2020-2021学年玉溪市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年玉溪市高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集（/={X€2|04刀34},集合4={-1,2,3},8={2,3},贝葭（/04。3）=（）

A.[0,4}B.[0,1,4}C.{1,4}D.{0,1}

2.己知函数.翼礴:=颤舐需，诵,=售吗题=触题:管，则下列选项正确的是（）

A.舞瞰B.，獭:制翼礴制典可:

C.偌]制飘微:海；冤碱:D.抵AS网a/电

如图，在△ABC中，AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,AF=xAB-VyAC，贝U（居外为（）

A.（沾B.（*/C,（-沾D.（沾

4.若a>b,则下列式子一定成立的是（）

A.a2>b2B.b<aC.|a|>网D.f

5.如图是一个算法的程序框图，执行该程序后输出的勿的值为（）

A.17

B.20

C.13

D.22

[二束）

y>0

设P是不等式组x-2y>一1表示的平面区域内的任意一点，向量沅=（1,1）,n=（2,1）,若而=

<%+y<3

4沅+〃记（尢〃£R）,贝也的最大值为（）

A.3B.1C.0D.—1

7,直线7x+y-2=0与圆C：Q-l)2+y2-r2(r>0)相交于4B两点，若△ABC为直角三角形,

贝1Jr-()

A.1B.V2C.V3D.2

8.某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个.从中任取10个进行检测，以下说法错

误的是（）

A.全部抽到一等品的结果共有C猾。种

B.恰好抽到5个一等品的结果共有Cfoo种

C.抽不到一等品的结果共有盘生种

D.至少抽到一个一等品的结果有C比o-C播）种

9.已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则其体积（）（单位：cm3）

正视图侧视图俯视图

A.2V2B.4C.2V5D.5

10.函数y=4sin（3x+0）+k（A>0,3>。，切<5）的图象如图所卞个\

示，贝切的表达式是（）/：\

A.y=|sin（2x+§+1/彳

B.y=jsin（2x—+1

C.y=jsin（2%+-1

D.y=sin（2x+§+1

11.命题：”方程X2-2=0的解是X=土近”中使用逻辑联系词的情况是（）

A.没有使用逻辑连接词B.使用了逻辑连接词“且”

C.使用了逻辑连接词“或"D.使用了逻辑连接词“非”

12.已知以F为焦点的抛物线必=2px（p>0）的准线方程为％=-1,4、B、C为该抛物线上不同的

三点，且点B在久轴的下方，若|正|、|而|、|而|成等差数列，且幅+而+同=0,则直线AC

的方程为（）

A.y=xB.y=%+1C.y=2%+1D.y=2x—1

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若/(cos%)=cos3%,则f(s讥30。)的值为.

14.已知a,B是相互独立事件，且P(2)=%P(B)=I，则P(疝)=.

15.已知数列5｝的通项公式。九二九sin券+1,前几项和男,贝1s2014=-

16.己知4eR,函数/⑺=｛。二丫曰X<Y若函数/(X)恰有2个零点，贝D的取值范围是

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),

[50,60)...[90,100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(I)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(II)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；

(W)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

18.在数列｛。九｝中，的=3,an=-an_1—2n+l(n>2且几GN*).

(1)求。2，的值；

(2)证明：数列九+九｝是等比数列，并求回九｝的通项公式；

(3)求数列｛须｝的前几项和土.

19.设aABC的三个内角48,C的对边分别为a,b,c,向量沆=(b,c—a)fn=(sinB-sinC,sinA+

sinC),且沅1元.

(1)求角/的大小；

(2)若a=2,c=AWsinB,求△ABC的面积.

20.如图，在直三棱柱力BC中，4ACB=90°,AB=2AC=2,。是力B

的中点.

⑴若三棱柱力BC-4/iG的体积为3b，求三棱柱48C-4B1G的高；

(2)若GC=2,求二面角。一81。1一4的大小.

22

21.已知椭圆C：3+4=l(a>6>0)上三点4,B,P(位于x轴同侧)椭圆C的左、右焦点分别为

az

Fi(-1,0),F2(l,0),离心率为日

(I)当力的坐标为(0,1),时，求耨的值

(口)当直线”经过点(-2,0),且BPly轴时，判断直线NF】与BF2的位置关系，并说明理由.

,1

22.判断函数"")=门在区间(1,+8)上的单调性’并用单调性定义证明.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：U={0,1,2,3,4},XnB=［2,3}:

Cu(4CB)={0,1,4}.

故选：B.

可求出集合U,然后进行交集、补集的运算即可.

考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算.

