第十七章 勾股定理 知识清单及典例分析-2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十七章勾股定理班级姓名小组一、基本知识1.勾股定理（直角三角形的性质）（1）文字语言：两直角边的平方和等于斜边的平方.（2）符号语言：在Rt△ABC中，（3）公式的变形：c2=，c=a2=，a=b2=，b=2.勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是．3.利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：（1）判断：先判断哪条边最大；（2）计算：分别用代数法计算a2+b2和c2的值；（3）是否相等：a2+b2和c2是否相等.4.勾股数：满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数.（1）勾股数必须是正整数，不能是分数或小数.（2）一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.（3）常见勾股数勾股数：；；.5.互逆命题和互逆定理（1）题设和结论互换的两个命题称为互逆命题.（2）互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是，那么它也是一个，称这两个定理互为，其中一个叫做另一个的逆定理.（3）每个命题都有逆命题，但是每个定理不一定有逆定理.6.最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：图例圆柱eq\o(→,\s\up7(展开))长方体阶梯问题基本思路将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解.7.（1）含30°直角三角形三边的比为（2）含45°直角三角形三边的比为二、典例分析考点1已知直角三角形的任意两边长求第三边例1.如图，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为()A.eq\r(3)B．3C.eq\r(5)D．5例2.（1）若一直角三角形两边长两直角边分别为12和5，则第三边长为；（2）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为.考点2已知直角三角形的任意一边长以及另两边的关系，求另外两边的长例1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2eq\r(3)cm，则另一条直角边的长是()A．4cmB．4eq\r(3)cmC．6cmD．6eq\r(3)cm例2.已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为()A.eq\r(10)B．2.5C．7.5D．3eq\r(10)例3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.（1）若a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值；（2）若a=6，c=b+2，求b，c的值.例4.在△ABC中，AB＝eq\r(34)，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为考点3勾股定理在轴对称问题中的应用例1.如图所示，已知△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，BD=，AE⊥BC于点E，求AE的长.例2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(1)求AD的长；(2)求AE的长．考点4勾股定理在折叠问题中的应用例1.如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(5,2)C.eq\f(8,3)D．5例2.如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝．例1例2例3例3.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为．例4.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长?例5.如图，在长方形ABCD中，BC=4，DC=3，现将长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF与AD相交于点E.试说明DE=BE.求AE的长.求△DEB的面积.例6.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.考点5梯子下滑问题例1.一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面墙上．(1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？考点6勾股定理在旋转问题中的应用例1.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．例2.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m考点7勾股定理在折断问题中的应用例1.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是m．例1例2例2.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为．考点8勾股定理在航海问题中的应用例1.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为()A.45mB.40mC.50mD.56m例2.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为()A.60海里B.45海里C.20eq\r(3)海里D.30eq\r(3)海里考点9在数轴上表示无理数例1.如图所示，数轴上的点A表示的实数是()A．1.4B．1.5C.eq\r(2)D.eq\r(3)例2.如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M的横坐标为()A．2B.eq\r(5)－1C.eq\r(10)－1D.eq\r(5)例3.如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，2)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为()A.(eq\r(13)，0)B.(eq\r(13)－3，0)C.(－eq\r(13)，0)D.(3－eq\r(13)，0)考点10运用勾股定理求坐标平面内两点间的距离已知点A，B，则例1.已知，，则例2.已知，，则考点11勾股定理与网格作图例1.在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．例2.如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.例3.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为.考点12利用勾股定理求面积例1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是．例2.如图，在四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：AD=2:2:3:1，且∠B=90°，试求∠DAB的度数.例3.有一块空地如图所示，∠ADC=90°，CD=6m,AD=8m,AB=26m,BC=24m,现计划在空地上进行绿化，若平均每平方米投入100元，那么该空地绿化需要投入多少元？例4.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．考点13最短路径问题例1.如图所示，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少为米．例1例3例4例5例2.有一个长方体，长为4cm，宽2cm，高2cm，试求蚂蚁从A点到G的最短路程.例3.如图，一圆柱形油罐的底面周长为12m，高为5m，要以点A为底端环绕油罐做一圈梯子，正好顶端在点A的正上方点B处，那么梯子最短需()A.17mB.7mC.13mD.12m例4.有一圆柱体高为，底面圆的半径为，如图.在上的点处有一只蜘蛛，，在上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).例5.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)例6.如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是()A. B. C. D.例7.如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？考点14勾股定理的逆定理例1.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋eq\r(b－8)＋|c－10|＝0，那么该三角形是()A.底与腰不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形例2.如图，在正方形