2023年高考全国甲卷数学试题试卷历年真题及答案解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

1设集合A={x|x=3k+1,左£Z},B={%|x=3k+2,左wZ},0为整数集，为（4与）=

A.{x\x-3k,kGZ}B.{x\x=3k—l,kGZ}

C.{x|x=3k-2,keZ]D.0

2.若复数(a+i)(l-ai)=2,aeR,则。=(

3.执行下面的程序框遇，输出的5=（

（开始）

n=n+1

/输出B/

4.向量同=忸|=1,卜|=0,且a+/>+c=o，贝！lcos〈a—c,〃一2〉=()

5.已知正项等比数列{%}中，q=1,S〃为{叫前〃项和，S5=5S3-4,则$4=（）

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部概率为（）

A.0.8

1

7.44sin2«+sin2p=1sintz+cos=055（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

22

8.已知双曲线二-斗=1（。>0/>0）的离心率为石，其中一条渐近线与圆（X—2）2+（y—3/=1交于A,

ab

B两点,则|AB|=（）

A1R迷「2君n475

5555

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连

续参加两天服务选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

10.己知/（尤）为函数y=c（42x+g]向左平移四个单位所得函数，则丁=/（力与丁=!兀—’的交点个

I6J622

数为（）

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD为正方形，A5=4,PC=PD=3,NPC4=45°,贝U,PBC的面

积为（）

A.2A/2B.3亚C.4&D.50

22§

12.己知椭圆=耳，工为两个焦点，。为原点，尸为椭圆上一点，cosN《Pg=《，贝U|PO|=

（）

A2R同r3n735

5252

二、填空题

13.若y=（x-l）2+ax+sin[x+]]为偶函数，则。=.

-2x+3y<3

14.设尤，y满足约束条件（3x-2y«3,设z=3x+2y,则z的最大值为.

x+y>l

15.在正方体ABC。-44GR中，E,尸分别为CDA用的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条

2

棱的交点总数为.

16.在ABC中，AB=2,ZBAC=60°,BC=46,。为上一点，为/B4c的平分线，则AT>=

三、解答题

17.已知数列｛。“｝中，％=1，设S”为｛a.｝前〃项和，2Sn=nan.

(1)求｛4｝的通项公式；

\a+11

(2)求数列的前〃项和北.

18.在三棱柱A3C-4用。］中，A4=2,AC，底面ABC,ZACB=90°,&到平面5CC1用的距离为1.

(1)求证：AC=AC；

(2)若直线Ad与8耳距离为2,求A与与平面5CC4所成角的正弦值.

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组

(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数相，并完成下面2x2列联表：

<m>m

对照组

3

实验组

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据:

k。0.100.050.010

p(x*)2.7063.8416.635

20.已知直线x—2y+l=0与抛物线C:y2=2»(p>0)交于两点，且|AB|=4屈.

(1)求P；

(2)设C的焦点为RM,N为C上两点，MF-NF=0>求」MN/面积的最小值.

-，心，/、sinx(c兀、

21.已知/(x)=ax---,xe0,—

cosxI2J

(1)若a=8,讨论了⑺的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

四、选做题

x=2+tcosa

22.已知P(2,l),直线/:<,,。为参数)，a为/的倾斜角，/与x轴，y轴正半轴交于A,B两

y=l+tsma

点，|PA|-|P5|=4.

(1)求a的值；

(2)以原点为极点，无轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

23.已知/(x)=2|x-a|-a,a>0.

(1)求不等式/(x)<x解集；

(2)若曲线y=/(x)与坐标轴所围成的图形的面积为2,求a.

4

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学

一、选择题

)设集合A=[x\x=3k+1,k&Z},B={x\x=3k+2,左eZ},u为整数集，,3)=

()

A.{x\x—3k,k^7j}B.{x|x=3k-l,k&Z]

C.{x\x=3k-2,k&Z}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集

Z={x|x=3左，左eZ}{x|x=3左+1,左eZ}」{x|x=3左+2,左eZ},U=Z,所以，

①(人5)={x|x=3A,keZ}.

故选：A.

2.若复数(a+i)(l—ai)=2,awR,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为+—ai)=a—a~i+i+a=2a+(1—t/2)i=2,

2a=2

所以,解得:a=\.

1—a2=0

故选：C.

3.执行下面的程序框遇，输出的3=()

5

（开始）

n=\,A—\,B=2

A=A+B

B=A+B

---n=n+\

/输％B/

（结束）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.

