离散型随机变量及其分布

一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布三、小结第二节离散型随机变量

1.定义1

全部可能取值为有限个或无限可列个的随机变量称为离散型随机变量.描述一个离散型随机变量X必须且只需知道:

X的所有可能取的值,X取每个可能值的概率.2.概率分布(分布律)设离散型随机变量X所有可能取值为,且X取各个可能值的概率为一、离散型随机变量的分布律上式称为离散型随机变量X的概率分布(分布律或分布列).3.离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法X(3)矩阵:(4)图形:在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相应概率值的线段。

4.分布律的性质:①②[非负性][规范性]③[分布函数与分布律关系]①②是非负数列为离散随机变量分布律的充要条件可见,离散型随机变量的分布律与分布函数均能完整地描述离散型随机变量的统计规律性.分布律的形象化解释

设想有一单位质量的物质(如一克面粉),被分配在随机变量X的所有可能取值处,其各点物质的分配量依次相应为个单位,这就是一个概率分布.如何计算离散随机变量落在一个区间内的概率？5.分布律的求法:◆利用古典概率、条件概率等计算方法及运算性质求事件{X=xk}概率;◆利用已知的重要分布的分布律;◆利用分布函数.分布律的应用:

◆确定分布列中的待定参数;◆求分布函数；

◆求随机事件的概率.解:依据分布律的性质P(X=k)≥0,

a≥0,从中解得即

【例1】设随机变量X的分布律为：k=0,1,2,…,试确定常数a.典型例题◆由分布律求分布函数时：用X可能取的值

分(-∞，+∞）为k+1个区间分别就x落在上述各区间内计算{X≤x}的值概率[累积和]即求出F(x)的值；注意几点：◆离散型随机变量X落在区间I内的概率可以利用分布列或分布函数计算，即含于I内点的概率之和或分布函数在I上的增量，必要时加减端点概率值。◆离散型随机变量X的分布函数是一个右连续的阶梯函数，其定义域是(-∞,+∞),值域是[0,1]。

【例2】设随机变量X的分布律为

【解】由概率可加性与分布函数定义可得分布函数求X的分布函数和概率P{X≤0.5},P{1.5<X≤2.5},P{2≤X≤3}.典型例题解则有

【例3】典型例题

练习：一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球的最大号码,写出随机变量X的分布律和分布函数。

【解】由于X表示取出的3只球的最大号码,故X的所有可能取值为3,4,5。[必取3号球,只能再取1,2号球][必取4号球,再从1,2,3号球中取2只][必取5号球,再从1,2,3,4号球中取2只]由古典概率可得：Xpk3450.10.30.6即所求分布律为:

由分布函数概念可知：分布函数是累积和。因此，对离散型随机变量由分布列求分布函数时需分段考虑，X的所有可能取值就是分界点，即应该就x分别位于区间（-∞，3），[3，4），[4，5），[5，+∞）来分别计算事件{X≤x}的概率。

①

当

时,

②

当

时,

③

当

时,基本事件互斥

④

当

时,

分布函数的图形为:右连续的阶梯函数故X的分布函数为（一）（0-1）两点分布如果

的分布律为则称服从两点分布,其中为常数几种重要的离散型随机变量

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明(0-1)分布的实际背景

200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.例（一）（0-1）两点分布实例“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0—1)分布.其分布律为（一）（0-1）两点分布（二）伯努利试验与二项分布伯努利试验：只产生两个结果的试验伯努利试验产生什么样的随机变量？重伯努利试验：n将伯努利试验独立重复进行

次的试验例某战士用步枪对目标进行射击，记击中目标没击中目标每射击一次就是一个伯努利试验,如果对目标进行

次射击,则是一个

重伯努利试验.例从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记合格不合格每检验一个产品就是一个伯努利试验.

独立地抽件产品进行检验,是否是重伯努利试验？要求概率保持不变如果产品批量很大,可近似看作重伯努利试验问问在伯努利试验中，令“独立”是指各次试验的结果互不影响注“重复”是指在每次试验中概率保持不变k=0，1，…，n易知①

的分布律刚好是牛顿二项展开式的通项在上一章介绍的n重伯努利试验中我们已经知道，在n次试验中事件A发生k次的概率为（二）二项分布定义若的分布律为则称

服从参数为

的二项分布,记为特别当时就是(0-1)两点分布，即二项分布两点分布（二）二项分布二项分布的图形（二）二项分布

因为元件的数量很大，所以取20只元件可看作是有放回抽样一大批电子元件有10%已损坏,若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概率是多少？实际背景：二项分布产生于n重伯努利试验解例,记

表示20只元件中好品的数量，则线路正常例设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X

1}=5/9，试求P{Y

1}．解由P{X

1}=5/9，知P{X=0}=4/9，所以(1–p)2=4/9由此得p=1/3．再由Y～B(3，p)，可得P{Y

1}=1–P{Y=0}=19/27．（二）二项分布练习：一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻

(1)恰有2个设备被使用的概率是多少?(2)至少有3个设备被使用的概率是多少?(3)至多有3个设备被使用的概率是多少?(4)至少有一个设备被使用的概率是多少?

【解】设X表示“5个设备中同时被使用的个数”,则有r.v.X~B(5,0.1).于是，

(1).恰有2个设备被使用的概率为

(2).至少有三个设备被使用的概率为

=0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.

(3).

至多有三个设备被使用的概率为

(4).

至少有一个设备被使用的概率为

=1-0.59049=0.40951.

■

关于二项分布的近似计算,当n≥20,p≤0.05[特别,n≥100,λ=np

≤10]时,如下例题:有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?

设1000辆车通过,出事故的次数为X,则解例故所求概率为二项分布

泊松分布定义设的取值为取值概率为其中为参数，则称

服从参数为的,记为泊松分布或泊松分布的性质:（三）泊松分布泊松分布的图形（三）泊松分布泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.在二项分布B(n，p)的概率计算中，往往计算量很大，利用下面的泊松定理近似计算，可以大大减少计算量．下面不加证明地给出泊松定理．Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小,而适中,则可以用近似公式（泊松定理）设

>0是一个常数，n是任意正整数，设np

=

（p与n有关），则对于任一非负整数k，有（三）泊松分布单击图形播放/暂停ESC键退出二项分布

泊松分布（三）泊松分布已知某种疾病的发病率为0.001，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率为多少？例解设该单位患有这种疾病的人数为X，则有X～B(5000，0.001)，则所求概率为取

=np=5，用泊松分布近似计算并查附表得（三）泊松分布例解以X表示铸件的砂眼数，由题意知X～P(0.5)，则该种铸件上至多有1个砂眼的概率为至少有2个砂眼的概率为P{X

2}=1–P{X

1}=0.09某种铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的泊松分布,试求该铸件至多有一个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率。（三）泊松分布离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布二项分布泊松分布两点分布小结

【练习】设某地区每年发表有关“利用圆规与直尺三等分一个角”的文章的篇数X服从参数为6的泊松分布,求明年没有此类文章的概率.

【解】因为r.v.X~P(6),所以其分布律为：

从而，所求概率为：■为了保证设备