2025版高考数学一轮总复习考点突破第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7讲函数的图象考向3函数图象的应用

考向3函数图象的应用角度1函数图象的对称性1.(2018·课标全国Ⅲ，7)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是(B)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)[解析]解法一：y＝lnx图象上的点P(1,0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝lnx图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B.解法二：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝lnx图象上．∴y＝ln(2－x)．故选B.2．已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称？(C)A．(1,0) B．(－1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析]f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移eq\f(1,2)个单位得到的，故关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))成中心对称．[小题巧解]用特殊点的对称性解决函数图象的对称性问题．角度2利用函数图象研究函数性质(多选题)(2022·福建厦门月考)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(ABD)A．函数F(x)是偶函数B．方程F(x)＝0有三个解C．函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增D．函数F(x)有4个单调区间[解析]根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选ABD.角度3利用函数图象研究不等式设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集为(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)[解析]f(x)为奇函数，eq\f(fx－f－x,x)<0⇔eq\f(fx,x)<0⇔xf(x)<0，由题意可知f(x)的大致图象如图所示，所以所求不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．[引申]若将“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”，不等式eq\f(fx＋f－x,x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).名师点拨：1．利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．【变式训练】1．(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为g(x)＝－ln(x－1).[解析]设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．2．(角度1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(D)A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称[解析]解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称，即关于x＝1对称．故选D.解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D.3．(角度2)(多选题)已知函数f(x)＝|lgx|，则(BD)A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0，＋∞)C．f(x)在(0，＋∞)上递增D．f(x)有一个零点[解析]画出f(x)＝|lgx|的函数图象如图，由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0，＋∞)，故B正确；f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确，故选BD.4．(角度3)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).[解析]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，y＝cosx>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))上，y＝cosx<0.由f(x)的图象知，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))上，eq\f(fx,cosx)<0.因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函