【详解】当〃=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=l+2=3,B=3+2=5,

〃=1+1=2；

当〃=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8,6=8+5=13,

〃=2+1=3；

当〃=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21,5=21+13=34,

〃=3+1=4；

当〃=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出5=34.

故选：B.

4.向量何=忸|=1,k|=后，且a+/>+c=o，贝!Icos〈a—一c〉=（）

1224

A.——B.——C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为a+b+c=O,所以与+b=-c，

即12+户+2第B=*，即1+1+•Z?=2，所以。=0'

如图，设。4=a,OB=6,OC=c,

6

c

由题知,OA=OB=1,OC=e,.QAB是等腰直角三角形，

A8边上的高。。=1,AD=1,

22

所以8=。。+。。=0+变=逑，

22

tanNACD==—,cosNACD=-

CD3710

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

5.己知正项等比数列｛%｝中，4=1,5.为｛4｝前〃项和，S5=5S3-4,则S4=()

A7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出关于q的方程，计算出q,即可求出邑.

【详解】由题知l+q+/+q3+q4=5(l+q+/)―4,

即7+,4=4g+4q2,即/+g2_4g_4=0,即(q-2)(q+1)(4+2)=0.

由题知q>0,所以4=2.

所以S,=1+2+4+8=15.

故选:C.

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若

已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

7

【解析】

【分析】先算出报名两个俱乐部的人数，从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部

的概率，利用条件概率的知识求解.

【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60—70=40,

记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件8,

则P(A)='50=工5P(AB)=4，0=4—,

707707

4

所以A)=今箸=弓=0.8.

7

故选:A.

7.-sin20+sin2尸二1”是“sina+cos/=0”的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

JT

【详解】当sinZa+sii?尸=1时，例如。=5，尸=0但sina+cos^wO,

即sin2a+sin2/3=\推不出sina+cos4=0；

当sina+cos)3=0时，sin2a+sin2(3=(-cosP'y+sin2/3=1,

即sina+cos/?=0能推出sin2a+sin24=1.

综上可知，sin2a+sin2/?=l是sin(z+cos夕=。成立的必要不充分条件.

故选：B

22

8.己知双曲线二-当=1(“>0,6>0)的离心率为迷，其中一条渐近线与圆

ab

(x—2)2+(y—3>=1交于A,B两点，则|AB|=()

A1R布「26n4君

D.k_z.-----------LJ.----

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

8

【详解】由6=石，则《

b

解得2=2,

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2无,

则圆心(2,3)到渐近线距离d=II----------I=—

所以弦长|A3|=/=2^1-1=%.

故选：D

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务,

则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()

【答案】B

【解析】

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为a,"c,d,e,

假设。连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服

务，共有A；=12种方法，

同理："c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

10.已知/(%)为函数y=cos[2x+V]向左平移E个单位所得函数，则y=/(x)与

y=!的交点个数为()

22

【答案】C

【解析】

【分析】先利用三角函数平移的性质求得了(x)=—sin2x,再作出与—g的

部分大致图像，考虑特殊点处/(%)与丁=3工-g的大小关系，从而精确图像，由此得解.

9

【详解】因为y=cos（2x+《J向左平移看兀个单位所得函数为

6

=cos2x+—=-sin2x,所以/(%)二一sin2x,

而,=显然过与（1,。）两点,

作出/（%）与y=gx—g的部分大致图像如下,

七4c3兀3兀c7兀3Ji3兀7兀\,11,,

考虑2%=-----,2%=—,2%=—，即nnx=------,x——,x——处/(%)与y——五—的

222444'，22

大小关系,

所以由图可知，/（X）与y=；x—；的交点个数为3.

故选：C.

11.在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为正方形，A5=4,PC=PD=3,NPC4=45。,

则.PBC的面积为（）

A.2aB.3&C.4夜D.5a

【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得一尸。0占PCO,PDB=PCA,

从而得到Q4=P5，再在△Z4C中利用余弦定理求得P4=J万，从而求得尸8=后,

由此在1cPBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；

10

法二：先在△9。中利用余弦定理求得P4=JI7,cosZPCB=-,从而求得

3

PAPC=-3，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB/BPD的方程组,

从而求得尸3=J万，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.

