2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第五章　函数应用

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第五章函数应用

（全卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列函数的零点不能用二分法求解的是（）

A.f（x）=x3-lB.f（x）=lnx+3

C.f（x）=x2+2x+lD.f（x）=-x2+4x-l

2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子•天下篇》中说："一尺之梗，日取其半，万世

不竭用现代语言叙述为："一尺长的木棒，每天取其一半,永远也取不完这样,

每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把"一尺之梗"看成单位"1",那么x

天后剩下的部分y与X的函数关系式为（）

11

A.y=-x（xGN+）B.y=％2（X£M）

1

x

C.y=2（xGN+）D.y=/（x£N+）

3.甲醛通常为无色气体,有刺激性气味.甲醛有很多用途,室内装修常用的板材、油

漆、地毯、壁纸等都含有并会释放甲醛，而且甲醛的浓度一旦过高，将会引起中毒,

因此新房装修后一般都需要测试甲醛浓度.甲醛的浓度y（单位:mg/m3）随温度

x（单位。C）的变化的函数关系为y=aeb0在某次甲醛测试中,室温为20°C时甲醛

的浓度是室温为10°C时甲醛浓度的3倍，那么室温为40°C时甲醛的浓度是室温

为20°C时甲醛浓度的（）

A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍

4.明清时期,古镇河口因水运而繁华.若有一商家的货船从石塘沿水路顺水航行，前

往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水

中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货

船与石塘的距离为y（千米），则下列各图中,能反映y与x之间函数关系的大致图

象是（）

ARD

5.若f(x)为奇函数，且xo是y=f(x)-ex的一个零点,则下列函数中,-xo一定是其零点

的是()

A.y=f(x)ex+1

B.y=f(-x)eX-1

C.y=f(x)ex-1

D.y=f(-x)ex+l

6.教室通风的目的是通过空气的流动才非出室内的污浊空气和致病微生物,降低室

内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气

中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于或等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含

有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单

位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+入e焉(入£R)描述则该教室内的二氧化

碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据：ln3yLi)()

A.U分钟B.14分钟

C.15分钟D.20分钟

7.已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3(m£R),若关于x的方程f(x)=0有实数根，且两

根分别为X1,X2,则(X1+X2>X1X2的最大值为()

A.|B.2

C3D；

8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+8)上是减函数，若f

G)>0>f(遮)厕方程f(x)=0的根的个数是()

A.2B.2或1

C.3D.2或3

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0

分)

9.已知函数f(x)=log2X-x+2,在下列区间中，一定包含f(x)零点的是()

A1,l)B.[l,2)

C.[3,4)D.[4,5)

10.下列函数中，有2个零点的函数是()

A.y=lgxB.y=2x

C.y=|x|-1D.y=elxl-2

IL设方程|x2-3|=a的解的个数为m,则m的值可能为()

A.1B.2

C.3D.4

12.已知函数f(x)=a(2久+或-1)72+25必北£尺),若函数丫=取)与函数丫=的仅))

的零点相同，则a-b的值可能为()

A.-1B.1

C.-2D.0

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

13.用二分法研究函数f(x)在区间(0,1)内的零点时,计算得f(0)<0,

f(0.5)<0,f(l)>0,那么下一次应计算x=

时的函数值.

14.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，当销售额x为8万

元时，奖励金额y为1万元;当销售额x为64万元时，奖励金额y为4万元.若公

司拟定的奖励模型为y=alog4X+b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应

为万兀.

15.已知函数f(x)=『：y若函数g(x)=f(x)-m有三个零点厕实数m的取

值范围是.

16方程x2+V2x-l=0的解可视为函数y=x+应的图象与函数y=1的图象交点的

横坐标.若方程x4+ax-4=0的各个实数根XLX2,...,Xk(k“)所对应的点

&,：)。=12...,1<)均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(10分)用二分法证明方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一的实数解，并求出这

个实数解的一个近似值(精确度为0.1).

参考数据：

X1.1251.18751.251.3751.5

2x2.182.282.382.592.83

18.(12分)已知函数f(x)=2x-Ea£R).

⑴若f(x)为奇函数求a的值；

(2)若方程f(x)=a在x£[0,1]上有且仅有一个实数根，求a的取值范围.

19.(12分)某化工厂每天排放污水的污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为

f(x)=|log25(x+l)-a|+2a+l,x£[0,24],其中a为污水治理调节参数，且a£(0,1).

(1)若a求一天中该厂排放污水的污染指数最低的时刻；

(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天排放污水的污染指数,要使该厂每天的排放

污水的污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内？

20.(12分)已知函数f(x)={[:，黑乜)的值域为M,函数g(x)=4x-2x+i(x£M).

⑴求M;

(2)求函数g(x)的值域;

⑶当XGM时,若函数h(x)=4x-2x+i-b(b£R)有零点求b的取值范围，并讨论零

点的个数.

21.(12分)已知函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x£|,4,m为常数.