2.答案：B

解析：试题分析：因为1=管，誓方<方,蜘暨盗海蛔觐,4=鼠瞰*：则管/配赞：=口，故霸*配,

又因为11磷=蛔觐富在:卿■海颂单调递增，所以/獭*/(礴加，电，故选艮

考点：1.对数函数的图像与性质；2.指数函数的图像与性质.

3.答案:A

解析：解：­••AD=2DB,AE=3EC

：.AF=AB+~BF=AB+A.BE=AB+2(|ZC-AB)=(1-2)AB+|AZC,

同理向量而还可以表示为万?=前+^^AC+fiCD=AC+-AC)=+(1-/z)XC,

根据平面向量基本定理可知向量都用不共线的两个向量线性表示是唯一的，

则由对应系数相等可得h3，解得4=|，所以前=［存+》前，

-A=1-//332

所以％=±y=2,所以(％y)为《［),

故选：A.

根据4D=2DB,AE=3EC,利用B、F、E三点共线和C、F、。三点共线分别表示出向量彳工根据

平面向量基本定理可求出小y的值.

本题主要考查了平面向量的基本定理及向量线性运算，同时考查了运算求解能力，属于基础题.

4.答案:B

解析：解：若。>a>b,则a?<〃，故从错误；

由a>b,可得b<a,故2正确；

由0>a>6,可得|a|<网，故C错误；

由a>0>6,可得《>点故。错误.

故选：B.

由旷=/在(-8,0)递减，可判断4；由不等式的自反性可判断8；由y=|x|在(-8,0)递减，可判断C；

由a>0>b可判断D.

本题考查不等式的性质和运用，考查反例法和函数的单调性的运用，属于基础题.

5.答案：D

解析：解：由程序框图知：第一次循环后T=1,S=1；

第二次循环后T=1+2=3,S=9—1=8；

第三次循环后T=3+2=5,S=17,

满足条件SN10,跳出循环.则输出的勿=17+5=22.

故选：D.

根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S210,跳出循环体，确定输出S的值，再

计算输出小的值.

本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用

方法.

6.答案：A

解析：解：,响量沅=(1,1),n=(2,1),若加=2万+〃元eR),

7>0

x—A+2[i,代入不等式组卜—2y2—1,

V=4+4.x+y<3

A+/z>0

得A+2jU-2(4+/z)——1，

.A+2/z+Z+|U<3

a+M>o

即•4W1,

、22+3[i<3

作出不等式组表示的平面区域(阴影部分),

则u的最大值为C点的纵坐标,

则〃的最大值为3,

故选：A.

根据向量线性运算的坐标公式，得到产=412",由此代入题中的不等式组，可得关于心〃的不等

式组.作出不等式组表示的平面区域，利用数形结合即可得到结论.

本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，将条件转换为关于人

〃的不等式组是解决本题的关键.

7.答案：A

解析：解：圆C的圆心为（1,0）.

圆心C到直线7x+y-2=0的距离为d==f,△ABC为直角三角形，

则一定为等腰直角三角形且C为直角，

所以r=V2d—1.

故选：A.

求出圆的圆心，利用点到直线的距离，结合三角形的形状，求解即可.

本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，是中档题.

8.答案：B

解析：解：根据题意，某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个.依次分析选项：

对于4全部抽到一等品，在100个一等品中选10个即可，有C茏）种抽取方法，4正确；

对于8,恰好抽到5个一等品，还有5件是二等品或三等品，有CfooCio种抽取方法，B错误；

对于C,抽不到一等品，即在二等品和三等品中选10个即可，有C&o种抽取方法，C正确；

对于。，全部的抽取方法有C瑞）种，其中没有一等品的抽取方法有C&o种，则至少抽到一个一等品的

结果有C明）—c然）种，。正确；

故选:B.

根据题意，依次分析选项中计算是否正确，综合可得答案.

本题考查排列组合的应用，注意间接法的使用，属于基础题.

9.答案:D

解析：

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，分割法，主要考

查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用分割法求出几何体的体积.

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为倒放的四棱柱.

使用分割法，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱柱；

如图所示:

2

故选：D.

10.答案：A

解析：

本题主要考查了由y=Asin（a）x+磔）的部分图象确定其解析式，属于较易题.

由图观察可知周期T=2x偌一勺=兀,从而有周期公式可求3的值，又4=11黑=|,k=1,久=看

时，y=|，可求W的值，从而可求得解析式.