【详解】法一：

连结AC,5。交于。，连结P0,则。为AC,5。的中点，如图，

因为底面ABCD为正方形，AB=4,所以AC=8。=4后，则。O=CO=2后，

又PC=PD=3,PO=OP,所以.PDOM.PCO,则NPDO=NPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=40，所以_PDBM_PC4，则B4=PB,

在ZkR4c中，PC=3,AC=472,ZPCA=45°,

则由余弦定理可得

LJ2

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4V2x3x—=17，

2

故=则PB=厉,

故在PBC中，PC=3,PB=4n,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<7i,所以sinNPCB=Jl—cos?NPCB=,

所以PBC的面积为5=,「。­3。5也/「。3=4*3、4><宜2=40'.

223

法二：

连结AC,5£）交于。，连结P0,则。为AC3D的中点，如图，

11

因为底面A6CD为正方形，AB=4,所以AC=8。=4J5,

在△B4C中，PC=3,NPC4=45。，

则由余弦定理可得

历

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPG4=32+9-2X4A/2x3x—=17,fePA=717,

2

PA2+PC2-AC217+9—32好则

所以cos/APC=

2PAPC2x^x3

/

PA-PC=|PA||PC|cosZAPC=V17X3X

不妨记PB=m,/BPD=0,

因为po=g(^4+pc)=；(p8+pr)),所以(PA+PCJ=(P8+P£)『，

2222

即PA+PC+2PAPC=PB^+PD+2PB-PD-

贝iJ17+9+2x(—3)=m2+9+2x3xmcose,整理得+6〃2cos，-11=0①，

又在△PSD中，BD2=PB2+PD2-2PB-PDcosZBPD，即32=M+9—6/cos，，

则nr—6mcos，-23=0②，

两式相加得2〃/—34=o，故PB=m=历,

故在PBC中，PC=3,PB=yfn,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-17_1

所以cosNPC3=

2PCBC2x3x4-3

又。<NPCB<TI,所以sinNPCB=J1—cos?NPCB=正

3

所以PBC的面积为5=,「。­3。5也//＞。3=4乂3、4'冬旦=40'.

223

故选：C.

12

223

12.己知椭圆土+匕=1,耳，片为两个焦点,O为原点，尸为椭圆上一点，cosNFFF,=_,

96-5

则1Poi=()

A2病r3nV35

5252

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△产大心的面积，即可得到点尸的坐标，

从而得出的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出归片||尸耳|,归片「+|尸乙「，再结合中线的向量

公式以及数量积即可求出；

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出+忙月『，即可根据中线定理求出.

jr=b2tanNRPF?=/tan0,

【详解】方法一：设N4pg=2ao<e<5,所以网

2

222

,…cnc八cos6(-sin01-tan03的/日八1

由cosPR=cos29=—；------『=-------解得:tan夕=一

cos2^+sin2^1+tan2^52

由椭圆方程可知，a2=9/2=6,02=/—片=3,

所以，Sp"2=gx|百心冈”=；*26义卜卜6义；，解得：%=3,

即$=9义124因此|。耳=6+片=Kl=等.

故选：B.

方法二：因为|尸片|+|P闾=2a=6①，|P制?+忸用「―2忸制归用/片程=闺囚2,

即归片『+卢闾2一1归即班上醛②，联立①②，

而」,月+P£),所以

PO|OP|=\PO\=^\PFI+PF2\,

22

即IM=+*=与呵+2P&PF]+国=；，21+2"：义?=呼.

乙乙,乙VJ乙乙

故选：B.

13

方法三：因为归耳|+卢闾=2a=6①，归片广+归呼―2归用归闾/耳”=闺耳「，

即归用2+卢月「__|归用p闾=]2②，联立①②，解得：忸用2+忸用2=21,

由中线定理可知，(2|0耳)2+|可闻2=2仍用2+归用2)=42,易知闺闾=26,解得:

故选：B.

【点睛】本题根据求解目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解

出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可

以直接用中线定理解决，难度不是很大.

二、填空题

13.若y=(x-l)2+ax+sin[x+5)为偶函数，则。=.

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函数的性质得到了，从而求得。=2,再检验即可得解.

【详解】因为y=/(x)=(x-iy+ax+sin%-1)-+OX+COSX为偶函数，定

义域为R,

---d+cosH--Cl+COS——，

则Tia=+1J—g—ij=2兀，故〃=2,

止匕时/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+l+cosx，

所以/(-%)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定义域为R,故/(x)为偶函数，

所以4=2.