(1)若函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；

(2)若函数f(x)有两个互异的零点求实数m的取值范围及。平的值.

22.(12分)小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌"加工厂.根

据市场调研,她得出了一组毛利润y(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)的数据如

下：

投入成本X0.5123456

毛利润y1.061.2523.2557.259.98

为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型

f(x)=ax2+b(a/0),g(x)=p-2x+q(p/0)中选一个进行预测.

(1)根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请

你根据给定的数据选出一个较好的函数模型进行预测(不必说明理由)，并预测她

投入8万元的毛利润；

(2)若小萌准备最少投入2万元开办加工厂,请利用(1)中选定的模型，预测加工厂

毛利润率r的最大值，并说明理由.毛利润率二彘

答案与解析

第五章函数应用

ir对于c,f(x)=(x+i)2N。,此函数零点为不变号零点,不能用二分法求解.

2.P由题意可得,剩下的部分依次为翡t，…,因此X天后剩下的部分y与X的函数

关系式为y=Hx£N+),故选D.

3。由题意得益=3,即e1ob=3〃•.益=e20b=(e叱2=9,

即室温为40°C时甲醛的浓度是室温为20°C时甲醛浓度的9倍.

4.A由题意可得,货船从石塘到途中刚出现故障这段时间,y随x的增大而增大，

因故障停留的这段时间,y随x的增大而不变，解除故障到到达河口这段时间,y随

x的增大而增大，从河口返回石塘的这段时间,y随x的增大而减小，故选A.

5.A是y=f(x)e的一个零点/.f(xo)B=O.

又」(x)为奇函数〃才(-xo)=-f(xo),

..-f(-Xo)-ez°=0,即f(-Xo)+ex°=0,..f(-Xo)e-x°+1=0,

・••-Xo一定是y=f(x)ex+l的零点.

6.A依题意可知t=0时,y=0.2,即0.05+入=02解得入二。15,所以

y=0.05+CH5eV油O.O5+O.15eko.L得/冬,两边同时取以e为底的对数得-

^<ln|=-ln3加1.L解得坨U,所以至少需要11分钟.

7.B■.xi+X2=-2m,xiX2=2m+3,

.■.(xi4-X2)-xiX2=-2m(2m+3)=-4^m++*

在方程f(x)=O中,A=4m2-4(2m+3)",解得mw-1或mN3.

令t=(Xl+X2)'XiX2.

+、在m£(-8,-l]上单调递j:曾，

・・・当m=-l加取最大值，最大值为2;

+3在1!1£[3,+8)上单调递减.

・•・当m=3就取最大值，最大值为-54,

.•.(X1+X2>X1X2的最大盾为2,故选B.

8.P」(刈是定义在R上的偶函数〃•.函数f(x)的图象关于y轴对称.

又f(x)在(0,+8)上是减函数，且f®>0>f(百)〃，.f(x)在(0,+8)上有且仅有1个零点,

则f(x)在(-8,0)上也仅有1个零点.若f(0)=0,则共有3个零点;若f(o)wo,则共有

2个零点.故选D.

9.AP因为f(x)在(0,+8)上的图象是连续不断的，且fg)f(l)=-

30,Kl)f(2)=1>0,f(3)=log23-l>0,f(4)=0,所以一定包含f(x)零点的区间是

［曲，45).

10rp分别作出这四个函数的图象(图略)，其中y=|x|-l与y=e冈-2的图象与x

轴有两个交点，即函数有2个零点，故选CD.

U.BCD在同一平面直角坐标系中作出函数y=|x2向的图象和直线y=a,如图

所示.

易知方程解的个数为0或2或3或4,故选BCD.

12.AP设y=f(x»的零点为t,即f(t)=O.由f(x)与f(f(x))的零点相同可知

f(f(t))=O,/.f(O)=O.Xf(0)=a,/.a=0,/.f(x)=-x2+2bx,^f(x)=0>^xi=0,X2=2b.

当b=0时,f(x)仅有一个零点0,符合题意;当b/0时,f(f(x))=-(-x2+2bx)2+2b(-

x2+2bx)=(-x2+2bx)(x2-2bx+2b),/.x2-2bx+2b=0无实数根/.A=(-2b)2-8b<0,

解得0<b<2./.0<b<2,/.-2<a-b<0.^AD.

13.答案0.75

14.答案1024

解析依题意得潞出二艮噫：:：惮得忆屋

所以y=2log4X-2.当y=8,即2log4x-2=8时,x=l024.

15.答案(-i,o]

解析令g(x)=f(x)-m=O,得f(x)=m，则函数g(x)=f(x)-m有三个零点等价于函

数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：

当x<0时,f(x)=x2+x=G+丁-拉弓若函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同

的交点厕-卜mwO,即实数m的取值范围是(-刊.

16.答案(-00,-6)U(6,+oo)

解析方程x4+ax-4=0可化为x3+a=%在同一平面直角坐标系中分别画出函数

y=x,y=i,y=x3的图象，如图所示.

