高考数学总复习课时跟踪练（二十四）正弦定理和余弦定理文（含解析）新人教A版

课时跟踪练(二十四)A组基础巩固1．(2019·沈阳质检)已知△ABC中，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，则b等于()A．2 B．1 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(b,sin\f(π,4))，所以eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(b,\f(\r(2),2))，所以b＝eq\r(2).答案：D2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C．2 D．3解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故选D.答案：D3．(2019·石家庄检测)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：因为cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(a＋c,c)－1，所以cosB＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形．答案：B4．(2019·开封模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝eq\f(π,3)，eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝()A．2 B．3C．4 D．6解析：在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，b＝6，所以a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝36＋c2－6c，①又eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，所以eq\f(3c2,cosC)＝2ab，即cosC＝eq\f(3c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，所以a2＋36＝4c2，②由①②解得c＝4或c＝－6(不合题意，舍去)，因此c＝4.答案：C5．(2019·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝eq\f(π,6)，则AC＋eq\r(3)BC的最大值为()A.eq\r(7) B．2eq\r(7) C．3eq\r(7) D．4eq\r(7)解析：在△ABC中，AB＝2，C＝eq\f(π,6)，则eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝4，则AC＋eq\r(3)BC＝4sinB＋4eq\r(3)sinA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－A))＋4eq\r(3)sinA＝2cosA＋6eq\r(3)sinA＝4eq\r(7)sin(A＋θ)，所以AC＋eq\r(3)BC的最大值为4eq\r(7).答案：D6．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq\r(7)，b＝2，A＝60°，则sinB＝__________，c＝________．解析：(1)如图，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(b,a)·sinA＝eq\f(2,\r(7))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(21),7).(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：eq\f(\r(21),7)37．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________．解析：由cosC＝eq\f(5,13)，0<C<π，得sinC＝eq\f(12,13).由cosA＝eq\f(4,5)，0<A<π，得sinA＝eq\f(3,5).所以sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(63,65)，根据正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).答案：eq\f(21,13)8．(2019·荆州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2eq\r(2)，cosA＝eq\f(3,4)，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是________．解析：由sinB＝2sinC，cosA＝eq\f(3,4)，可得b＝2c，sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，所以由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得8＝4c2＋c2－3c2，解得c＝2(舍负)，则b＝4.所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\f(\r(7),4)＝eq\r(7).答案：eq\r(7)9．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－eq\f(1,7).(1)求∠A；(2)求AC边上的高．解：(1)在△ABC中，因为cosB＝－eq\f(1,7)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).由题设知eq\f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A<eq\f(π,2).所以∠A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(3),14)，所以AC边上的高为asinC＝7×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(3\r(3),2).10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.(1)若B＝eq\f(π,6)，求A，C；(2)若C＝eq\f(2π,3)，c＝14，求S△ABC.解：(1)由已知B＝eq\f(π,6)，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sinA－1＝0，解得sinA＝1或sinA＝－eq\f(1,2)(舍)．因为0<A<π，所以A＝eq\f(π,2)，又A＋B＋C＝π，所以C＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3).(2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196，①由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，因为a＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b，②联立①②解得b＝2eq\r(7)，a＝4eq\r(7).所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝14eq\r(3).B组素养提升11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析：因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).答案：B12．(2019·合肥质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4π B．8πC．9π D．36π解析：在△ABC中，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)可得sinC＝eq\f(1,3)，又bcosA＋acosB＝c＝2，设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2,\f(1,3))＝6，R＝3，则外接圆的面积为πR2＝9π，故选C.答案：C13．(2017·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，则C＝________．解析：因为a＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).从而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C为锐角，故C＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)14．(2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋2eq\r(3)，求△ABC的面积．解：(1)由已知及正弦定理得(sinA＋2sinC)cosB＋sinBcosA＝0，即(sinAcosB＋sinBcosA)＋2sinCcosB＝0，即sin(A＋B)＋2sinCcosB＝0，又