故答案为：2.

一2x+3y<3

14.设x,y满足约束条件3x—2y«3,设z=3x+2y,则z的最大值为

x+y>1

14

【答案】15

【解析】

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.

【详解】作出可行域，如图，

3z

由图可知，当目标函数y=过点A时，z有最大值,

-2x+3y=3x=3

由＜可得1c，即43,3),

3x-2y=3[y=3

所以Zmax=3x3+2x3=15.

故答案为：15

15.在正方体ABCD—A4CR中，E,尸分别为。，&四的中点，则以所为直径的球

面与正方体每条棱的交点总数为.

【答案】12

【解析】

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2,所中点为。，取A3,8月中点G,M,侧面的

中心为N,连接FG,EG,OM,ON,MN,如图,

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF='FG+EG2=打+2?=2拒，

即R=y[2,

则球心。到BB[的距离为OM=yJON2+MN2=Vl2+12=也，

15

所以球。与棱8片相切，球面与棱8片只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以EE为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12

16.在ABC中，AB=2,NBAC=60。,BC=娓,。为8C上一点，为/B4。的

平分线，则AD=.

【答案】2

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根据等面积法求出A。；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出民C,即可根据三角形的特征求出.

如图所示：记AB=c,AC=Z?,6C=Q,

方法一：由余弦定理可得，22+从-2x2xZ?xcos60=6，

因为b>0,解得：b=\+5

由sABC-sABD+sACD可得，

—x2x/?xsin60=—x2xADxsin30+—xADx/?xsin30,

222

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+ZJ2-2X2XZ?XCOS60=6,因为>>0,解得：b=\+6，

由正弦定理可得，4—=—=?—，解得：sin3=《史，sinC=—，

sin60sinBsinC42

因为1+6>指>0，所以C=45，5=180-60-45=75，

又N5AD=30°，所以NAD3=75,即AD=AB=2.

故答案为：2.

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以

16

用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

三、解答题

17.已知数列｛%｝中，%=1，设乂为｛4｝前力项和，2s

(1)求｛a.｝的通项公式；

(2)求数列[4/]的前〃项和

【答案】(1)1

2-。+明

⑵1=

【解析】

S],M=1

分析】(1)根据4=1°c即可求出；

(2)根据错位相减法即可解出.

【小问1详解】

因为2Sn=nan,

当力=1时，2%=%,即％=0；

当〃=3时，2。+〃3)=3/，即。3=2,

当〃之2时，2sM=(〃—1)%_1,所以2(S72—=加j(“-1)的=2%，

化简得：(〃—2)a“=(〃—I)4*当心3时，R=&==-y=1,BP<2„=H-1,

当“=1,2,3时都满足上式，所以4="—l(〃wN*).

【小问2详解】

因为竽管所以-lx©+2x/+3x©++N，

*嗯卜如……[AS

两式相减得，

1

-x

17

I|，即[=2—（2+〃）g],“eN*.

18.在三棱柱ABC-A31cl中，A4=2,AC-L底面ABC,ZACB=90。，&到平面

BCC］B］的距离为1.

(2)若直线A/与83］距离为2,求AB】与平面BCGB］所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得4。，平面5CG4,再由勾

股定理求出。为中点，即可得证；

(2)利用直角三角形求出AB】的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【小问1详解】

如图，

底面ABC,BCu面ABC,

.,又3C，AC,ACACu平面ACG4，^CoAC^C,

.•.BCL平面ACGA1,又BCu平面3。。1片,

平面ACGA，平面BCCdi,

18

过A作AQLCC]交CG于。，又平面ACG4'平面BC£4=C4，^Ou平面

ACQ4,

.・.A。1•平面BCCK

A到平面5CG用的距离为1,...40=1,

在Rtz^acC]中，4C，4G，cCi="=2,

设CO=x,则C]O=2—X,

•.•△AOGAAOCpAACQ为直角三角形，且CG=2,

22222

CO-+\O=\C,AXO+OCl=C1A)+=C1C,

.-.l+x2+l+(2-x)2=4,解得x=l,

AC=A^C=A6=V2,

AC-AXC

【小问2详解】

.AC=^CPBC±ACBC±AC,

RtAACB^RtA4CB

BA=BA1,

过8作交A&于。，则。为AA]中点，

由直线AA与8月距离为2,所以BD=2

4。=1,BD=2,：.AB=AB=5

在RgABC，;.BC=dAB2-AC?=6,

延长AC,使AC=CM,连接

由CM//^CM=4G知四边形ACMC,为平行四边形，

.•.C]M〃AC，平面ABC，又AMU平面ABC,

C[M±AM

则在RtAACjM中，AM=2AC,CXM=4C,AC,=^(2AC)~+\C~,

在RtZVLBCi中，AQ=7(2AC)2+4C2,BG=BC=6,

：.AB}=J(2⑸+(9+(回=岳,

又A到平面BCCR距离也为1,

19

所以AB】与平面BCC】Bi所成角的正弦值为二=叵.

s/1313

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加

药物)和实验组(加药物).

