小学高中数学公式大全

高中数学常用公式及常用结论

I.元素与集合的关系

XGA<=>CUA,xeCfjA=xgA.

2.德摩根公式

Cu(AnB)=q,AUCUB-CU(AU8)=gA.

3.包含关系

AC]B-AA[_)B—B=AJBOCUBJCUA

Q4口。*=中=。，*8=卡

4.容斥原理

card(AUB)=cardA+cardB-card(ADB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card{AClB)

—card(ADB)—card{BAC)—card(Cn4)+card(AnBflC).

5.集合｛%,。2,…，q｝的子集个数共有2"个：真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个；非空

的真子集有2”-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

⑴一般式/(x)=。炉+bx+c[a*0)；

⑵顶点式/(x)=a(x-〃)2+A(aHO)；

⑶零点式/(x)=a(x-X])(x-X2)(aHO).

7.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式

N<f(x)<MQ"(x)—M]"(x)-N]<0

M+N,M—Nf(x)-N八

="(x)-------1<------0---->0

22M-f(x)

11

=-------->------.

f(x)-NM-N

方程在(勺上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个

8.f(x)=0，&2)f(kx)f(k2)<0

必要而不是充分条件.特别地，方程ax?+/>x+c=0(。。0)有且只有一个实根在(占水2)内，等价于

bk+k

/(匕)/(心)<0,或/(匕)=0且匕<—9〈七二或f(k)=0且

2a22

氏1+3

——-<--b--<h,.

22a2

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)-ax2+bx+c(a。0)在闭区间[p,q]上的最值只能在x-----处及区间的两端

2a

点处取得•，具体如F：

/?h

⑴当a〉o时,若％=一丁e[p,司，则f(X)min=f(一h)，/a)max=max{f(P)，/(q)}；

2a2a

X=—?任[p，q]，/(X)max=max{/(P)，/(4)}，/Wmin=min

2a

b

(2)当a〈0时,若》=-丁6[p,q],则=min{/(p)"(q)},若x=一b丁任[p,q],

2a2a

则网

/(x)=max{/(p),/(q)},f(x)min=min{f(p),f(q)}.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/(〃2)/(〃)<0,则方程/(x)=0在区间(〃?,〃)内至少有一个实根.

设/(x)=x2+px+q,则

p2-4<7>0

(1)方程/(x)=0在区间(机,+8)内有根的充要条件为/(〃?)=0或，p-

--->m

I2

'/(〃?)>0

/(〃)>0

(2)方程/(x)=0在区间(机,〃)内有根的充要条件为或<p2_4q2o或

P

m<---<n

2

/(机)=0f/(n)=0

或V

af(n)>Q[af(m)>0

p2-4q>0

(3)方程/(尤)=0在区间(一8,〃)内有根的充要条件为/(m)<0或1

--<m

12

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(一8,+8)的子区间乙(形如[[,£],(一8,£],[&,+8)不同)上含参数的二次不

等式/(x,f)20(f为参数)恒成立的充要条件是/(羽。而“>0(xgL).

(2)在给定区间(一8,+8)的子区间上含参数的二次不等式/(X,f)20”为参数)恒成立的充要条

件是<0(x£L).

a>0

a<Q

(3)f(x)=a?++c>0恒成立的充要条件是，820或<

b2—4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有("-1)个

小于不小于至多有〃个至少有("+1)个

对所有X,存在某X，

成立不成立，或g一\p且一it7

对任何X,存在某X,

不成立成立，且g—ip或一iq

逆逆

否否

15.充要条件

(1)充分条件：若pnq,则p是q充分条件.

(2)必要条件：若qnp,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若p=>q,且q=>p,则〃是g充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设Xi•X?e[a,bJ,X]Hx2那么

(x,-%2)[/(%))-/(%2)]>0=>()Q/(x)在[a,H上是增函数;

(玉一々)[/(再)一/(x,)]<0="』)—<0=/(x)在[a,。]上是减函数.

⑵设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果/'(x)<0,

则/(x)为减函数.

17.如果函数/(X)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果

函数y=/(")和“=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=/[g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,

那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数^=/(x)是偶函数，则/(x+a)=/(-x-a)；若函数y=/(x+a)是偶函数，则

f(x+a)=f(-x+a).

