第31讲平面向量常考考点（原卷版）

第31讲平面向量常考知识点题型考点一：单位向量：长度为1的向量，理解记忆与同方向的单位向量为【精选例题】【例1】已知点，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A． B． C． D．【例2】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（

）A．且 B． C． D．【跟踪练习】1．已知点，则与向量方向相同的单位向量为__________.2．与反向的单位向量为__________．考点二：平面向量基本定理①零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．②、是同一平面内的一组基底，有且只有一对实数，使，则、、共面；在不同的基底下，同一向量所对应的数对不同．【精选例题】【例1】在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．注意：尝试用两种方法解决：①基底转换②建坐标系【例2】下列各组向量中，能作为基底的是（

）A．，B．，C．，D．，．【跟踪练习】1.设为所在平面内一点，，则（

）A． B．C． D．2.已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（

）A．和B．和C．和D．和考点三：向量共线定理①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使．②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）；③向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且【精选例题】【例1】设向量不平行，向量与平行，则实数=___．【例2】已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（）A．1 B． C．2 D．【例3】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（）A． B． C． D．【跟踪练习】1．（多选题）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，，则下列结论正确的是（

）A．为常数 B．的最小值为3C．的最小值为 D．的最小值为2．已知（不共线），则下列说法中正确的是（

）A．三点共线B．三点共线C．三点共线D．三点共线3．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或考点四：平面向量数量积的运算知道模和夹角：平面向量的数量积：＝坐标运算：设，则平面向量数量积：。【精选例题】【例1】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.【例2】已知向量_______．【例3】（多选题）已知为坐标原点，点，，则（

）A．B．C．D．【跟踪练习】1.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则的值为．2.已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．考点五：在三角形中一定要主要向量的夹角到底是那个角有共同起点才为夹角，不是要平移，一定要注意夹角，特别是在三角形中，比如在在△中，的夹角为角的补角【精选例题】【例1】在边长为2的正三角形中，则（

）A． B． C．1 D．2【例2】正六边形ABCDEF的边长为2，则（

）A．6 B． C． D．6考点六：向量中有关外心问题若为的外心，则【精选例题】【例1】在△中，为△的外心，则等于A． B．6 C．12 D．【例2】已知点是锐角的外心，，，，若，则（

）A．6 B．5 C．4 D．3【例3】在中，，，点满足，点为的外心，则的值为__________.【跟踪练习】1．已知O是△ABC外接圆的圆心､若，，则（

）A．10 B．20 C． D．2．已知是的外心，，，则（

）A．10 B．9 C．8 D．63．已知在中，，，，其外接圆圆心O满足，则的取值范围是_________．考点七：平面向量的夹角知识点：【精选例题】【例1】若向量，满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【例2】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.【例3】已知向量，的夹角为，则__________.【例4】已知向量满足，则 （）A．B．C．D．【跟踪练习】1．已知向量，满足，，则（

）．A． B． C． D．2．（多选题）设平面向量的长度是正整数，且，则（

）A．B．C．D．3．（多选题）已知平面向量，，，若，则（

）A．B．C．与的夹角的余弦值为D．与的夹角的余弦值为考点八：平面向量的投影及投影向量知识点：①在上的投影为②在上的投影向量为【精选例题】【例1】已知，，且，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【例2】已知点、、、，则向量在方向上的投影为A． B． C． D．【跟踪练习】1．（多选题）已知向量，，则（

）A．B．C．在上的投影向量是D．在上的投影向量是考点九：平面向量平行垂直的判定向量平行(共线)的充要条件：＝0。向量垂直的充要条件：.【精选例题】【例1】已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【例2】已知，，若，则（

）A．1 B． C． D．【例3】在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（

）A． B． C．13 D．26【跟踪练习】1.已知，，，，且，则的值为（）A． B． C． D．2．（多选题），中，，则（

）A． B． C． D．考点十：向量的夹角为锐角，钝角问题向量与向量夹角为锐角的充要条件是且向量与向量不同向共线向量与向量夹角为钝角的充要条件是且向量与向量不反向共线【精选例题】【例1】已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【例2】已知向量，，则“”是“，夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【跟踪练习】1．（多选题）已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若与的夹角为锐角，则 D．若，则在上的投影向量为2．已知，，，．(1)求与夹角的余弦值；(2)若为锐角，求t的取值范围．考点十一：平面向量的模的问题知识点：（遇到平面向量的模的问题一般通过平方来解决）【精选例题】【例1】已知向量，，若，则（

）A．2 B．1 C． D．【例2】已知，是两个非零向量，且，则下列说法正确的是（

）A．B．C．存在正实数λ，使D．与共线反向【例3】设为单位向量，且，则______________.【例4】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题：∈[0，）：∈(，]：∈[0，）：∈(，]其中真命题是（

）（A），(B)，(C)，(D)，【跟踪练习】1.已知向量，的夹角为60°，，，则=．2.设，是两个非零向量，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则3.已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||=．考点十二：平面向量判断三角形形状问题【精选例题】【例1】已知非零向量与满足，且，则为（

）A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．三边均不相等的三角形D．直角三角形【例2】在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【跟踪练习】1.在中，若，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断2.四边形中，，，则这个四边形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形考点十三：平面向量万能建系法边长为的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆【精选例题】【例1】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为A． B．1C． D．【例2】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．【跟踪练习】1.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（

）A．B．C．D．在方向上的投影向量为2.已知平行四边形满足，，，，，__________．考点十四：平面向量中的最值问题【精选例题】【例1】（多选题）已知，则下列命题正确的有（

）A．若，则B．的最大值为2C．存在，使D．的最大值为3【例2】平行四边形中，，，，点P在边上，则的取值范围是___________.【例3】如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．【例4】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A． B． C． D．【例5】已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【跟踪练习】1.已知两个向量，则当取得最小值时，___________.2.在平面四边形中，，若点为线段上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（多选题）已知扇形AOB的半径为1，，点C在弧AB上运动，，下列说法正确的有（

）A．当C位于A点时，的值最小 B．当C位于B点时，的值最大C．的取值范围为