(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望;

(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数相，并完成下面2x2列联表:

<m>m

对照组

实验组

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

参考数据:

ko0.100.050.010

p(f2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列见解析，£(X)=1

(2)(i)%=23.4；列联表见解析，(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；

(2)(i)根据中位数的定义即可求得相=23.4,从而求得列联表;

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【小问1详解】

依题意，X的可能取值为01,2,

则P(X=0)=等=*P(X=1)=胃q,P(X=2)=警

Ko。403,。40

所以X的分布列为:

X012

20

192019

P

783978

一/、八c19,20c19,

故E(X)=0x---1-1x---F2x—=1.

783978

【小问2详解】

（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20

位与第21位数据的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第11位数据为14.4,后续依次为

17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,

故第20位为23.2，第21位数据为23.6，

23.2+23.6

所以加==23.4

2

故列联表为:

<m>m合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

(ii)由⑴可得，K=40X(6X6_14X14)2=6.400〉3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

20.已知直线x—2y+l=0与抛物线C:y2=2px（〃>0）交于两点，且|AB|=4曲.

（1）求P；

（2）设C的焦点为EM,N为C上两点，MF.NF=0,求右肱\不面积的最小值.

【答案】（1）p=2

⑵12-80

【解析】

【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；

（2）设直线肱V：x=my+n,河（玉,％）,7^（%,%），利用板・酒=0，找到以〃的关

系，以及，脑\不的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值.

【小问1详解】

21

设人仁,力)，^^，力)，

fx-2y+l=00

由<,c可得，y'-4py+2p^0,所以VA+VB=2p,

[y~=2px

所以|AB|=J(x.f=若|%一%|=百*J=4岳,

即2p2—〃—6=0,因为p>0,解得：p=2.

【小问2详解】

因为b(1,0),显然直线MV的斜率不可能为零，

设直线肱V：x=my+n,，

y2=4x

由《可得，y2-4my-4n=Q,所以，/+%=4加,=-4〃，

x=my+n

A=16m2+16n>0^>m2+n>0，

因为〃F-NF=0，所以+=0，

即(如1+〃-1)卜佻+"-1)+%%=0，

亦即(mr+1)%%+m("-1)(弘+%)+("—1)2=0，

将%+%=4加,%%=—4〃代入得，

2

4m=“2_6n+1,4（疗+"）=（〃-1）2>0,

所以“W1,且“2—6〃+1之0，解得"》3+2后或〃<3—2行.

设点厂到直线MN的距离为"，所以

\MN\=J（七一莅『+（%一%）2=Vl+m2IX-％I=VT+m2V16m2+16n

=2y/1+m2-6n+l）+16n=m2\n-1|,

所以二ACVF的面积S='x|肱V|xd=-x-j2=Lx271+m2|n-l|=（n-1）2,

22yji+tn2

而〃》3+2形或〃<3—2形，所以，

当〃=3—20时，_MVb的面积5mhi=（2—2jl）2=i2—80.

【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到机，〃的关系，一是为了减元，二是通

过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面

积的最小值.

22

,smx„7t

21.已知/(x)=ax------,xe0,—

cosxI2J

(1)若a=8,讨论/(x)的单调性;

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析.

(2)(-oo,3]

【解析】

【分析】(1)求导,然后令"cos?%,讨论导数的符号即可;

(2)构造8。)=/(%)-5也2%,计算一(无)的最大值,然后与0比较大小，得出。的分界点，再对

a讨论即可.

【小问1详解】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

cos6x

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a-------J-----=a------4---

cosxcosx

令cos2x=/,则，e(0,1)

q—力at+2/—3

贝U/'(x)=g«)=a-----

(21)(4+3)

当a=8,(x)=g(f)=——不

当即“，与抖，(%)<。