2024年中考数学二模试卷（泰州卷）（全解全析）

年中考第二次模拟考试（泰州卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列算式，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、与不是同类项，不能运算，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，本选项正确，符合题意．故选：D．2．中国旅游研究院近期发布《中国旅游经济蓝皮书（）》，预计年国内旅游人数约为亿人次，同比增长，其中“亿”用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：亿．故选：A．3．若直角三角形的两直角边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边上的高为（

）A．5 B．4 C． D．2【答案】C【解析】∵，∴，，∴，，∴∴，由勾股定理得：斜边，设该直角三角形的斜边上的高为h，∴解得．故选：C．4．物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为，，，小木块在斜坡上，且，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，，，，．故选：B．5．下列说法中，正确的个数有（

）个（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）同一平面内，两直线的位置关系是相交、平行和垂直（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，原说法正确；（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；（3）同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行，原说法错误；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确；（5）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误；∴说法正确的有3个，故选：B．6．如图1，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接、，设为，为，且关于的函数图象如图2所示，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由图知，当时，，即当在点时，点为的中点，，，当在上运动时，慢慢增大，到点时，从图中的拐点可知，此时，，当在上运动时，先减小再增大，直到到达点时，此时最长，，故选：B．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）7．若代数式有意义，则实数的取值范围是．【答案】【解析】解：由题意得，．故答案为：．8．因式分解：．【答案】【解析】解：．9．若点在函数的图象上，且，则（填“”或“”）．【答案】【解析】解：∵反比例函数中的，∴该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵，∴．故答案为：．10．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是°．【答案】140【解析】，，，，故答案为：．11．已知实数a，b是方程的两根，则的值为．【答案】【解析】解：∵实数a，b是方程的两根，∴，，∴，故答案为：．12．已知三角形的三边长分别为5，8，，则x的取值范围是．【答案】【解析】解：∵三角形的三边长分别为5，8，，根据三角形的三边关系可得：，解得，故答案为：．13．二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为．【答案】1或3【解析】解：由二次函数图象可得，抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，当时，关于x的方程的两个解为：，．∴方程的解为，；故答案为：1或3．14．如图，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，若点C，恰好在同一直线上，且，则的长为．【答案】/【解析】解：设，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，，，，，，，共线，∵，，，即，解得或（舍去），经检验，是方程的解，也符合题意，的长为；故答案为：．15．如图，把矩形沿折叠，的对应点为，点A在线段上，若，则．【答案】/【解析】解：如图，设交于点，，，，四边形为矩形，，，，由折叠可知，，，，，在中，，，，，，，，即，，，，，，，，即，，，．故答案为：．16．如图，已知中，，，．点M是线段上一动点，过点M作交于点N，当点M从点A运动到点C的过程中，点N经过的路径长是．

【答案】/【解析】解：如图所示，过点A作分别交于H、E，∵，∴，设，由勾股定理得，∴，解得（负值舍去），∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴；取的中点O，连接，∵，∴点M在以点O为圆心，为圆心的圆上运动，当最大时，最小，即此时最小，又∵当圆O与相切时才有最小，∵当圆O与相切时，最大，∴此时，同理可设，∴，∵，∴，∴，当点M在点A时，点N在点E，当点M从点A运动到圆O与相切时，点N从点E运动到最大时的位置，M继续运动到点B时，点N从最大时的位置运动到点C的位置，∴整个过程中点N的运动路径长为，故答案为：．

