辽宁省鞍山市海城南台高级中学高三数学理月考试题含解析

辽宁省鞍山市海城南台高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为（）A．[﹣1，0）∪（3，4] B．[﹣1，0） C．（3，4] D．[﹣1，4]参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=﹣1，即有f（4）=﹣2，原不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．【解答】解：由于f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1则f（1）=2f（1），即f（1）=0，则f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0，由于，则f（2）=﹣1，即有f（4）=2f（2）=﹣2，不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．由于对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），则f（x）在（0，+∞）上递减，则原不等式即为，即有，即有﹣1≤x＜0，即解集为[﹣1，0）．故选B．【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．2.函数的图象可能是参考答案：A略3.函数＞，且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于A.16 B.12 C.9 D.8参考答案：D令，得，此时，所以图象过定点A,点A在直线,所以，即.，当且仅当，即时取等号，此时，选D.4.设函数（

）A．0

B．1

C．

D．5参考答案：C5.设函数，则（

）A．在区间内均有零点B．在区间内均无零点C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点

参考答案：D，根据根的存在定理可知，选D.6.在Rt△ABC中，，点D在斜边AC上，且，E为BD的中点，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，且直角边为2，斜边为，所以转化为、、之间的关系即可。【详解】在中，因为，所以。因为。所以、、【点睛】本题考查了向量平行四边形法则。勾股定理的应用，平面向量的基本定理，向量的夹角，其中容易忽略的是向量的夹角（共起点）7.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（

）A．y＝f(x)是奇函数

B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称

D．y＝f(x)的图像关于点对称

参考答案：D略8.对于实数，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则，其中正确的命题的个数（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B9.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为A． B．

C．

D．参考答案：C10.已知函数，若数列满足，且是递减数列，则实数的取值范围是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=，=，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

．参考答案：且略12.（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数是

．参考答案：15【考点】二项式系数的性质．【分析】把（1+）5按照二项式定理展开，即可求得（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数．【解答】解：（1+x）（1+）5=（1+x）（1+5+10x+10x+5x2+），∴展开式中x2项的系数是：5+10=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．13.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．解答：解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0，a1=3a2，e1?e2==1，解得e2=．故答案为：．点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“黄金搭档”的含义．14.曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是．参考答案：x﹣y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=015.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为正方体和三棱锥的组合体，分别计算体积得到所求．【解答】解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：16.等差数列的前项和为，若，则_______.参考答案：17.函数的最小正周期是__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：．参考答案：（1）当时，有，解得．当时，有，解得．……………2分（2）（法一）当时，有,……………①．…②①—②得：，即：．…………5分．

．

………8分另解：．又当时，有，

．…………8分（法二）根据，，猜想：．………………3分用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当时，有，猜想成立．

（Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：．那么当时，有，即：，………①又，

…………②

①-②得：，解，得．当时，猜想也成立．

因此，由数学归纳法证得成立．………8分（3），

……………10分

．

………14分19.本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲：已知函数(1)解不等式;

(2)若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.参考答案：.(1)

解得

……………5分(2)由的图像可得

……………10分略20.已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为18.（1）求抛物线C的标准方程；（2）记，若t值与点M位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.参考答案：（1）由题意，，，抛物线的标准方程为. （4分）（2）设，设直线的方程为，联立得..由对称性，不妨设.①当时，同号，又，不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”.②当时，异号.又，当且仅当时，与无关，此时的点为“稳定点”.（12分）21.（12分）设函数，其中，求的单调区间.参考答案：解析：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表—0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.22.已知函数的最大值为（其中e为自然对数的底数），是的导函数。（1）求a的值；（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立。求证：。参考答案：（1）.（2）见解析.【分析】(1)对函数求导，分情况得到函数的单调性，进而求得在处取得最值，进而求解；（2）根据导数的几何意义得到，构造函数，通过换元将等式右边的函数改为，对此函数求导得到函数的单调性进而得证.【详解】（1）由题意得，显然，∵，∴，令，解得，①.当时，令，解得；令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，也是最大值，∴，解得；②当时，易知与题意不符，