20.对于函数y=f(x)(xeR),f(x+a)-/(b—x)恒成立，则函数/(x)的对称轴是函数

x=巴笠；两个函数y=/*+。)与、=f(b-x)的图象关于直线》=巴笠对称.

21.若f(x)=-f(-x+a),则函数y=/(x)的图象关于点(1,0)对称；若

/(x)=-f(x+a),则函数y=/(x)为周期为2a的周期函数.

22.多项式函数P(x)=anx"++•♦•+%的奇偶性

一项式函数P(x)是奇函数oP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数=P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=f(x)的图象的对称性

⑴函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称=f(a+x)-f(a-x)

of(2a-x)=f(x).

(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=3(对称0f(a+mx)=f(h-mx)

<=>f(a+b-mx)=f{mx).

2虫两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(x)与函数y=/(—x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=/(〃这一。)与函数)?=/(卜一〃比)的图象关于直线苫="2对称.

2m

(3)函数y=f(x)和y=/t(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移a、上移6个单位，得到函数y=/(x-a)+b的图象；若将

曲线f(x,y)=O的图象右移a、上移匕个单位，得到曲线/。一。,^一匕)=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=bo『(b)=a.

27.若函数y=f(kx+b)存在反函数，则其反函数为y=」"T(x)一句，并不是

k

y=[f~'/x+b),而函数y=[/_'(点+匕)是)?=的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

⑴正比例函数/(X)=ex,f(x+y)=/(x)+f(y),/(I)=c.

⑵指数函数f(x)=a\f(x+y)=f(x)f(y'),f(T)=a^O.

(3)对数函数/(x)=log„x,f(xy)=f(x)+/(y),/(a)=1(。>0,aW1).

⑷恭函数f(x)=f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,/(x-y)=fix)f(y)+g(x)g(y)>

XT°X

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)/、(X)=/(X+。),则/(X)的周期T二a；

(2)/(x)=/(x+a)=O,

或f(x+a)=—J—(/(x)丰0),

/(x)

或/(x+a)="(/(x)^0),

/(x)

或;+J/(x)—/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,1]),则/(x)的周期T=2a；

(3)/(X)=1---1---(f(x)H0),则y(x)的周期T=3a：

f(x+a)

⑷f0+々)=1且/(a)=l(/(x1)-/(x2)^l,0<lx1-x2\<2a)，则

1一/区)/(々)

/(x)的周期T=4a；

(5)f(x)+f(x+a)+f(.x+2a)f(x+3d)+f(x+4d)

=f(x)f(x+a)f(x-\-2a)f(x+3d)f(x-}-4a),则/(x)的周期T=5a；

(6)f(x4-a)=/(X)-f(x+a),则/(X)的周期T=6a.

30.分数指数移

㈣1

(1)an-,——(a>G,m,nsN”,且〃>1).

<Ja

-巴1

(2)an-——(〃>0,机，几£N",且〃〉1).

U

31.根式的性质

(1)(标)〃=a.

(2)当〃为奇数时，4a"=a；

r—[a,a>0

当〃为偶数时，Nna"=\a\=<

-a,a<0

32.有理指数第的运算性质

(1)aras=a,+s(a>0,r,sGQ).

(2)(ary=ars(a>0,r,seQ).

(3)(ah)r=arhr(a>0,/?>0,re0).

注：若a>QP是一个无理数，则ar表示一个确定的实数.上述有理指数塞的运算性质，对于无理数

指数塞都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log,N=b=d=N(a>G,a丰l,N>0)

34.对数的换底公式

logN

log4N=--—(。>0,且且加wl,N>0).

log,"a

n

推论logbn=—logq且。>1,根,〃>0,且〃？N>0).

am

35.对数的四则运算法则

若a>0,M>0,N>0,则

⑴log.(MN)=log.M+log°N；

M

⑵log,7二g"Tog”；

(3)log.M"=nlog,M(nGR).

2

36.设函数f(x)=logm(ax+hx+c)(aW0),记A=〃-4ac.若/(x)的定义域为R,则

。>0,且△<()；若/(x)的值域为R,则。>0,且△20.对于。=0的情形，需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若。>0,。>0,工>0,—,则函数y=iog(bx)

aax

⑴当。>。时,在(0」)和(―,+°°)上)'=logrtA.(bx)为增函数.

aa

(2)当。时，在(0」)和(—,+<x>)±y=logflv(hx)为减函数.

aa

推论:设〃>机>1，p>0，。>0，且则

⑴log』5+P)<log〃"

(2)log“加log/<log“-y-.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间尤的总产值y,有)>=?/(1+〃)，

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

f,%,n=1

an=<(数列｛〃"的前n项的和为,=q+2+•♦•+〃〃).