解析：

解：由图观察可知：周期7=2*（"一勺=兀，

27r

—=71，

0）

・•・3=2,

又a==2k=i,

22

3

・•・y=-sin（2x+9）+1,

,•==森时，y=£

二sin（2X专+9）=1,</>=|+2kn（keZ）,

又「mV，

71

<P=w，

...y=Isin（2x+I）+1.

故选A.

11.答案：c

解析：解：命题：“方程X2-2=0的解是X=土企”可以化为：

“方程X2-2=0的解是X=V2,或*=-V2"

故命题：“方程X2-2=0的解是X=土企”中使用逻辑联系词为：或

故选C

根据复合命题的定义及分解原则，我们可将命题：”方程X2-2=0的解是X=土企”分解为：“方

程X2—2=0的解是X=/，或X=—VI”的形式，进而得到答案.

本题考查的知识点是逻辑连接词，其中将原命题分解为简单命题用逻辑连接词连接的情况是解答本

题的关键.

12.答案：D

解析：解：抛物线y2=2px(p>0),则抛物线的准线方程是x=-£=-1,

•••p=2,

即抛物线方程为y2=4x,F(1,O),

设8(%2，丫2)，。(％3，丫3)，

I西I、I而I、I正I成等差数列，

2|而1=1前|+|而I，即久1+1+冷+1=2(久2+1)，

=

即％1+%32%2，

FA+FB+FC=0，

・•・(%1-1+%2-1+%3-1/1+丫2+?3)=。，

・,・石+到+%3=3，丫1+丫2+=°，

则％1+孙=2,g=1，

由龙=4%2=4,则丫2=-2或2(舍)，

则为+=2,

则4C的中点坐标为(詈，左产)，即(1,1),

当一为_4_4

AC的斜率k=三三;

yl_yl~yi+y3~2

44

则直线力C的方程为y-1=2(x-1),

即y—2x—1,

故选D

根据抛物线的准线方程求出p,设4B,C的坐标，根据|启|、|而|、|后|成等差数列，且点B在x轴

下方，若西+而+而=0,求出/+比3=2,尤2=1-然后求出直线4C的斜率和a，c的中点坐标，

进行求解即可.

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线4B的斜率和48的中点坐标是解决本题的

关键.综合性较强，难度较大，属于中档题.

13.答案：—1

解析：解:因为已知f(cos久)=cos3x,和特殊角的三角函数得：sin30°=cos60°

所以/'(s讥30。)=/(cos60°)=cos(3x60°)=cosl80°=-1.

故答案为-1.

首先分析题目已知函数/(cosx)=COS3K,求f(sin30。)的值.可根据特殊角的三角函数关系s讥30。=

cos60°,代入函数/'(s讥30。)替换化简即可得到答案.

此题主要考查任意角三角函数的相互化简问题，对于特殊角的三角函数需要记忆.题目主要考查概

念性问题，属于基础题目.

14.答案：*

解析：

本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用.

运用概率乘法公式可得结果.

解：根据题意得，P(瓯)=P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=[x(1—|)=2，

故答案为2.

15.答案：3021

解析：解：由题意，

fn+1,(n=4k-F1,kGN)

an=nsin^-+1=\l,(n=2k+2,kEN),

1-YL+1,(71=4/c+3,/cEN)

贝US2014=2+1+(—3+1)+1+6+1+(—7+1)+1+…+2014+1

=(2+6+10+…+2014)+2x503-(2+6+10+-+2010)+1

=2014+1006+1=3021.

故答案为：3021.

(n+1,(n=4k+1,kEN)

由题意，an=rising+1=<1,(n=2fc+2,fc6/V),分类求和即可.

1-TI+1,(71=4/c+3,/ceN)

本题考查了数列的求和，注意通项类似周期变化，属于中档题.

16.答案:(1,3]U(5,+8)

解析：解：函数〃久)恰有2个零点，

函数/'(吗=产2-S广匕的草图如图：

函数f(x)恰有2个零点,则1<2W3或2>5.

故答案为：(1,3]U(5,+8).

利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用

函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即

可.

本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及

函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力.

17.答案：解：(I)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率为1-(0.025+0.015x2+0.01+

0.005)x10=0.3

(U)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,

频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)x10=0.75

所以，抽样学生成绩的及格率是75%,

利用组中值估算抽样学生的平均分45x0.1+55X0.15+65X0.15+75X0.3+85X0.25+95X

0.05=71；

估计这次考试的平均分是71分;

(m)[70,80),[80,90),[90,100]”的人数是18,15,3.所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中

选两人，

他们在同一分数段的概率.P=°至

解析：(/)利用各组的频率和等于1,求出第四组的频率，从而求出第四组小矩形的高，作出频率分

布直方图；

(〃)计算各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和，即为数据的平均数；计算后四组的频率

和，可求及格率；

(/〃)分别计算后三组的人数，利用组合数公式计算从中选2人的选法数，计算这2人来自同一分数段

的选法数，利用古典概型概率公式计算.

