2025版高考数学一轮总复习知识梳理第5章平面向量与复数第1讲平面向量的概念及其线性运算

第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理知识点一向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘实数λ与向量a的积是一个向量记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0设λ，μ是实数．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.归纳拓展1．零向量与任何向量共线．2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P为AB的中点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(√)(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)题组二走进教材2．(必修2P22T4改编)化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(B)A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.3．(必修2P15T3改编)八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝(B)A.eq\o(OD,\s\up6(→)) B．eq\o(DO,\s\up6(→))C．eq\o(DA,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→)).故选B.4．(多选题)(必修2P15T4改编)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(BC)A．向量eq\o(CH,\s\up6(→))，eq\o(DG,\s\up6(→))的模相等B．|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(10)C．向量eq\o(DG,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))共线D．|eq\o(DG,\s\up6(→))|＋|eq\o(HF,\s\up6(→))|＝10[解析]对于ABD，通过计算向量的模进行判断即可，对于C，通过判断直线DG，HF的位置关系来判断两向量是否共线．因为|eq\o(CH,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，|eq\o(DG,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以|eq\o(CH,\s\up6(→))|≠|eq\o(DG,\s\up6(→))|，所以A错误；因为|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，所以B正确；因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量eq\o(DG,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))共线，所以C正确；因为|eq\o(DG,\s\up6(→))|＋|eq\o(HF,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＋eq\r(32＋32)＝5eq\r(2)≠10，所以D错误，故选BC.题组三走向高考5．(2020·新高考Ⅱ，3,5分)若D为△ABC的边AB的中点，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝(A)A．2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)) B．2eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))C．2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)) D．2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))[解析]∵D为△ABC的边AB的中点，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)).故选A.6．(2015·新课标2,13,5分)设向量a，b不平行，向量λa＋b与