甘肃省临夏回族自治州临夏中学2024届高三下学期联合考试数学试题含解析

甘肃省临夏回族自治州临夏中学2024届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．2．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．3．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（）A． B． C． D．5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．6．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A． B．C． D．7．已知，且，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．8．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．9．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（）A． B．C． D．10．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明 B．小红 C．小金 D．小金或小明11．半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．12．已知函数满足=1，则等于（）A．- B． C．- D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设全集，，，则______.14．若函数，则使得不等式成立的的取值范围为_________.15．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.16．函数的定义域为，其图象如图所示．函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论：①；②函数在内有且仅有个零点；③不等式的解集为．其中，正确结论的序号是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.18．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.19．（12分）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意都有，求实数的取值范围．20．（12分）设为实数,已知函数,．（1）当时,求函数的单调区间：（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．21．（12分）在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.22．（10分）已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）求函数的零点个数．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.2、B【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。【详解】，故奇函数，四个图像均符合。当时，，，排除C、D当时，，，排除A。故选B。【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。3、A【解析】试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.4、D【解析】由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.5、B【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6、A【解析】

根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因为函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.7、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．【详解】由可得，因为，所以．故在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．8、B【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为，故原几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.9、A【解析】

画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积；【详解】如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.法一：四边形的外接圆直径，，；法二：，，；法三：作出的外接圆直径，则，，，，，，，，，.故选：A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.10、B【解析】

将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：123456鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.11、D【解析】

根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，该几何体的体积为，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.12、C【解析】

设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.【详解】解：设的最小正周期为，因为，所以，所以，所以，又，所以当时，，，因为，整理得，因为，，，则所以.故选：C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．【详解】解：，或；∴；∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．14、【解析】

分，两种情况代入讨论即可求解.【详解】，当时，，符合；当时，，不满足.故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的计算，考查了分类讨论的思想.15、3000【解析】

根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，则，该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为：.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.16、①③【解析】

利用奇函数和，得出函数的周期为，由图可直接判断①；利用赋值法求得，结合，进而可判断函数在内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数是奇函数，所以，又，所以，即，所以，函数的周期为.对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；对于②，，令，可得，得，所以，函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，，在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由可得，，令，则，令，可得，当时，，所以在上单调递减，且当时，单调递增；当时，单调递减；所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，要使在有两个根，则，所以的取值范围为；（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：即：，只需证：设，即证：要证，只需证：令，则在上为增函数，即成立；要证，只需证明：令，则在上为减函数，，即成立成立，所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;18、（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】

（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，，，，，，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，，即成立，即成立..【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.19、（1）（2）【解析】

利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，对恒成立，则，由三角不等式，得求解【详解】解：当时，不等式即为，可得或或，解得或或，则原不等式的解集为若对任意、都有，即为，由，当取得等号，则，由，可得，则的取值范围是【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题.（1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.20、（1）函数单调减区间为;单调增区间为．（2）（3）【解析】

（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;（2）分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围【详解】解：（1）当时,因为,当时,;当时,．所以函数单调减区间为;单调增区间为．（2）由,得,由于,所以对任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以对任意的恒成立,设,,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;②若时,令,得．由第（2）小题,知：当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为．所以,存在,使得,即,①且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减．因为函数有两个零点,,所以．②设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,即．当时,（ⅰ