2023-2024学年湖北省十四校协作体高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省十四校协作体高一（下）质检数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=(1+i)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.集合A={x|taA.A=B B.A⊆B C.3.△ABC中，D为AB中点，E为线段BC上靠近B的三等分点，CD，AE交于G，BG交ACA.23 B.34 C.434.已知cos(α−β)=A.13 B.23 C.125.△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2A.32 B.12 C.6.△ABC中，AB，BC，CA中点分别为D，E，F，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三角形内O点满足4(ODA.sinC：sinB：sinA B.cosC：cosB：7.已知△ABC的三边a，b，c满足

an+bA.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定8.平面内有向量a，b，c满足|a|=|c|=2A.2 B.25 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.现有向量a，b，c，满足(a⋅b)A.0 B.1 C.2 D.310.下列说法中正确的有(

)A.cosx+cosy=m,sinx+s11.△ABC的三条高交于一点H，A，B，C所对的边分别为a，b，c，taA.A=2B

B.S△BHC=2S△三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若x∈R，则|2−c13.已知三角函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)14.f(x)=|2asi四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)计算：−sin7π30+i16.(本小题15分)

如图，正方形ABCD中，E、F分别为线段AB、BC上的点，满足AE=BF，连接DE、AF交于点G．

(1)求证：17.(本小题15分)

如图，三角形ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a−cb=cosCcosB,c=acosB+b218.(本小题17分)

已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|．

19.(本小题17分)

向量外积(又称叉积)广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量a与b的叉积a×b=c，规定c的模长为|c|=|a|⋅|b|⋅sin〈a，b〉，c与a、b所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且λa×μb=λμ(a×b).

(1)直接写出结果：①a×a=_____；②a×b+b×a=_____；

(2)空间直角坐标系中有向量a=答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵z=(1+i)21−i=2i1−i=2i(2.【答案】D

【解析】解：集合A={x|tanx=0}={x|x=kπ,k∈Z}3.【答案】B

【解析】解：设CG=xCD，则CD=1xCG，

因为D是AB的中点，

所以CD=12CA+12CB=12CA+12⋅32CE=12CA+34CE，

所以1xCG=12CA+34CE，即CG=x2CA+3x4CE，

因为A4.【答案】C

【解析】解：由已知可得cosαcosβ+sinαsinβ=5.【答案】A

【解析】解：因为a2+c2+ac=b2，即a2+c2−b2=−ac，所以cosB=a2+c2−b26.【答案】C

【解析】解：因为4(OD)2−c2=4(OE)2−a2=4(OF)2−b2，

所以4(OD)2−AB2=4(OE)2−BC2=4(OF)2−CA2，

(2OD)2−AB2=(2OE)2−BC2=(2OF)2−CA2，

所以(OB+OA)7.【答案】A

【解析】解：∵△ABC的三边a，b，c满足an+bn=cn(n∈N,n>2)，

∴(ac)n+(bc)n8.【答案】B

【解析】解：因为a⋅b=0，所以<a,b>=π2，

如图，设AB=a，AE=c，AC=b，

则BE=|a−c|，CE=|b−c|，

延长AC至点9.【答案】AC【解析】解：若a,b,c至少有两个为0，不妨设a=b=0，

则(a⋅b)⋅c=0⋅c=0,(a⋅c)⋅b=0⋅b=0，(b⋅c)⋅a=0⋅c=0，

满足条件(a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b=(b⋅c)⋅a，

此时三组向量中两两共线的有3组，故D正确；

若a,b,c有且仅有1个为10.【答案】AD【解析】解：对A，因为cosx+cosy=m，sinx+siny=n，分别平方可得，

cos2x+cos2y+2cosxcosy=m2，sin2x+sin2y+2sinxsiny=n2，

相加可得，2+2cos(x−y)=m2+n2，所以cos(x−y)=m2+n2−22，A正确；

对B，因为cosx+cosy=m11.【答案】BC【解析】解：在△ABC中tanA⋅HA+tanB⋅HB+tanC⋅HC=0，

结合条件tanB⋅(2HA+HB)+tanC⋅HC=0，可知tanA=2tan12.【答案】5【解析】解：|2−cosx−isinx−i|=|2−cosx13.【答案】5

【解析】解：因为x=−π4是f(x)的一个零点，

所以−π4ω+φ=k1π(k1∈Z)，

因为x=π4是f(x)的一条对称轴，

所以π4ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，

故π2ω=(k2−k1)π+π2，

所以ω=2(k2−k1)+1，

因为y=f(x)在区间(π10,π5)上单调，

设函数f(x)的周期为T，则T2≥π5−π10=π10，

所以πω≥π10，

所以ω≤10，所以ω的可能取值为9，7，5，3，1，

当ω=9时，φ=π4，f(x)=sin(9x+π4)，

因为9×(14.【答案】1

【解析】解：根据题意，f(x)=|2asinx+2bcosx|+|acosx−bsinx|=2|asinx+bcosx|+|acosx−bs15.【答案】解：(1)−sin7π30+isi【解析】(1)根据复数三角表示的除法运算计算即可；(216.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系，

不妨设AB=1，AE=x∈[0,1]，

则A(0,1)，B(1,1)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,1)，F(1,1−x)，

可得DE=(x,1),AF=(1,−x)，

因为DE⋅AF=x−x=0，可知DE⊥AF，所以DE⊥AF；【解析】(1)建立平面直角坐标系，利用平面向量证明垂直关系；

(2)根据三点共线可得λ+17.【答案】证明：(1)等边三角形，证明如下，

因为2a−cb=cosCcosB，由正弦定理得到2sinA−sinCsinB=cosCcosB，即2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，

所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA，又A∈(0,π)，所以sinA≠0，

得到cosB=12，又B∈(0,π)，所以B=π3，

又c=acos【解析】(1)根据条件，利用正弦定边边转角，得到B=π3,A=π3，即可求出结果；

(2)作∠CAF=∠BAD，AF=AD，连接CF，EF，过F作FG⊥18.【答案】解：(1)当2kπ≤x<2kπ+π2时，f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

所以2kπ+π4≤x+π4<2kπ+3π4,1≤2sin(x+π4)≤2，

所以1≤f(x)≤2，

当2kπ+π2≤x<2kπ+π时，f(x)=sinx−cosx=2sin(x−π4)，

所以2kπ+π4≤x−π4<2kπ+3π4,【解