2025版高考数学一轮总复习素养提升第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数

二次函数恒成立问题二次函数的恒成立问题是高考命题的热点，此类问题的处理方法较为灵活，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养．[解析](1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．(2)因为对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.当－1<－a<1，即－1<a<1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2.解－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1<a<1.当－a≥1，即a≤－1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1.综上可得，实数a的取值范围是[－3,1]．(3)∃x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0.当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0.综上可得，实数a的取值范围是R.(4)因为对于∀a∈[－1,1]，f(x)>0，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，则g(a)>0在[－1,1]上恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x2－2x＋3>0，,g1＝x2＋2x＋1>0，))解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}．[探究]本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．名师点拨：恒成立问题的解法1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(1)(2)(3)x是变量，(4)a是变量．2．对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．【变式训练】1．(2023·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是_(－∞，－1)__.[解析]解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．解法二：f(x)>2x＋m等价于m<x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，其图象的对称轴x＝eq\f(3,2)>1，所以g(x)在区间[－1,1]上单调递减，则g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．2．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).[解析]当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1,3]．因为对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gx1min≥fx0min，,gx1max≤fx0max，))即当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．所以当a>0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\