河南省安阳市第三中学高三数学理期末试卷含解析

河南省安阳市第三中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.参考答案：B【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r2故cos，sin∴sincos.故选：B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．2.某程序框图如图所示，若输入的a，b分别为12，30，则输出的a=A.4

B.6

C.8

D.10参考答案：B3.设a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c这三个数的大小关系为(

)A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，知c＜b＜a．解：∵a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，∴c＜b＜a．故选A．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知实数x，y满足，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为（）A．4 B．3 C．2 D．﹣参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（4﹣m，m），此时z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m﹣1，m），此时z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，∴8﹣m﹣3m+2=2，即m=2．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6.命题p：?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数，则￢p为（）A．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是奇函数B．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数C．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数D．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：命题p：?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数，则￢p为：?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，故选：D．7.设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tan2α=(

)A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由三角函数的定义可得x的方程，解方程可得cosα，再由同角三角函数的基本关系可得tanα，由二倍角的正切公式可得．【解答】解：由三角函数的定义可得cosα=，又∵cosα=x，∴=x，又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x=﹣3∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα==﹣∴tan2α==故选：A【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及三角函数的定义和同角三角函数的基本关系，属基础题．8.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则丨OP丨=丨OQ丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨﹣丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90°，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e===，故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．9.函数的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．【解答】解：令函数=0，则x=0，或x=，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故选：A10.在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．解答： 解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：略12.

．（用数字作答）参考答案：5513.现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是

．（填写所有正确结论的编号）①所有纺织工都投了健康保险

②有些女工投了健康保险

③有些女工没有投健康保险

④工会的部分成员没有投健康保险参考答案：.①②③14.不等式的解集为

参考答案：当时，原不等式等价为，即，此时。当时，原不等式等价为，即，此时。当时，原不等式等价为，即，此时不等式无解，综上不等式的解为，即不等式的解集为。15.已知定义在上的函数满足：对任意都有，，则_____________．参考答案：答案:216.若展开式的常数项是60，则常数a的值为

．参考答案：417.已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则的取值范围

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数.

(I)当时，求的单调区间

(Ⅱ)若不等式有解，求实数m的取值菹围；

(Ⅲ)定义：对于函数和在其公共定义域内的任意实数.，称的值为两函数在处的差值。证明：当a=0时，函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2参考答案：略19.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求cos＜，＞，即为所求正弦值．解答：解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．点评：本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题20.（本小题满分14分）函数，其图象在处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围；（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）由题意得，且，∴即解得，，∴．………4分（Ⅱ）由，可得，，则由题意可得有三个不相等的实根，即的图象与轴有三个不同的交点，，则的变化情况如下表．4＋0－0＋↗极大值↘极小值↗则函数的极大值为，极小值为．……6分的图象与的图象有三个不同交点，则有：解得．……………………8分（Ⅲ）存在点P满足条件．……………9分∵，∴，由，得，．当时，；当时，；当时，．可知极值点为，，线段AB中点在曲线上，且该曲线关于点成中心对称．证明如下：∵，∴，∴．上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称．故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…………14分略21.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）（1）若函数的最小值；（2）若在其定义域上恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：参考答案：（1）a﹣alna﹣1；（2）a=1；（3）见解析

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性B11B12（1）由题意a＞0，f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a=0，解得x=lna，先当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1；（2）∵f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，∴在x∈R上，fmin（x）≥0，由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，则g（a）≥0，令g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0，解得a=1，易知g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，即a=1；（3）由（2）得ex≥x+