[sn-sn_^n>2

40.等差数列的通项公式

an=〃1+(〃-T)d=+%-d(〃wN*)；

其前n项和公式为

+*n(n-l)

s=——!----=na,+-----------a

n212

d）,1八

=­+（q-—d）n.

41.等比数列的通项公式

。〃二=",q"（n£N*）；

q

其前n项的和公式为

,q±l

\-q

nax,q=\

】一〃

aaq,qHl

或s”=<1-q

n%,q=1

.等比差数列｛%｝：的通项公式为

42a“+]=qan+d,a1=Z?(qW0)

b+｛n-Y)d,q-1

bq"+(db)q"T—d

,q/l

qT

其前n项和公式为

nb+〃(八一l)d,(q=1)

d

(b-—)i—q"+一

1—qq-]l-q

43.分期付款（按揭贷款）

每次还款X=+"）元（贷款〃元,〃次还清，每期利率为。）.

d

44.常见三角不等式

兀

（1）若xc（0,—）,则sinx<x<tanx.

2

⑵若xw（0,工），M1<sinx+cosx<V2.

2

（3）lsinxl+lcosxl>l.

45.同角三角函数的基本关系式

sin

sin2^+cos2^=l,tan。:-----,tan0-cotO=1.

cos。

46.正弦、余弦的诱导公式

n

.，〃兀、(一sina,（n为偶数）

sin(—+a)=<n-\

2

(-1)cosa,（n为奇数）

n

（n为偶数）

，〃兀、(一1户cosa,

cos(—+<z)=<

n+I

(-1)2sina,（n为奇数）

47.和角与差角公式

sin(cr±^)=sincreosolcosasin(3；

cos(a±p)=cosacos+sinersin(3；

/」“、tanz7±tanB

tan(6T±夕)=---------三.

1+tanatanp

sin(a+Q)sin(a-7?)=sin2a-sin2/?(平方正弦公式)；

cos(a+p}cos(a-p)-cos2a-sin2p.

osina+bcosa=\Ja2+/?2sinQz+夕)(辅助角夕所在象限由点(a,b)的象限决

b

定，tan^=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.

32tana

tan2a=--------.

l-tarra

49.三倍角公式

jrjr

sin3。=3sin8-4sin36=4sin6sin(y-6)sin(y+8).

jrjr

cos3。=4cos'8-3COS6=4COS0COS(y-8)COS(y+8)

c八3tantan3八,式八、,兀八、

tan36=------------=tan0tan(---0)tan(—+夕).

l-3tan2^33

50.三角函数的周期公式

函数y=sin（@x+8）,XWR及函数＞=cos（如+夕），X£R（A,"夕为常数，且AWO,（。＞0）

的周期7=2；函数y=tan（ox+3）,xwkr+工，左eZ（A,3,Q为常数，且AWO,3＞o）的

co2

周期丁二%.

co

51.正弦定理

ahc

=-----=-----=2R.

sinA--sinBsinC

52.余弦定理

a2=b~4-c2—2bccosA；

b2=c2+/-2cacosB；

c2=a2+h2-2ahcosC.

53.面积定理

(1)S=—ah=—bh=—ch(/1>%、儿分别表示a、b、c边上的高).

2a20h2ca0c

(2)5=—absinC=—bcsinA=—casinB.

222

22

(3)SAOAB=Iy/(.\OA\\OB\)-(OAOB).

54.三角形内角和定理

在AABC中，有A+8+C=%=C=〃一(A+8)

C7tA+B-,c、

——--------2C=2兀-2(A+B).

222

55.简单的三角方程的通解

sinx=〃x=k7T+(-l)karcsina(ZcZ,lal<1).

cosx=a<=>x=2攵)±arccoso(kGZ,ltzl<1).

tan%=n=x=%乃+arctana(keZ,ae/?).

