函数单调性和曲线凹凸性

关于函数单调性和曲线凹凸性定理1.(函数单调性的判别法).(1)若

x(a,b)有f(x)>0.则y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)若

x(a,b)有f(x)<0.则y=f(x)在[a,b]上单调减少;设y=f(x)

C([a,b]),且在(a,b)内可导.证:

x1,x2[a,b]

且x1<x2.由于[x1,x2][a,b],故f(x)C([x1,x2]),且在(x1,x2)内可导.第2页,共50页，2024年2月25日，星期天(1)若f(x)>0,则f(

)>0.故f(x2)f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).(2)若f(x)<0,则f(

)<0.故f(x2)f(x1)<0,即

f(x2)<f(x1).f(x2)f(x1)=f(

)(x2

x1)(x1<

<x2)根据Lagrange中值定理,得出

由x1,x2

在[a,b]上的任意性知f(x)在[a,b]上单调增加.于是f(x)在[a,b]上单调减少.第3页,共50页，2024年2月25日，星期天例1.

讨论y=lnx在(0,+

)上的单调性.解:由定理1知y=lnx在(0,+

)内单调增加.oxyy=lnx第4页,共50页，2024年2月25日，星期天例2.

讨论f(x)=x3

6x2+9x

3的单调性.解:

f'(x)=3x2

12x+9以x1=1,

x2=3为界将f(x)的定义域(

,+

)分成三个部分区间(,1),(1,3),(3,+

).当x<1时:f

(x)>0,当1<x<3时:f

(x)<0,当x>3时:f

(x)>0,=3(x1)(x

3)所以f(x)单调增加;所以f(x)单调减少;所以f(x)单调增加.第5页,共50页，2024年2月25日，星期天10331yx故f(x)在(

,1)

(3,+

)内单调增加，在(1,3)内单调减少.第6页,共50页，2024年2月25日，星期天例3.

讨论f(x)=x3的单调性.解:

因为f

(x)=3x2>0(x

0)

由定理1知f(x)=x3在(,0)和(0,+

)内均单调增加.这里x=0时f

(0)=0.但x<0时有f(x)<f(0),而x>0时,有f(0)<f(x).故f(x)=x3在定义域(

,+

)内单调增加.0yxy=x3第7页,共50页，2024年2月25日，星期天yx0利用上面性质证明：

x>0时x>ln(1+x)y=f(x)

f(x)>0思考问题第8页,共50页，2024年2月25日，星期天二、曲线的凹凸性及其判定法oxyy=x2第9页,共50页，2024年2月25日，星期天oxyx1x2f(x1)f(x2)AB

在曲线y=f(x)上任取两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，固定t(0,1)得(x1,x2)内一点t[0,1]则弦AB的参数方程为：第10页,共50页，2024年2月25日，星期天oxyx1x2f(x1)f(x2)••AB这时，弦上对应点纵坐标为而曲线弧上对应点纵坐标为有第11页,共50页，2024年2月25日，星期天x1x2f(x1)f(x2)oxy••AB有第12页,共50页，2024年2月25日，星期天定义1:

设f(x)

C([a,b])，

x1,x2[a,b](x1

x2)和t(0,1),若有则称曲线y=f(x)在[a,b]上是凹的(凸的).()第13页,共50页，2024年2月25日，星期天oxyoxy定理2.

设f(x)

C[a,b]且在(a,b)内可导.则曲线y=f(x)在[a,b]上为凹的(凸的)充分必要条件是f'(x)在(a,b)内单调增加(减少).第14页,共50页，2024年2月25日，星期天定理3.(曲线凹凸的判别法)设f(x)

C([a,b])且在(a,b)内具有二阶导数.(1)若

x

(a,b),有f(x)>0.曲线y=f(x)在[a,b]上是凹的.(2)若

x

(a,b),有f(x)<0.曲线y=f(x)在[a,b]上是凸的.第15页,共50页，2024年2月25日，星期天例4.

讨论曲线y=lnx在(0,+

)内的凹凸性.解:由定理3知曲线y=lnx在(0,+

)内是凸的.oyx1y=lnx第16页,共50页，2024年2月25日，星期天例5.

讨论曲线y=x3的凹凸性.解:

y=6x当x<0时,y<0.当x>0时,y>0.这里点(0,0)称曲线y=x3的拐点.故y=x3在(,0]内是凸弧.故y=x3在[0,+)内是凹弧.0yxy=x3第17页,共50页，2024年2月25日，星期天

一般地，设f(x)

C(U(

x0)),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处左右两侧凹凸性相反，则称(x0,f(x0))为该曲线的拐点.第18页,共50页，2024年2月25日，星期天定义1中有

y=f(x)凹

f(tx1+(1t)x2)<tf(x1)+(1t)f(x2)特别地取y=f(x)凹

第19页,共50页，2024年2月25日，星期天例6.利用上式证明x>0,y>0且x

y时，有其中n>1.证：令f(t)=tn.(t>0)f''(t)=n(n1)tn2>0.(t>0)故t>0时f(t)的曲线为凹的.取x>0,y>0得第20页,共50页，2024年2月25日，星期天§3-5函数的极值与最大值最小值y

y=f(x)x0有f(x)<f(x0)则称f(x0)为f(x)的一个极大值极值的概念是一个局部性的概念.(f(x)>f(x0))定义1.

