2023年湖南省岳阳市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年湖南省岳阳市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

L一切被3整除的两位数之和为（）

A.4892B,1665C.5050D,1668

2.已知一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么这个等

差数列的公差为（）

A.A.3B.1C.-lD.-3

已知a=（3,6）,b=（-4,幻，且。J.九则了的值是（）

（A）l（B）-1

（C）2（D）-2

3.

4.正三棱柱的每条棱长都是a,则经过底面一边和相对顶点的截面面积

是（）

A.A.Sa2/8

BJ7a2/4

C.«7a2/2

DJ7a2

5.某学校为新生开设了4门选修课程，规定每位新生至少要选其中3

门，则一位新生不同的选课方案共()。

A.7种B.4种C.5种D.6种

6.曲线2在点a,J)处的切线方程为()。

A.z—y-2=0B.x—3*=0

C.x+>=0D.z+y—2=°

7.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则点P坐标是

()

A.A.(9,6)B.(9,±6)C,(6,9)D.(±6,9)

产—2pt~

8.关于参数tb=2"的方程的图形是

A.圆B.双曲线C.抛物线D椭圆

9.—个圆上有5个不同的点，以这5个点中任意3个为顶点的三角形共

有()。

A.60个B.15个C.5个D.10个

10.

已知椭圆W+E=】和双曲线石一白=】有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为

A.x/4

BL月x/4

C.，3X/2

D.y=±.''x/4

设甲:X=半，

乙：sinx=19

则)

(A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

(B)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

(C)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

U(D)甲是乙的充分必要条件

过函数y=■图像上一点尸作x轴的垂线PQ,Q为垂足。为坐标原点，则△OPQ

的面积为()

(A)l(B)2

12.(C)3(D)6

]35.(\stnaf(O<a<J),SOina=)

甚

A.A.

■J2-v'()

B.

C.

­/I-»y<>

D.

14.设f(x)是以7为周期的偶函数，且f(-2)=5,则f(9)=()

A.-5B.5C.-10D.10

15.若1名女生和3名男生随机地站成一列，则从前面数第2名是女生

的概率为()。

16.由平面直角坐标系中Y轴上所有点所组成的集合是()

A.A.{(x,y))B.((x,0))C.((0,y))D.{(x,y)|xy=0)

(x-2y)'的展开式中，x5/的系数为

(B)-10(C)10(D)40

18.已知向量a=(l,2),b=(—2,3),则(a—b>(a+b)等于()

A.A.-16B.-8C.16D.8

已知两直线和4：了-4"+员，则舐=心的

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

20.已知函数八"=以2+"的图像经过点(1,2),且其反函数的图像

经过点(3,0),则函数f(x)的解析式是

A./(x)=-yX2+yB./(x)=—X2+3

乙乙

C./(x)=3/+2D./(x)=X24-3

已知sina="I■，号<a<宣),那么tana=()

(A)|(B)-|

4

2]©-J(D)0

22.不等式|3x-l|<l的解集为()

A.A.RB.{x|x<0或x>2/3)C.{x|x>2/3}D.{x|0<x<2/3)

3

cost=—

23.已知'且x为第一象限角，则sin2x=()

4

A5

24

B.25

18

C.25

12

D.25

24.从红、黄、蓝、黑4个球中任取3个，则这3个球中有黑球的不同取

法共有0

A.3种B.4种C.2种D.6种

。〈巴如播+U=I的焦点在y轴上.则m的取值范用是（）

A.A.m<2或m>3

B.2<m<3

C.m>3

D.>」或；'<",<2

26方程/+亡+2=0的两根为力和工2,若±+±=5,则m=

A.-10B.10C.-5D.5

27.若A(4,a)到直线4x-3y=l的距离不大于3,则a的取值范围是

()

A.(0,10)B.[1/3,31/3]C.[0,10]D.(-oo,0)U[l/3,10]

fo.yl

28.下列函数中，在L2)为减函数的是()

A.y=ln(3x+1)B,y=x+1C,y=5sinxD,y=4-2x

29.已知圆的方程为x?+y2—2x+4y+l=0,则圆上一点到直线3x+4y

—10=0的最大距离为()

A.A.6B,5C.4D.3

y=xe*,则y，=

(A)xe*(B)*e*+x

30.(C)xe"+e"(D)e*+x

二、填空题(20题)

31.