特别地有

sina=sinpa=k7U+(-1/p(keZ).

cosa=cos夕=a=2k兀±0#乏Z).

tana=tan0=a=k兀+°也wZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<1)=(Ik/r4-arcsina,2kjc+7T-arcsina),keZ.

sinx<a(\al<1)<=>xG(Ikn-n-arcsina.2k/r4-arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<\)xe(2%乃-arccosa,2k7C+arccosa),keZ.

cosx<a(\a\<1)xe(2Z〃+arccosa,2k/r+2〃-arccosa),keZ.

兀

tanx>a(o£R)=>XE(KTT+arctana.k/r-^kGZ.

兀

tanx<a(aw7?)=>xe(kjr----，&；r+arctana),k£Z.

2

57.实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律:入(ua)=(入u)a;

⑵第一分配律：(X+p)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：入(a+b)=入a+、b.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b,a(交换律)；

(2)(Aa)•b=4(a•b)=Aa9b=a*(/lb);

(3)(9b)•c=a,c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果a、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数人

、入2,使得a=入网+人安

不共线的向量叫做表示这•平面内所有向量的•组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a二(再，以)，­(々，当)，且bWO,贝Uab(bW0)0/％一X2)'|=。.

53.a与b的数量积(或内积)

a•b=ab|cos0.

61.a・b的几何意义

数量积a・b等于a的长度lai与b在a的方向上的投影Iblcos0的乘积.

62.平面向量的坐标运算

⑴设a"%,%),4(/2，丁2)，贝Ua+b=(X+%，,+%)•

(2)设a=(斗，%)，b二(九2,当)，则a-b=(再一%,必一%)・

(3)设A(%,以)，B(x2,y2),则AB=OB-OA=(9一%%一必)•

⑷设a=(x,y)"wR,则4a=(2x,2y).

(5)设a=(占，%),b=(々，为)，则a-b=(占4+必必)•

63.两向量的夹角公式

cos0=(所(％,y),b=(X2,必)).

64.平面两点间的距离公式

dAB=\AB^\I^BAB

一无J?+（%一%）2（A（X[,»）,B（X2，%））・

65.向量的平行与垂直

设a=(X]，M)1=。2，＞2)，且bHO,则

A||b=b=Na<=>Xty2~X2yt=0.

aJ_b(aW0)=a・b=0QX1X,+%%=。.

66.线段的定比分公式

设6(和%)，P2(x2,y2),P(x,y)是线段片£的分点，力是实数，且麻=4硒，则

玉+此

A-

1+2Q而

吁M+办’21+A

y__F7r

1

=0尸=%+(1-/)0鸟(t=——-).

1+A

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(X],y)、B(X2,y2),(3(X3,y?),则AABC的重心的坐标是

G(——，—5—).

68.点的平移公式

x=x+h[x=x-h

川^>OP=OP+TP.

y=y-^-k[y=y-k

注：图形F上的任意一点p(x,y)在平移后图形F,上的对应点为P\x,y)，且PP'的坐标为(h,k).

69.“按向量平移”的儿个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x+h,y+k).

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=(〃,A)平移后得到图象C',则C'的函数解析式为

y=f(x-h)+k.

(3)图象C.按向量a=(/?,Z)平移后得到图象C,若C的解析式y=/(x),则C'的函数解析式为

y=f(x+h)-k.

⑷曲线C：/(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C的方程为

f(x-h,y-k)=Q.

(5)向量rn=(x,y)按向量a=(/?,k)平移后得到的向量仍然为10=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充耍条件

设。为A4BC所在平面上一点，角A,8,C所对边长分别为a,/7,c,则

’―2'一2’’-2

(1)。为AABC的外心=04=OB=OC.

(2)。为AA8C的重心=OA+。8+OC=6.

(3)。为AA5C的垂心00405=080C=0C04.

(4)。为AA8C的内心=++c。。=6.

(5)。为A4BC的NA的旁心<=>。。4=/?。3+cOC.

71.常用不等式：

(1)a,beR=>a2-^-b2>2ab(当且仅当a=b时取“二”号).

(2)a,beR+(当且仅当a=b时取“二”号).

2

(3)tz34-/?34-c3>3abc(a>0,Z?>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,d&R.

(5)同—|ft|<|a+fe|<|a|+\b\.

72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

(1)若积xy是定值p,则当x=y时和x+y有最小值24；

12

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积盯有最大值一S：

4

推广已知x,yeR,则有(x+y)?=(x-y)2+2xy

(1)若积盯是定值,则当Ix-yI最大时，Ix+yI最大；

当Ix-yI最小时，Ix+yI最小.