设f(x)在U(x0)内有定义.若(极小值).(极小值点).点x0称为极大值点一、函数的极值及其求法第21页,共50页，2024年2月25日，星期天定理1.(Fermat)若f(x)在x0可导,且在x0取得极值,则

f'(x0)=0.使f'(x)为零的点称为f(x)的驻点.第22页,共50页，2024年2月25日，星期天(1)可导函数的极值点必是驻点.但其逆命题不成立.(2)连续函数在其导数不存在的点处,也有可能取得极值.0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0处不取极值.例如y=|x|在x=0处有极小值f(0)=0.第23页,共50页，2024年2月25日，星期天0yxx00yxx0(1)当x<x0时,f

(x)>0,当x>x0时,f

(x)<0,则f(x)在x0处取极大值;(2)当x<x0时,f

(x)<0,当x>x0时,f

(x)>0,则f(x)在x0处取极小值.定理2.(判别条件I)设f(x)

C(U(x0)),在可导.第24页,共50页，2024年2月25日，星期天证：(1)在当x<x0时，f'(x)>0.故f(x)单调增加，有

f(x)<f(x0)当x>x0时，f'(x)<0.故f(x)单调减少，也有

f(x)<f(x0).从而有f(x)<f(x0).即f(x0)为极大值.同理证(2).第25页,共50页，2024年2月25日，星期天例1.

求f(x)=x3

3x2

9x+5的极值.解:

f'(x)=3x2

6x

9=3(x+1)(x

3)令f'(x)=0解得驻点x1=

1,x2=3x=

1:x<

1时f'(x)>0.x>1时f'(x)<0

x=3:x<3时

f'(x)<0.x>3时f'(x)>0

极大值f(1)=10.极小值f(3)=22.第26页,共50页，2024年2月25日，星期天例2.

求f(x)=的极值解:

x<0时,f'(x)<0,x>0时,f'(x)>0故得极小值f(0)=0xy0第27页,共50页，2024年2月25日，星期天定理3.(判别条件II)设f(x)在U(x0)内二阶可导.且f'(x0)=0.f''(x0)0,则(1)当f''(x0)<0时,f(x)在x0

取极大值.(2)当f''(x0)>0时,f(x)在x0取极小值.第28页,共50页，2024年2月25日，星期天证:

(1)由f''(x0)<0时,按定义得根据极限保号性，在U(x0

)内有又由于f'(x0)=0所以第29页,共50页，2024年2月25日，星期天当x<x0时,f'(x)>0,x>x0时f'(x)<0,同理可证(2).于是在U(x0)内,从而由定理2知f(x)在x0

取极大值.第30页,共50页，2024年2月25日，星期天例3.

求的极值.解:

f(x)以2

为周期，故考虑区间[0,2

)令f'(x)=cosx

sinx=0又有得驻点第31页,共50页，2024年2月25日，星期天由定理3知由周期性知分别为f(x)的极大值点和极小值点.第32页,共50页，2024年2月25日，星期天二、曲线的拐点若f(x)

C([a,b]),且在(a,b)内可导，则

y=f(x)凹(凸)

f'(x)()(x0,f(x0))是y=f(x)拐点

x0是f'(x)极值点.定理4.若f"(x0)存在，且点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则f"(x0)=0第33页,共50页，2024年2月25日，星期天0yx定理5.(拐点的充分条件)设f(x)

C(U(x0)),且在内二阶可导，若f"(x)x0的两侧符号相反，则(x0,f(x0))是拐点.y0

y=x4第34页,共50页，2024年2月25日，星期天例4.

确定曲线y=3x44x3+1的凹凸和拐点.解：由

x1=0,显然x<0:y">0故曲线在(,0]和上为凸的.xyy=3x44x3+1110第35页,共50页，2024年2月25日，星期天例5.

确定曲线解：在x=0处y"不存在.但

x<0:y">0

x>0:y"<0故曲线在(,0)内为凸,在(0,+)内为凹.0xy第36页,共50页，2024年2月25日，星期天三、函数的最值及其应用oabx1x2x3x4x5y=f(x)xy设f(x)

C([a,b])其中x1,x2,…,xn(a,b)是f(x)的驻点(或导数不存在的点).第37页,共50页，2024年2月25日，星期天例6.求f(x)=x48x2+2在[1,3]上的最大值和最小值.解：f'(x)=4x3

16x=4x(x

2)(x+2)令f'(x)=0得驻点x1=0,x2=2,x3=

2(舍去)计算f(0)=2,f(2)=14f(

1)=

5,f(3)=11所以最小值f(2)=14,最大值f(3)=11第38页,共50页，2024年2月25日，星期天例7.求f(x)=x2e

x的最大值和最小值.解：f(x)在定义域(,)上连续可导且f'(x)=x(2x)e

x令f'(x)=0得驻点x=0,x=2有f(0)=0，f(2)=4e2且故f(x)在定义域内有最小值f(0)=0，无最大值.y=x2e

x02第39页,共50页，2024年2月25日，星期天(1)f(x)

C([a,b])，且在(a,b)内只有唯一极值点x=x0.则当f(x0)极大时便也最大，当f(x0)极小时便也最小.特例xy0abyx0abx0x0第40页,共50页，2024年2月25日，星期天(2)f(x)

C([a,b]),且在(a,b)内单调增加，则f(a)最小，f(b)最大.单调减少则相反.abxy0abxy0第41页,共50页，2024年2月25日，星期天最优化问题(1)根据问题的假设和条件建立目标函数

y=f(x)(2)求最优解：最值或最值点.第