(19)巳知球的半径为I.它的一个小圜的面枳是这个球衣面根的],则球心到这个小圜所在

O

的平面的距离是_________.

32.平移坐标轴，把原点移到0,(-3,2)则曲线1+6工一3+11=0，,

在新坐标系中的方程为

设曲线y=3'在点"，＜»)处的切城与直线2M-y-6=0平行,则a=

33..

34.不等式(2x+1)/(1-2x)的解集为.

35.已知5兀＜(1＜11/2加，且|cosa|=m,贝I]cos(a/2)的值等于.

36.抛物线y2=6x上一点A到焦点的距离为3,则点A的坐标为______•

37.

4BC中，若coxABC=1.则AB

38.

从生产一批袋装牛肉松中随机抽取10袋测得重量如下，(单位：克)

76908486818786828583则样本方差等于

39.f(u)=u-l,u=(p(x)=lgx,贝！Jf(p(10))=()

40.向量a=(4,3)与b=(x,-12)互相垂直，则x=.

41.设离散型随机变量g的分布列如下表，那么《的期望等于,

42.设万+成等比数列，用a»

直线3*+4y-12=°与N轴、)轴分别交于4,8两点,0为坐标原点,则AOAB的

43.周长为-

44椭圆7"”的离心率为。

某射手有3发子弹，射击一次，命中率是。-8,如果命中就停止射击，否则一直射到

45子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是-------

46.设离散型随机变量自的分布列如下表所示，那么己的期望等于

£1009080

P0.20.50.3

47.从新一届的中国女子排球队中随机选出5名队员，其身高分别为（单

位：cm）

196,189,193,190,183,175,

则身高的样本方差为cm?（精确至iJO.lcm?）.

48.已知向・。,瓦若Ibl=3.0•b=36,则

49Jg(tan43°tan45°tan47°)=

50.设某射击手在一次射击中得分的分布列表如下，那么自的期望值等

123

P

于0.40.10.S

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

52.（本小题满分12分）

在AABC中,A8=8%.8=45°.C=60。,求AC.8C.

53.

（本小题满分13分）

巳知函数人工）=“2&

（I）求函数y=/（*）的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数；

（2）求函数y=RG在区间［0,4］上的最大值和最小值.

（25）（本小题满分13分）

已知抛物线$=/叫0为坐标原点/为抛物线的焦点・

（I）求10砌的值；

（n）求抛物线上点P的坐标,使的面积为差

54.

55.

（本小题满分12分）

已知函数/（X）=1-3/+m在［-2,2］上有最大值5,试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

56.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=X2+2x-1,求另一个函数的表达式

57.

（本小题满分13分）

已知08的方程为一+『+ax+2y+1=0'一定点为4（1.2）.要使其过急点4（1.2）

作08的切线有两条.求a的取值范围.

58.（本小题满分12分）

设数列la.满足5=2.az=3a.-2（"为正嚏数）•

a__i_1

⑴求-----r;

a,-1

（2）求数列：册|的通项•

59.

（本小题满分12分）

已知等比数列｛an｝的各项都是正数，al=2,前3项和为14.

（1）求｛an｝的通项公式；

(2)设bn=log2an,求数列｛bn｝的前20项的和.

60.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

四、解答题(10题)

61.

(本小题满分12分)

在AABC中，A=30°,AB=2,BC=。求:

(l)sinC;

(2)AC

62.

已知圆的方程为J+y+3+2y+/=0,一定点为4(1,2),要使其过定点4(1,2)

作圆的切线有两条，求a的取值范围.

63.

64.

已知椭KI的两焦点分别为F,(-6,036(6.0),其离心率e=,.求:

(I)桶阀的标准方程；

(II)若F是该椭圆上的一点.且/F7F『手•求APK居的面机

(注:S=:|PFJ•|PF：|sinZ^PF:,S^APF,F,的面积)

65.已知等差数列前n项和S〃=2/—〃，

I.求这个数列的通项公式

II.求数列第六项到第十项的和。

66.

