山西省忻州市第一职业中学高三数学文期末试卷含解析

山西省忻州市第一职业中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

从点出发的三条射线两两成角，且分别与球相切于三点，若球的体积为，则两点之间的距离为(

)

A.

B.

C.1.5

D.2参考答案：B略2.已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为(

)A. B.- C. D.参考答案：B略3.若变量满足约束条件，则的最大值为A.

B.

C.

D.参考答案：C4.设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知实数x，y满足，则x﹣3y的最小值为(

) A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1参考答案：A考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答： 解：设z=x﹣3y，则得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，2）．将A（2，2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×2=2﹣6=﹣4．∴目标函数z=x﹣3y的最小值是﹣4．故选：A．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．6.已知的角所对的边分别为，若，则边

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：由正弦定理得，∴，答案B7.已知命题p：N,，命题q：N,，则下列命题中为真命题的是(

)A.B.C.D.参考答案：C8.已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且，则对任意的实数的最小值为(

)A.5

B.7

C.12

D.13参考答案：C略9.如果执行右面的算法语句输出结果是2，则输入的值是(

)A．0或2

B．或2

C．2

D．0参考答案：A若；若，所以输入的值是0或2。10.在△ABC中，，，，设点D、E满足，，若，则（

）A． B．2 C． D．3参考答案：D因为，则，所以．由已知，，则，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的离心率为______；若椭圆与双曲线有相同的焦点，则______.参考答案：，略12.若是单位矩阵，则

.参考答案：13.已知上的投影为

.参考答案：314.已知，则的最小值为__________

参考答案：18

本题考查了不等式的运算性质，考查了均值不等式中“一正、二定、三相等”的运用方法，难度中等。

由得，则当且仅当时取“=”号，又当且仅当时取“=”号，所以.15.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为，，则切线AD的长为

参考答案：略16.设变量、满足约束条件则目标函数的最大值为_______．

参考答案：17.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ，O为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN上，则裁出三角形面积的最大值为

．参考答案：要裁出三角形面积的最大如图:令则三角形面积，令解得当，时取得最值，则

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e是自然界对数的底,)（Ⅰ）求的解析式;（Ⅱ）设求证：当，时，；（Ⅲ）是否存在负数，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。

参考答案：（Ⅰ）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为

（Ⅱ）证明：当且时，，设

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以所以当时，即（Ⅲ）解：假设存在负数，使得当时，有最小值是3，则①当，由于，则，故函数是上的增函数．所以，解得（舍去）②当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．所以，解得满足题意。综上可知，存在负数，使得当时，有最小值３19.设函数f（x）=﹣ax．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；（2）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈时，lnx∈，∈，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min≤”，①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈，∴lnx∈，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为20.如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，且PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知得BD∥EF，BD⊥AC，从而EF⊥AC，EF⊥AO，EF⊥PO，由此能证明BD⊥平面POA．（2）设AO∩BD=H，连结BO，则△ABD是等边三角形，从而BD=4，BH=2，HA=2，HO=PO=，BO=，进而PO⊥BO，PO⊥平面BFED，过H作HG⊥AP，垂足为G，连结BG，∠BGH为二面角B﹣AP﹣O的平面角，由此能求出二面角B﹣AP﹣O的正切值．【解答】（1）证明：∵点E，F分别是边CD、CB的中点，∴BD∥EF，∴菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．（2）解：设AO∩BD=H，连结BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=4，BH=2，HA=2，HO=PO=，在Rt△BHO中，BO==，在PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，∴PO⊥平面BFED，过H作HG⊥AP，垂足为G，连结BG，由（1）知BH⊥平面POA，且AP?平面POA，∴BH⊥AP，∵HG∩BH=H，HG?平面BHG，BH?平面BHG，∴AP⊥平面BHG，BG?平面BHG，∵BG?平面BHG，∴AP⊥BG，∴∠BGH为二面角B﹣AP﹣O的平面角，在Rt△POA中，AP==，在Rt中，∠POA=∠HGA=90°，∠APO=∠HAG，∴△POA∽△HGA，∴，∴HG===．在Rt△BHG中，tan==．∴二面角B﹣AP﹣O的正切值为．【点评】本题考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21.已知f（x）=?，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之．【解答】解：（1）由题意知．3分∵y=cosx在a2上单调递减，∴令，得∴f（x）的单调递减区间，6分（2）∵，∴，又，∴，即，8分∵，由余弦定理