(2)若和lx+yI是定值，则当lx-yl最大时，1孙1最小；

当lx-yl最小时，Ixyl最大.

73.•元二次不等式ax?+/?x+c>0(或<0)(。/(),△=A?-4ac>0),如果a与

ax^+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与aV+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之:

同号两根之外，异号两根之间.

X1<x<x2=(X-X|)(x-)<0(Xj<x2);

X<X],或X>X?O(x—X1)(X-X2)>0(X]<x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

\x\<ax2<a'o-a<x<a.

卜|>4<=>》2>42<=>》>4或》<-a.

75.无理不等式

f/(x)>0

⑴J/(X)>Jg(x)=<g(x)>0

f(x)>g(x)

f/(x)>0,

I——i/(x)>0

⑵，76>g(X)Q《g(X)20或｛

g(x)<0

|/(X)>[g(X)f73

/W>0

(3)J/(x)<g(x)=<g(x)>o

J(x)<[g(x)f

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a>1时，

af(x)>ag(x><=>f(x)>g(x)；

7w>o

log“f(x)>log“g(x)=<g(x)>。•

fM>g(x)

(2)当0ca<1时，

afM>asMo/(x)<g(x)；

/(x)>0

logJ(X)>log.g(x)=<g(x)>0

/(x)<g(x)

77.斜率公式

k=~~~—(6(X[,y)、P,(x,,y2)).

%-玉

78.直线的五种方程

(1)点斜式y-y=k(x-xj(直线/过点4(X|，x),且斜率为k).

(2)斜截式y="+匕(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式~~—=—(yH%)(q(X]，x)、P^x2,y2)(/。工2)).

%一弘超一网

XV.,_,

(4)截距式一+上=1(。、/?分别为直线的横、纵截距，a、。。0)

ab

(5)一般式Ax+8y+C=0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

⑴若/]:y二审+A,l2:y=k2x+b2

①/1III?Oh=《,AWb?:

②4_L4=k1k?=—1.

⑵若4:A]X+4y+G=012：ax+82)'+C2=0,且Ai、M、B]、B2都不为零,

®z,HZ2«A=A^£L；

12

A,B2C2

②4_L12=A4+A坊=0；

80.夹角公式

.k—k,.

(1)tan6^=1^=9---Ll.

1+k2ky

(/):y=k}x+b],l2：y=k2x+b2，k1k2w-l)

d同一4用।

⑵tana=1—---I.

44+B]B)

(ll:Alx+Bly+Cl=0,l2:A2x+B2y+C2=0,A出+8出2w0).

直线时，直线6与/，的夹角是X.

•2

81.4到4的角公式

忆2-h

⑴tana=—=--L

1+小

U：)，=&/+4,l2：y=k2x+b2ik}k2^-l)

AB2-4用

(2)tana-

4A)+B]B2

(/):AjX+Bjy+Cj=0,/2:A2x+B2y+C2=0MJA2+B(B2WO).

,..71

直线4_L/2时，直线4到，2的角是一.

2

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点《(x。，%)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(除直线x=Xo),

其中人是待定的系数；经过定点外(X。，先)的直线系方程为A(x—X。)+8(y一%)=0，其中A,6

是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线4:Ax+Bj+G=0,/2:?UX+52>>+C2=0的交点的直线

系方程为(4x+B])>+£)+A(AX+4)，+。2)=0(除4)，其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线？=区+6中当斜率k•定而b变动时，表示平行直线系方程.与

直线Ax+8)，+C=0平行的直线系方程是Ac+8)，+4=0(2^0),人是参变量.

⑷垂直直线系方程：与直线Ax+8y+C=0(AWO,B#o)垂直的直线系方程是

Bx—Ay+2,—Q,x是参变量.

