山西省大同市水泊寺中学高三数学理期末试题含解析

山西省大同市水泊寺中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足x2f'（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由题意知[xf（x）]′=，从而由积分可知xf（x）=（lnx）2+c，从而解得f（x）的解析式，从而再求导判断函数的单调性即可判断函数的极值．【解答】解：∵x2f′（x）+xf（x）=lnx，∴xf′（x）+f（x）=，∴[xf（x）]′=，∴xf（x）=（lnx）2+c，又∵f（e）=，∴e?=+c，故c=，∴f（x）=+，∴f′（x）==≤0，∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，∴既无极大值又无极小值．故选D．2.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：，则cosC=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理得到a：b：c=2：3：，设出相应的长度，利用余弦定理进行求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：，∴在△ABC中，a：b：c=2：3：，设a=2x，b=3x，c=x，则cosC====，故选：D【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据条件转化为a，b，c，结合余弦定理进行求解是解决本题的关键．3.下列4个命题:（1）若，则；（2）“”是“对任意的实数，成立”的充要条件；（3）命题“，”的否定是：“，”；（4）函数的值域为.其中正确的命题个数是（

）A、1

B、2

C、3

D、0参考答案：A4.

把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为(

)

(A)线段

(B)不等边三角形

(C)等边三角形

(D)四边形参考答案：C解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，T8y2－20y+8=0，Ty=2或，相应的，x=0，或x=±．此三点连成一个正三角形．选C．5.设集合，，则下列关系正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C详解：由题意，，∴，只有C正确.故选C.

6.定义运算,则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()．参考答案：A7.设，若,实数a的取值范围是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D8.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D【考点】复数综合运算，对应的点为，所以在第四象限，故选D.9.已知，若对任意不相等的两个正数都有，则实数的取值范围是（

）

A. B. C. D.参考答案：A略10.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是第二象限角，且则（

）。参考答案：12.给出下列几个命题：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；④设函数的最大值和最小值分别为和，则；⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①④⑤略13.已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意N，均有、、成等差数列，则

．参考答案：∵，，成等差数列，∴当时，

又

∴当时，，∴，∴，又，∴，∴是等差数列，其公差为1，∵，∴．14.已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝________.参考答案：{x|1<x<3}15.右图是一个算法的伪代码，输出结果是

．参考答案：1416.已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围是

参考答案：17.已知扇形的周长为20，当扇形的面积最大时，扇形圆心角的弧度数是________．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，以PF1为直径的动圆内切于圆.（1）求椭圆的方程；（2）延长PO交椭圆于R点，求面积的最大值.参考答案：（1）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：，

当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即∴，即，又∴

∴椭圆方程为：

……5分（2）由已知可设直线， 令，原式=，当时，

∴

……12分

19.（本题满分12分）设的内角所对的边分别为且.(1)求角的大小;(2)若,求的周长的取值范围.参考答案：【知识点】正弦定理的应用．C8【答案解析】（1）（2）解析：(1)由得又

又

……….4分(2)由正弦定理得:,

,

故的周长的取值范围为

……….12分【思路点拨】（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．20.（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线平行于，且与椭圆交于A、B两个不同点.（ⅰ）若为钝角，求直线在轴上的截距m的取值范围；（ⅱ）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形.参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，

则

解得

∴椭圆的方程为.

…………4分（Ⅱ）（ⅰ）由直线平行于OM，得直线的斜率，又在轴上的截距为m，所以的方程为.

由

得.

又直线与椭圆交于A、B两个不同点，，于是.

………………6分为钝角等价于且，

设，，由韦达定理，代入上式，化简整理得，即，故所求范围是.……………8分（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为，.由，.

………………10分

而

.

所以

,故直线MA、MB的倾斜角互补，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．……13分21.（本小题满分12分）已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线