三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（12分）17．（1）计算：．（2）化简：．【解析】解：（1）原式；（2）原式．（8分）18．某电商根据市场需求购进一批两种型号的电脑小音箱进行销售，每台型音箱的进价比A型音箱的进价多元，用元购进A型音箱与用元购进B型音箱的台数相同．(1)求A，两种型号的电脑小音箱每台的进价：(2)该电商计别购进A，B两种型号的电脑小音箱共台进行销售，其中A型音箱台数不少于B型音箱台数的倍，A型音箱每台售价为元，B型音箱每台售价为元，怎样安排进货才能使售完这台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）解：设每台A型音箱的进价为元，每台型音箱的进价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：每台A型音箱的进价为元，则每台型音箱的进价为元；（2）解：设所获利润是元，购进台A型音箱，则购进台型音箱，根据题意得：，型音箱台数不少于型音箱台数的倍，，解得，，随的增大而减小，当时，w取最大值，最大值为．答：购进台A型音箱，购进台型音箱所获利润最大，最大利润是元．（8分）19．某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有15个部门，且各部门的人数相同．为了解午餐的浪费情况，公司从这15个部门中随机抽取了，两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．部门每日餐余重量的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）；b．部门每日餐余重量在这一组的是：；c．部门每日餐余重量如下：第1周1.42.86.97.81.9第2周6.92.67.56.99.5第3周9.73.14.66.910.8第4周7.88.48.39.48.8d．，两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数众数6.47.06.67.2根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中，的值，______，______；(2)根据以上数据，在，这两个部门中，你认为“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是哪个？请说明理由．(3)结合，这两个部门20个工作日每日餐余重量的数据，估计这两个部门在一年（按240个工作日计算）中餐余重量不低于8千克的总天数．【解析】（1）根据题意，中位数落在，前面数据为8个，中位数是第10个，11个数据的平均数，中位数（千克），千克出现了4次，出现的次数最多，众数（千克），故答案为：．（2）在A，B这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是A，理由是A部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B部门每日餐余重量的平均数和中位数；故选择A．（3）根据题意，得A部门餐余重量不低于8千克的总天数为6天．B部门餐余重量不低于8千克的总天数为7天．根据题意，得（天）．（8分）20．某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D四类，其中A类表示“经常整理”；B类表示“有时整理”；C类表示“很少整理”；D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如下所示不完整的扇形统计图和条形统计图：请你根据上图提供的信息解答下列问题：(1)扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为_______°；(2)请补全条形统计图；(3)类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．【解析】（1）解：参加这次调查的学生总人数为（人，类别的学生人数为（人，类别所对应扇形的圆心角度数为：．故答案为：54；（2）解：补全统计图如下：；（3）解：根据题意列表得：男1男2男3女男1男2男1男3男1女男1男2男1男2男3男2女男2男3男1男3男2男3女男3女男1女男2女男3女由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中都是男生的有6种可能．所以所选取的2名学生恰好都是男生的概率为．（10分）21．如图，在中，，用剪刀沿其边上的中线将剪成两部分，将沿进行折叠，得到，连接交于F点．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求的长．【解析】（1）证明：四边形为菱形；理由如下：∵为的中线，∴，由折叠可知：∴∴四边形为菱形；（2）解：∵四边形为菱形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（10分）22．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题．(1)求关于的函数解析式．(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．【解析】（1）解：根据题意，设，把，代入，得，关于的函数解析式为．（2）解：把代入，得，小孔到蜡烛的距离为．（10分）23．如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，．(1)若为的直径，求证：是的切线；(2)若，，，求的长．【解析】（1）证明：如图，连接，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）如图，过点B作，垂足为F，∴，∵，∴，∴，设，∵，∴，在中，，∴，化为整式方程得，解得，经检验：是原方程的根，∴，，∴，在中，，∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴的长为．（10分）24．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5米．参考数据：(1)真空管上端到水平线的距离．(2)求安装热水器的铁架水平横管的长度．【解析】（1）解：过作于．在中，，则（米）．答：真空管上端到的距离约为1.8米；（2）解：在中，，则（米），，，，四边形是矩形．，，米，米，在中，，则（米），（米），答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为0.9米．（12分）25．【问题思考】如图1，等腰直角，，点O为斜边中点，点D是边上一点（不与B重合），将射线绕点O逆时针旋转交于点E．学习小组发现，不论点D在边上如何运动，始终成立．请你证明这个结论；

【问题迁移】如图2，，，，点O为斜边中点，点E是延长线上一点，将线段绕点O逆时针旋转得到，点D恰好落的延长线上，求的值；【问题拓展】如图3，等腰中，，，点D是边上一点，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在点E处，连接，，取的中点M，连接，若时，求的长．【解析】（1）证明：连接，

是等腰直角三角形，，，点O为斜边中点，，，，，，，，；（2）解：连接，，

点O是斜边的中点，，，，，，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，，，，，，，，，，；（3）解：取的中点F，连接，，

，，，，，是的中点，F是的中点，是的中位线，，，，，，，，，，，，，．（14分）26．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．(1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：(2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；(3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．【解析】（1）解：当时，则：，∵