83.点到直线的距离

d=।+By之。।(点p(x0,%)，直线/：Ax+8)：+C=0).

y/A2+B2

84.Ax+8y+C>0或<0所表示的平面区域

设直线/:Ax+By+C=0,则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：

若8/0,当3与Ax+By+C同号时，表示直线/的匕^的区域；当8与Ax+By+C'异号时,

表示直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若8=0,当A与4x+6)，+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ax+5)，+C异号时,

表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.(4x+B,>1+C,)(Ax+B?)，+Q)>0或<0所表示的平面区域

设曲线C:(4》+4>+。])(4》+82)'+。2)=。(一小用冬〉。),则

(4x+4y+GXA?x+82〉+。2)>。或<0所表示的平面区域是：

(4犬+4y+G)(&x+B2y+C2)>0所表示的平面区域上下两部分；

(々y+C,)(A2X+B2y+C2)<0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-8)2=/

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

x=a+rcosff

(3)圆的参数方程

y=8+rsin。

(4)圆的直径式方程。一王)(工一%2)+“一)1)0—%)=0(圆的直径的端点是人(王，弘)、

B(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点A(X，yJ,6(X2，%)的圆系方程是

(x-xi)(x-x2)+(y-y,)(y-y2)+/l[(x-x1)(y1-y2)-(y-yl)(x1-x2)]=0

0(x-%)(x—％)+()'—y)(>一为)+4(。工+by+c)=0,其中QX+by+c=0是直线AB

的方程，入是待定的系数.

(2)过直线/:Ax+8y+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey^F=0的交点的圆系方程是

x?+y"+Dx+Ey+F+4(Ax+By+C)=0,入是待定的系数.

222

(3)过圆C]：x4-y+£)[%+国y+K=0与圆C2:♦+y4-£)2x+E2y+/s=0的交点的

2

圆系方程是厂+厂+Dxx++片++y+D2x+E)y+工)=0,人是待定的系数.

88.点与圆的位置关系

点户(%,九)与圆。一")2+(y-b)2=户的位置关系有三种

若d=J(a-Xo)2+3—0产，则

d>r0点P在圆外；d=r0点P在圆上；d<r=点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线Ax+8)，+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=产的位置关系有三种:

d>r。相离=>△<()；

d=r=相切=△=()；

d<ro相交=△>().

|Ao+Bh+C|

其中d=

U-+B2

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0”02,半径分别为n,r2,\OtO2\^d

d>八+G0外离<=>4条公切线；

d=八+G=外切=3条公切线；

卜।一rj<"<八+々0相交=(2条公切线；

d=,-2|-内切=1条公切线；

0<d<匕一々|=内含=无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆x2+),2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切点(Xo，y())在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x+x)E(y0+y)

+%y+—0—+——+尸=o,

当(x。，％)圆外时，XoX+x)y+空手立+生产)+尸=0表示过两个切点的切点

弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为y-X)=k(x-x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线，

注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为y=入+匕，再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆x2+y2=r2.

2

①过圆上的兄(%,%)点的切线方程为xox+yoy=r；

②斜率为k的圆的切线方程为y=kx±r\Jl+k2.

x2v2=acos0

92.椭圆=+一=1(。>6>0)的参数方程是<

ab[y=bsine

x2y2

93.椭圆—+彳=1(。>b>0)焦半径公式

ab~

22

|PF,|=e(x+—).\PF2\=e(---x).

94.椭圆的的内外部

2222

(i)点P(x0,y0)在椭圆一+“r=l(a>匕>0)的内部u*-y+<1.

ab"ab~

2222

(2)点P(x(),y0)在椭圆―7+-^~=1(。>b>0)的外部Q—Y+>1.

ab~ab

95.椭圆的切线方程

22

(1)椭圆一=1(。>b>0)上一点P(x(py0)处的切线方程是‘M+=1.

abab

xv

(2)过椭圆一■+彳=1(。>/?>0)外一点尸(须)，先)所引两条切线的切点弦方程是

a'b~

a2b2

22

(3)椭圆I+=1(。>/?>0)与直线Ar+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c2.

ab

22

96.双曲线三一七■=1(。>0,b>0)的焦半径公式

a~b

22

|PFd=le(x+—)1,\PF2\^e(---x)l.

cc

97.双曲线的内外部

2222

⑴点P(X0,%)在双曲线—=1(。>0,6>0)的内部-->1.

a-bab~

y222

(2)点P(x,y0)在双曲线—z------=1(。>0,/?>0)的外部=------T-<1.

0ab"cTb~

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

xyxyb

(1)若双曲线方程为-----^-=ln渐近线方程：—z-----5~=0=y=±—%.

ab-a~ba

22

(2)若渐近线方程为'=±2》=二±£=on双曲线可设为二—二=入.

aaba'b~

2v2