一s

此二'解得｛"第2匚

(y-7lyi-4(火-一乙，

则A,B两点的坐标分别为(2,2),(-2,-2).

将函数y=x3的图象向下移动到过点A时彳导至I」a=-6,再向下移动即可满足题意，

此时a<-6.

将函数y=x3的图象向上移动到过点B时，得到a=6,再向上移动即可满足题意，此

时a>6,

综上可如，实数a的取值范围是(-8,-6)U(6,+oo).

17.解析设函数f(x)=2><+3x-6.(l分)

=-1<0,f(2)=4>0,且函数f(x)在其定义域内是增函数,f(x)的图象是连续不间

断的，

・•・函数f(x)=2x+3x-6在区间(L2)内有唯一的零点，

即方程6-3x=2x在区间(1,2)内有唯一的实数解.(3分)

设方程6-3x=2x的实数解为xo,则XO£(L2),(4分)

•.f(1.5)=2.83+3xl.5-6=133>0,.-.f(l)-f(1.5)<0,.-.x0e(l,1.5).(5分)

•.f(1.25)=238+3xl.25-6=0.13>0,/.f(l)-f(1.25)<0,

.•.x0e(l,1.25).(6分)

•.f(1.125)=2.18+3xl.l25-6=-0.445<0,/.f(1.125)-f(1.25)<0,

.-.xoG(1.125,1.25).(7分)

•/f(1.1875)=2.28+3x1.1875-6=-0.1575<0,

/.f(1.1875)-f(1.25)<O,.-.xoG(1.1875,1.25).(8分)

•.|1.25-1.1875|=0.0625<0.1〃.•可取xo=12

.•・方程6-3x=2x的实数解的一个近似值为12(10分)

18.解析⑴因为函数取)=2*技3£尺)的定义域为R,且为奇函数，所以f(O)=l­

a=0,所以a=1.经检验，符合题意.(3分)

(2)设t=25因为x£[O,l],所以

由方程f(x)=a，即2x-£=a,得*=a，即t2-at-a=0,

所以原问题等价于t2-at-a=0在te［1,2］上有且仅有一个实数根.(5分)

设g(t)=t2-at-a(l<t<2).

①当方程g(t)=O的根在区间的端点时,或t=2.

若gQ)=1-a-a=0,则a4此时t2-it-|=0,

解得t=l或t=4所以g(t)在区间［1,2］上有且只有一个实数根，符合题意;(7分)

若g(2)=4-2a-a=0厕a.,此时12-共-#0,解得t=2或t=-|,所以g(t)在区间［1,2］

上有且只有一个实数根，符合题意.(9分)

②当方程g(t)=0的根在区间的内部时，由方程在(L2)内有且仅有一个实数根，

得g(l)g(2)<0或=°,解得产a<MU分)

综上,a的取值范围为舐］.(12分)

19.解析(1)因为浒条所以f(x)』°g25(x+i)-#222.(1分)

当f(x)=2时,1。925仅+1)上0,得乂+1=5,即x=4.(2分)

所以一天中上午4时该厂排放污水的污染指数最低.(4分)

(2)设t=log25(x+l)厕当0<x<240tO<t<l.

设g(t)=|t-a|+2a+l,t£［0,1］,则g⑴={f:与/气6分)

显然g(t)在。a］上是减函数在(a,1］上是增函数(7公)’

则f(x)max=max{g(0),g(l)}.(8分)

因为gO=3a+Lg(D=a+2,

日R'〃g(0)=3a+1<3,

所以心⑴=a+2<3,

解得av|.(10分)

又a£(0,l),故调节参数a应控制在(0.|］内.(12分)

20.解析⑴函数y=3-x是减函数，当x<0时,y>3;

函数y=lnx是增函数，当0<x<e时,y<L

.-.M=(-oo,l)u(3,+oo).(3分)’

(2)设t=2"则y=t2-2t=(t-l)2-l.

或x>3/.t£(0,2)U(8,+8).(4分)

当t£(0,2)时,y£［-L0)；

当t£(8,+8)时,y£(48,+8).

故函数y=t2-2t的值域为［-L0)U(48,+oo).

故函数g(x)的值域为［-L0)U(48,+8).(6分)

(3)函数h(x)=4x-2x+i-b有零点等价于方程4x-2-i-b=0有实数根，

即方程4*-2*+1=b有实数根，

等价于直线y=b与函数y=g(x)(x£M)的图象有交点.(7分)

由(2)知g(x)£[-L0)U(48,+8),所以当且仅当b£[-L0)U(48,+8)时，函数

h(x)=4x-2x+1-b(bGR)有零点.

结合一元二次函数的图象与性质及(2)可得，

当t£(0口时，函数y=t2-2t单调递减当t£[l,2)时，函数y=t2-2t单调递墙当

t£(8,+8)时，函数y=t2-2t单调递增.(10分)

所以当b=-l或b£(48,+8)时,函数只有一个零点;(11分)

当b£(-L0)时，函数有两个零点.Q2分)

21.