第17讲-复数的三角形式(讲义)解析版

第17讲复数的三角形式知识梳理1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，根据任意角余弦、正弦的定义可知cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，从而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz2．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].例题解析1.代数形式化为三角形式例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【分析】（1）先根据模公式求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出，最后写成三角形式.（2）先根据模公式求出模来，再根据其对应的点是在第四象限，求出，最后写成三角形式.【详解】（1）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.（2）.因为与对应的点在第四象限，所以，所以.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;【详解】解:因为，所以故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题．2．（2020·全国高一课时练习）复数的三角形式是A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复数的三角形公式求解或利用定义直接求解即可.【详解】解法一：设复数的三角形式为,则,,可取,从而复数的三角形式为.解法二：故选：A【点睛】本题主要考查了复数的三角形式,属于基础题.3．（2020·全国高一课时练习）复数（i为虚数单位）的三角形式为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】复数的三角形式是，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合答案选择．【详解】解：依题意得，复数对应的点在第四象限，且，因此，，结合选项知D正确，故选：D.【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．总结规律：复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．2.三角形式化为代数形式例1．（2020·全国高一课时练习）“复数的模与辐角分别相等”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】要对充分性和必要性进行判断，注意辐角可以相差的整数倍即可.【详解】当复数的模与辐角分别相等时，一定有，充分性成立；但当时，与的辐角可以相等，也可以相差的整数倍，必要性不成立.综上，“复数的模与辐角分别相等”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查对复数三角形式的认知，要注意辐角是不唯一的.例2．（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值．【详解】，所以辐角主值为．故选：D．例3．（2020·全国高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（）A． B．C．－i D．＋i【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）复数的辐角主值为A． B． C． D．【答案】D【分析】化简利用诱导公式化成标准形式再判断即可.【详解】,故复数z的辐角主值为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的辐角主值的辨析,属于基础题.例5．（2020·全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．（1）4；（2）2【分析】（1）复数4为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；（2）先把复数，转化为三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；【详解】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝..（2），复数的模为2，辐角的主值为θ＝，.【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）；（2）.【答案】（1）不是，（2）不是，.【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可.【详解】（1）不是.（2）不是..【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式.总结规律：复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，.3.复数三角形式的乘、除运算例1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】直接根据复数代数形式的乘法与除法运算法则计算可得；【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题.【巩固训练】2．计算：(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq\s\UP12(2)；(2)eq\r(,2)(cos75°＋isin75°)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))))).[解](1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq\s\UP12(2)＝(eq\r(,2))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))＝－1＋eq\r(,3)i.(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i＝eq\f(\r(,2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2),2)－\f(\r(,2),2)i))＝eq\f(\r(,2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))，所以eq\r(,2)(cos75°＋isin75°)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))＝eq\r(,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))))＝eq\r(,2)×eq\f(\r(,2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))))＝coseq\f(26,12)π＋isineq\f(26,12)π＝coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6)＝eq\f(\r(,3),2)＋eq\f(1,2)i.(3)因为－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(,3),2)i＝coseq\f(2,3)π＋isineq\f(2,3)π，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(,3),4)i.总结规律：1．乘法法则：模相乘，辐角相加．2．除法法则：模相除，辐角相减．3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．4.复数三角形式乘、除运算的几何意义例1．（2020·全国高三二模（文））在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据三角函数的定义可求得、的值，进而可得出复数的值.【详解】设，由题意知，，，所以，故选：A．【点睛】本题考查复数的求解，考查了三角函数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.例2．（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是A． B． C． D．【答案】A【分析】先将复数写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数是故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.例3．（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是A．2i B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的三角形式运算求解即可.【详解】复数的三角形式是,向量对应的复数故选：B【点睛】本题主要考查了复数的三角形式运算,属于基础题.例4．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为=.【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题.例5．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.【答案】【分析】根据题意，写出复数的三角形式，由重心坐标的计算公式，可得重心对应的复数的形式，结合题目已知条件，即可求解.【详解】由题意，可知.∵的重心对应的复数为，∴，即，∴，∴，∴.【点睛】本题综合考查复数的三角形式的理解和认知，属三角形式中的中档题.注意本题中还涉及和差化积公式.例6．（2020·全国高一课时练习）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.【详解】因为，所以，设，，，则，即，，，故.故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难.解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.【巩固训练】1．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为.【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.2．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，求复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°得到，再把三角形式转化为代数形式运算，整理为的形式.【详解】由题意得.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.总结规律：两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.5.三角形式下复数的乘方与开方【巩固训练】1．（2020·全国）复数（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数的