河南省洛阳市第十三中学高三数学文测试题含解析

河南省洛阳市第十三中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列各组函数是同一函数的是（

）①与；

②与；③与；

④与。A.①②

B.①③

C.③④

D.①④参考答案：C2.直线2x－y－=0与y轴的交点为P,点P把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于

A.2 B.3 C.4 D.5

参考答案：A3.若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．参考答案：C考点：交集及其运算．分析：考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．解答：解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．点评：在应试中可采用特值检验完成．4.要得到函数的图象，只需的图象（

）A.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）参考答案：D【分析】先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.【详解】，因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.5.已知球的半径为，则半球的最大内接正方体的边长为

(A)

（B）

（C）

（D）（

）

参考答案：C略6.已知复数z满足(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知函数有两个零点，则的取值范围为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.右上图所示为一个判断直线与圆的位置关系的程序框图的一部分，在？处应该填上

.参考答案：略9.曲线在点(0，2)处的切线方程是

(A)

(B)y=-x+2

(C)y=2x+2

(D)y=-2x+2参考答案：A10.设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，由勾股定理可知|PF1|=4b，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，即b=a，则c==a，即有e==．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最小值为

。参考答案：—912.已知函数，给出下列四个命题：①函数是周期函数.②函数既有最大值又有最小值.③函数的图像有对称轴.④对于任意，函数的导函数．其中真命题的序号是

.（请写出所有真命题的序号）参考答案：②③13.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为

．参考答案：70【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=9时不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=﹣2满足条件i＜8，执行循环体，i=3，S=7满足条件i＜8，执行循环体，i=5，S=22满足条件i＜8，执行循环体，i=7，S=43满足条件i＜8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．故答案为：70．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．14.复数在复平面上对应点的坐标为

参考答案：略15.已知，其中是虚数单位，那么实数=

.参考答案：2试题分析：由已知，故考点：复数的运算16.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则圆的半径长为_________．参考答案：2略17.函数的定义域是

参考答案：答案：[－1,2)∪(2,+∞)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：.若随机变量服从正态分布，则，.

参考答案：(Ⅰ)；

…………5分(Ⅱ)由题意得，，，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间的人数约为(人)；

…………12分

19.已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分别是B1C1，A1A的中点．（1）求证：A1D∥平面B1CE；（2）设M是的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为θ，试问：θ的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）法一（几何法）：连结BC1，与B1C交于点O，连结EO，DO，推导出四边形A1EOD是平行四边形，从而A1D∥EO，由此能证明A1D∥平面B1CE．法二（向量法）：建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能证明A1D∥平面B1CE．（2）建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法求出存在符合题意的点P，且=．【解答】证明：（1）证法一（几何法）：连结BC1，与B1C交于点O，连结EO，DO，在△B1BC1中，DOB1B，在四边形B1BA1A中，A1EB1B，∴A1EDO，∴四边形A1EOD是平行四边形，∴A1D∥EO∵A1D?平面B1CE，EO?平面B1CE，∴A1D∥平面B1CE．证法二（向量法）：如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，4），D（0，1，4），E（4，0，2），则=（﹣4，1，0），=（0，2，﹣4），=（4，0，﹣2），设平面B1CE的一个法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，2），∵=﹣4+4=0，且A1D?平面B1CE，∴A1D∥平面B1CE．解：（2）设存在符合题意的点P．如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），M（2，0，3），N（1，0，0），则=（﹣1，0，﹣3），=（﹣1，2，0），=（﹣4，2，0），设平面MNC的一个法向量=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，﹣2），设=，（0≤λ≤1），则==（3﹣4λ，2λ，0），由题设得sinθ=|cos＜＞|===，设t=1﹣λ（0≤λ≤1），则λ=1﹣t，且0≤t≤1，∴sinθ=，当t=0时，sinθ=0，当0＜t≤1时，sinθ==≤=．∴当且仅当，即t=时，sinθ取得最大值，此时λ=．∴存在符合题意的点P，且=．20.（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过A（﹣1，）、B（0，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于另一点M，交x轴于点P，点M关于x轴的对称点为N，直线BN交x轴于点Q．求|OP|+|OQ|的最小值．参考答案：【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）将A、B两点代入椭圆方程，求出a、b，从而可得椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（k≠0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），联立直线l与椭圆方程，由韦达定理可得，从而M（，），N（，﹣），从而直线BN的方程为：，则Q（，0），又因为P（，0），结合不等式可得|OP|+|OQ|=+≥4．解：（Ⅰ）将A（﹣1，）、B（0，）两点代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）由于直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为（k≠0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），解方程组，化简得，所以，=，从而M（，），N（，﹣），所以kBN==，从而直线BN的方程为：，则Q（，0），又因为P（，0），所以|OP|+|OQ|=+≥4，当且仅当=，即|k|=时取等号，所以|OP|+|OQ|的最小值为4．【点评】：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．21.(本小题满分14分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;参考答案：解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.由题意知,,所以.……ks5u…………………6分(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.,.,,,……11分故的分布列是01234……12分所以.………14分22.点P为圆上一个动点，M为点P在y轴上的投