已知函数人工)=685%-sinr8sx.求：

(|)/(公的殿小正周期;

(口)/口)的般大值和最小值.

67.

已知等差数列中，。1=9.由+a*0.

(I)求数列储・)的通项公式；

(II)当”为何值时，数列＜/)的前n项和S.取得最大值，并求出该最大值.

68.建一个容积为5400m3,深6m的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价

为15元，池底每平方米的造价为30元.

(I)写出总造价y(元)为水池的长x(m)的函数解析式；

(II)问蓄水池的长与宽分别为多少时总造价最低.

已知等基数列I41中,5=9,a.+a,=0.

（1）求数列I。」的通项公式；

69（2）当n为何值时，数列|Q1的前n项和S.取得最大值，并求该最大值.

70.

已知AABC中，A=30°,AC=BC=1.求

(I)AB；

(II)AABC的面积.

五、单选题（2题）

71.若a=2009。，则下列命题正确的是（）

A.cosa>0,tana>0

B.cosa>0,tana<0

C.cosa<0,tana>0

D.cosa<0,tana<0

72.i为虚数单位.《!i••i1•i4•i4的值为()

A.A.lB.-1C.iD.-i

六、单选题（1题）

73.过点P(l,2)与圆x2+y2=5相切的直线方程为()

A.A,x+2y+5=0B.2x+y-5=0C.2x-Y=0D,x+2y-5=0

参考答案

1.B被3整除的两位数有：12,15,18,...,99.等差数列d=3,n=99/3-

9/3=33-9/3=30,S=((12+99)x30)/2

2.A

3.C

4.B

因为阡了=s/2a•

5.C

该小题主要考查的知识点为组合数.【考试指导】由题意知，新生可选

3门或4门选修课程，则不同的选法共有：

C+1=4+1=5(种).

6.C

该小题主要考查的知识点为曲线的切线方程.【考试指导】

y=ir2-4,当工=1时y=3—4二-1.

故曲线在点(1,-1)处的切或方程为=-l(jr-l),

即I+y=0.

7.B

抛物线y4H的焦点为FC.0).设点P坐标是Gr,y).则有

廿=4工.

解方程组.得1=9.y-士6.即点尸坐标是(9,士6).(答案为B)

8.C

工=2”①

y=2pt②

吃==2"

由参数方程知为抛物线，可用消参法去参数t。V2。■为顶

在原点的抛物线。

9.D

该小题主要考查的知识点为数列组合.

Cl=5XJ2L3=10

【考试指导】3X2

10.D

D【解析】根据18意.对于椭圆昌+9=1有

a23m:.*=5月"•则J■■a1-5n'i对

于双曲线后一式=1有a1=2ms—Bn1.则

/0•a'+y-2m'+3nl.故3E‘一5n*=2m'+3”‘，

即H=8r.又双曲统的渐近线方程为＞=士热,故所求方程为y-士号工

11.B

12.C

13.C

14.B

因为f(x)是偶函数，所以f(2)=f(-2)=5,又因为f(x)是以7为周期的函

数，则f(9)=f(7+2)=f(2)=5.

15.A

该小题主要考查的知识点为随机事件的概率.【考试指导】设A表示

11

第2名是女生，P(A尸「1,

16.C

由平面直角坐标系中y轴上所有点所组成的集合是{(0,y)}.(答案为

C)

17.D

18.B

(a-b)-(a+b)=(3,-l)-(-l,+5)=3x(—1)+(—l)x5=8.(答案为B)

19.B

B山M的得A4A或与，也合，

而由//hZ'I=k：.

【分析】充要条伟丈历年什试的必考地.理解概

念,分寸题中的两个命题,用学过的知识可存到正

哨答案.

20.B

义工)过(1.2),其反函数广'(工)过

(3.0).则/(幻又过点(0・3).

(a+b=2

所以有/(1)=2./(0)=3.<

laXQ+b=3

-1

=><♦

,6=3

.,./(X)=­x!+3.

