（9分）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．（1）求m，n的值；（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．【分析】（1）用待定系数法求出m，n的值即可；（2）①当12＜x≤20时，根据利润＝（售价﹣成本）×设备的数量，可得出w关于x的二次函数，由函数的性质求出最值；②求出0＜x≤12时w关于x的函数解析式，再画出w关于x的函数图象的简图，由题意可得结论．【解答】解：（1）把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入y＝mx+n得：，解得m＝﹣，n＝18；（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，由（1）知，当12＜x≤20时，z＝﹣x+18，∴w＝（z﹣10）y＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣x+8）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405，∵﹣＜0，12＜x≤20，∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405，∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；②当0＜x≤12时，z＝15，∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，∴w＝，则w与x的函数图象如图所示：由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，∴当x＝13，15时w＝403.75，当x＝12，16时，w＝400，∴a的取值范围400＜a≤403.75．【点评】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得∠OAC＝∠OCA，再证∠DAC＝∠OCA，则DA∥OC，然后证OC⊥CD，即可得出结论；（2）由圆周角定理得∠ACB＝90°，∠DAC＝∠PBC，再证∠BAC＝∠PBC，然后证△ACB∽△BCP，得＝，即可得出结论；（3）过P作PE⊥AB于点E，证AC•PC＝3FP•DC，再证△ACD∽△BPC，得AC•PC＝BP•DC，则BP•DC＝3FP•DC，进而得BP＝3FP，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．【解答】（1）证明：