本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，考查了学生的作图能力与数据处理能力，

综合性较强.

18.答案：解：(1)；的=3,an=—an-i—2n+l(n>2,neAf*),

g=——4+1=—6,%=—。2—6+1=1.

..an+n_(-an-l-2n+l)+n_-an-l-n+1_(

(')*77----L,

Q71—1+(?1—1)G?l—1+九-1UH—1+11—1

・・・数列｛%+九｝是首项为的+1=4,公比为-1的等比数列.

n-171-1

•••an+n=4-(―l),即册=4•(―I)—n,

n-1

•••｛%｝的通项公式为an=4•(-l)-n(nGN*).

(3)•・・｛a九｝的通项公式为册=4•(一1尸-n(n6N*),

所以％=ZLiak=7T[4•(—1)J—k]=斯」4.(-1尸-ZLifc

1—(—l)nn(n+1)

=4X1-(-1)2-

1,

=2[1—(一1)勺一5(九2+n)

=一吧尸_2(一

解析：(1)根据的=3,。九=一。九_1一2几+1(荏22且九6N*),对九进行赋值，可求出g，的的值；

(2)直接利用等比数列的定义进行证明，然后利用等比数列性质求其通项公式即可；

(3)先求出数列｛&J的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可.

本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的判定和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，

属于中档题.

19.答案:解：(1),・,向量沆=(4c—a),n=(sinB-sinC,sinA+sinC),且沅_L元.

:.b(sinB-sine)+(c—d)(sinA+sinC)=0=>sinB(sinB-sinC)+(sinC-sinA)(sinA+sinC),

sin2B+sin2c—sin2A=sinBsinC,

n炉+/_。2=be,

1

・•・cosA=

2

7T

Ae(0,7r),>1=-.

⑵由导=品，c=4百s讥B，得到鬻=1

bsinB1八,

•*•一=-----=一,c=3b.

csmC3

由余弦定理得M=b2+c2—2bccosA=^>4=b2+9b2-3户,

"T，小好c=",

**•△ABC的面积s=-bcsinA=-x-y=x-y==-.

解析：(1)由记1元得b(sinB-sine)+(c—a)(sinA+sinC)=0=>sinB(sinB-sinC)+(sinC-

sinA^sinA+sinC)b2+c2—a2=be,cosA=匕即可求得/；

(2)由导=袅，c=4AmB,得至喘=”=3b,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosAn4=

b2+9b2-3b2,得6=迫，c=及，即可求得48C的面积s.

77

本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、计算能力，属于中档题.

20.答案：解：(1)由N4CB=90。，AB=2AC=2,得BC=百，二S-BC=xBC=:行.

由三棱柱4BC-的体积为3次，得S—BCX=yXCCr=3后解得毋=6.

，二棱柱ABC-A/iC]的IWJ为6；

(2)以C为坐标原点，分别以C4CB,CG所在直线为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，

则。或1,0),当(0,百,2),6(002).

西=(一|,当,2),DG=(-|,-y,2).

设平面CiBi。的法向量为元=(x,y,z),

,(n-DB=—x+V3y+4z=0口,日—.…、

由―Ir/，取z=l,得记=(4。1).

tn-DC】=-x-V3y+4z=0

平面Z/1C1的法向量记二(0,0,1).

记二面角。—B[C]—4的大小为。，则cos。==厉=—.

・••二面角。—B1C1—A的大小为arccos多■.

解析：（1）由已知求出三棱柱的底面积，结合体积列式求高；

（2）以C为坐标原点，分别以C4,CB,CG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出平

面G&D的法向量与平面4B1Q的法向量，再由两法向量所成角的余弦值求解二面角£>-/的

的大小.

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面

的距离，是中档题.

21.答案：解：（I）由题意可知：c=l,椭圆的离心率e=£=0,则a=VL

a2

b2=a2—c2=1,

椭圆的标准方程：-+y2=1,

2/

由4(0,1),6(一1,0),I/a|=V2,

则直线46的斜率k=言与=1,则直线的方程y=X-1,

Y(4

ry=x—1x——(y.—r\

卜「1,解得：：，:二;，

IT+y=1v=-ty-i

2v3

由力，B,P(位于x轴同侧)则

I叫I=1)2+(2—0)2=争

\AFr\_V2_

‘两=返