21.B

22.D

23.B

由于x为第-象限角，故因此

〜314=24

2冥一X™--^―

sin2x=2sinxcosx=511?.

24.A3个球中有黑球的取法有CJC2=3种.

25.D

26.A

（由达定理）知・n+4，_m.工5・2.所以

由一元二次方程根与系数的关系押得本题

主要考查一元二次方程根与系数的关系及考生的运算能力.

27.C

将4x-3y=l写成4x-3y-l=0则

,14X4~3,a-11/cJ16—3a—11

d=-----,£3=>--------z---------W3

/42+(-3)25

|15-3a|<15=>0<a<10.

28.D

A、B选项在其定义域上为增函数，选项C在上为增函数，只有

D选项在实数域上为减函数.

29.B

M-0.即（上-1»+（汁2尸=21的耳心为《】.一2）・耶径尸=2,

圆心（I.-2）到直线3kHy10=0的距离是।3X1十第三）:1吐=3.

/38+4*

则酬上•点到直线3J■卜4v70-0的距离的最大值是3+2=5.（暮索为B）

30.C

31.(，9)f

32.答案:x"=y解析:

x=x-hxz=x+3

即I•

=ly=y_2

将此强〉+6工一>+11=0配方.使之只含有

(1+3)、(,一2)、常数三41.

即工，+61+9-(1y—2)—9—2+11=0.

(x+3)1=(>-2).

即工"=》'.

33.

»•新：曲端力・察》的切霞的■率力,'I•&>24*2^4all

34.{x|-l/2<x<1/2}

2£±1>0=>/2^1>00<(2jrtl<0②

i-2x|l-2x>0U-2x<03

①的“集为一JvzvW••②的“集为0.

<x|一■U0a<x|―

35.

；5“Vav¥“（ae第三象限角），.噂〈号V%（号W第二象限角）,

故cos丁V。，又二•Icosa|=m,・=cosa=-m,则cos~

364*)

37.

△ABC中,0<A<180\sinA>0.sinA-/F7记s仄=J-(1噌,

1

由小正7T弦定r理mS可TA知rtAABTi=0』csm-c-_--I-X菰SH亍I1一50=逅2=勺.(/答岫虫案为M勺10)x

10

38.

39.

*.*9>(x)=lgx.

^p(10)—Ig10=1»

二/[伊(10)]=610)—1=1-1=0.

40.

41.5.48E(£)=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04=5.48.

42.

43.12

44.

亘

由题可知，a=2,b=l,故，=w；'-bJ•后，离心率“，’T.

45.1216

46.

答案：89解析：E(自)=100*0.2+90*0.5+80*0.3=89

47.

/=47'9(使用科挈计算).(苏素为47.9)

48.

由于8SV“A=谭%^盥二名.所以<力)=青(谷案为十

49.1g(tan43°tan450tan470)=lg(tan430tan450cot430)=lgtan45°=lgl=0

50.

51.

利润=精售总价-进货总价

设每件提价工元(*\0).利润为y元，则每天售出(100-10彳)件,销售总价

为(10+工)•(IOO-IOH)元

进货总价为8(100-10*)元(0<x<10)

依题意有:丁=(10+x)•(IOO-IOX)-8(100-10*)

=(2+x)(100-l0x)

=-!0x2+80x+200

八-20x+80,令y'=0得x=4

所以当x=4即售出价定为14元一件时,赚得利润最大，最大利润为360元

52.

由已知可得A=75。.

又疝175°=sin(45°+30°)=sin450cos300+«»45o8in30o=度/2.......4分

在△〃?(：中，由正弦定理得

*_____……8分

sin45--»in75--sin600'

所以AC=16,BC=8万+8.……12分

53.

(!)/(«)=1-?令/⑺=0,解得>1.当#€(0.1),八%)<0；

当MW(1.+8)J*(«)>0.

故函数人工)在(0.1)是减函数，在(1.+8)是增函数―

(2)当X=l时4幻取得极小值•

又，0)=0,式1)=-1,{4)=0.

故函数/Tx)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-L

(25)解：(I)由已知得

O

所以IOFI="

O

(口)设P点的横坐标为明("0)

则P点的纵坐标为4或-

△O”的面积为

11/T1

2-X8-X7T=T，

解得工=32,

54.故P点坐标为(32,4)或(32,-4).

55.

f(x)=3x2-6x=3x(x-2)

令/⑸=0.糊驻点阳=0,叼=2

当xvO时/(x)>0;

当。一<2时/(工)<0

.•.x=0是的极大值点,极大值〃0)="•

=E也是最大值

/.m=5.又/(-2)=m-20

{2)=m-4

:爪-2)=-15JX2)=1

:.南败人外在［-2,2］上的最小值为〃-2)=-15.

56.

由已知，可设所求函数的表达式为y=(x-m)'+n.

fl5y=x2+2x-l可化为y=(x+l)'-2.

又如它们图像的顶点关于宜线*=1对称.

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=(一3)'-2,即y=/-6x+7.

57.

方程/+y1+3+2y+『=0表示［«)的充要条件是:1+4-4a1>0.

即,.所以-与7T<aV/万

4(1.2)在88外,应满足：1+2’+a+4+J>0

ED«?4。+9>0,所以aeR.

综上,。的取值范圉是(-毕，举).

58.解

⑴j=3“-2

0••1-1=3aa-3=3(aa-1)

(2)|a.-l|的公比为g=3,为等比数列

Aa.-I=(a,-1)9-'=9-'=3-*

a.=3"'+1

59.

(I)设等比数列Ia.|的公比为g,则2+2q+2/=14,

即/+q-6=0.

所以g】=2,=-3(舍去).

通项公式为aa=2\

a

(2也=1脸a*=Iog：2=nt

设%=4+&+…♦匕

=I+2♦•••4-20

=--x20x(20+l)=210.

60.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为丫元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500—10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润丫取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

61.

,1、••sinCsinA

⑴•AF'BC9

：•sin。皿.AB

BC

3,

（2）由脍意如，CV90*,

故cosC=/I—sin2c

3，

sinB=sin（_180°-（A+C）1

=sin（A+C）

gsinAcosC+cosAsinC

-3+6

6，

•汨欣=W+伍.

解方程X2+/+ax+2y+a2=0表示圆的充要条件是+4-4a2>0.

即1"，所以-"^■抬"<a<生3"

4(1,2)在圆外，应满足：1+22+Q+4♦<?>()

即1+。+9>0,所以aER.

综上,a的取值范围是(-孥,宇).

62.

63.

(1)证明：连结AC,因为四边形ABCD为正方形，所以

DDLAC.

义由巳知PA•!.底而ABCQ福班)J.PA,所以RDJ.平面

PAC,DD1PC.

因为平所用l《W〃J3O.MW与BD共而，所以助〃MV.

MNJC.…5分

(II)因为AWLH；,又巳知AQJ_FC,MW与AQ和交.

所以尸C人平面AMQN.因此PQ1.QM,"MQ为所求的角.

因为打工平而ASCDjUJLBC,

所以PBifiC.

因为AB=BC=a,AC^PA=-fZ<t,

所以PC=2“，'

所以ZPCS^60°.

因为HtAFECsRtAPQM.

所以乙PMQ=4PC杆=6D0.

所以PB与平面4A1QN所成的#1为6。。.

64.

C1)用于确㈣的两焦点分别为FJ—6.(八.储(6.0)•则有，=6・

又我肉心率L*一g•所以a-1U・〃(410f6--8«

u,

所求椭阕的标准方程为磊+(T

(n)设IPF：卜上/PEl=y,由楠网定义有Ny=2a20.0

在八PF、F：中,由余弦定理行尸,,2.305f11=144.②

由①'一②,得30=256.母=攀.所以忆F：的面根为

■3

S=}x3rsin与=学/5・

65.

(I)当心2时,乙=5"—5]

=(2,/一〃)一[2(〃-I——(〃-1)[

=2/-〃-2//十4曾一2十〃一l=4w—3522)

当〃=1时.々[=S]=4X]-3=1・

••an=4〃-3.

22

(H)Sl0-S5