整式的乘法（第一课时单项式乘以单项式）

八年级数学上分层优化堂堂清十四章整式的乘法与因式分解第一课时单项式乘以单项式（解析版）学习目标：1.探索并掌握单项式乘以单项式的法则;2.灵活运用单项式乘以单项式的法则进行运算.重点：掌握单项式乘法法则，会用单项式乘法法则进行运算.难点：多种运算法则的综合运用.老师对你说：知识点1单项式的乘法法则系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.注意：

（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式漏掉。

（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用。

（3）单项式乘单项式的结果仍是单项式，系数如果是带分数要转化为假分数，还要注意运算顺序，先乘方再乘法。知识点2单项式乘单项式的运用.根据题目的需要利用单项式乘以单项式的法则进行运算，从而解决问题.基础提升教材核心知识点精练知识点1单项式的乘法运算【例11】计算：．【答案】【分析】先计算积的乘方，再按单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】【点睛】本题是单项式的乘法计算题，考查了积的乘方及单项式乘单项式运算，掌握两个运算法则是关键，注意运算顺序和符号．【例12】若，则（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可．【详解】∵=，∴，解得：m=2，n=1．故选C．【点睛】本题考查了单项式乘法．掌握单项式乘法法则是解答本题的关键．【例13】计算：（1）x•x3+x2•x2．（2）5x2y•（﹣2xy2）3．（3）7x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4．【分析】（1）先利用同底数幂的乘法运算法则计算，再合并同类项即可；（2）先利用积的乘方运算法则进行计算，再计算单项式乘以单项式即可；（3）先算乘方和乘法，后合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝x4+x4＝2x4；（2）原式＝5x2y•（﹣8x3y6）＝﹣40x5y7；（3）原式＝7x4•x5•（﹣x7）+5x16＝﹣7x16+5x16＝﹣2x16．【例14】计算：.【答案】−17.【分析】此题考察积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【详解】解：原式=−8+9⋅⋅=−8−9=−17.【点睛】掌握积的乘方，幂的乘方等相关运算法则是解答本题的关键.知识点2单项式乘单项式的运用.【例21】已知单项式与的积为，那么_________．【答案】20【详解】试题解析：由题意可知：3x2y3×（5x2y2）=mx4yn，∴m=15，n=5，∴mn=20.【例22】已知单项式与的积与的值.【答案】【分析】根据同类项的定义列出方程，求出m，n的值．【详解】解：，∵与是同类项，∴，解得.【点睛】本题考查了单项式乘法，同类项的定义、方程思想，是一道基础题，比较容易解答．【例23】先化简，再求值：，其中，．【答案】，16．【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．【详解】解：原式．当，时，原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．【例24】如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为2b的小正方形后，再将剩余部分拼成一个矩形，则矩形的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，先将剩余部分拼成长方形，再根据图形的边长关系将新矩形的长和宽表示出来，就可以计算周长．【详解】解：如下图所示，

可以将图①拼到到图②的位置，就构成了长方形：

该长方形的长为：3a+2b，宽为：3a2b，

则周长为：（3a+2b+3a2b）×2=12a，

故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形周长的计算，单项式乘以单项式，题目较简单，解题的关键是能够用剩余部分图形拼出矩形．【例25】如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．30° B．45° C．60° D．72°【答案】B【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180°×（n2）=1080°，解得：n=8，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n2）•180°，外角和等于360°．【例26】若，则的值为________.【答案】2【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入计算即可.【详解】∵，∴，∴，解之得，∴=1+1=2.【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解答本题的关键.能力提升训练1.设，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】A【知识点】单项式乘单项式【解析】【解答】解：，，解得，则，故答案为：A.【分析】利用单项式乘以单项式的法则，先求出等式的左边，由此可得到m，n的值；再将m，n的值代入代数式进行计算可求出结果.2.已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知识点】单项式乘单项式；同类项【解析】【解答】解：∵(6am+1bn+1)•(4a2m1b2n1)=24a3mb3n，且与7a3b6是同类项，∴，，解得，，∴mn=12=1，故答案为：A.【分析】根据单项式与单项式的乘法法则“单项式乘以单项式，把系数及相同的字母分别相乘，对于只在某一个因式含有的字母则连同指数作为积的一个因式”可得前两个单项式的积；根据同类项的概念“所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项就是同类项，”求出m、n，据此可得mn.3.若，化简．【答案】【知识点】绝对值及有理数的绝对值；单项式乘单项式【解析】【解答】解：∵且，∴y＜0∴∴∴==故答案为：【分析】由且，可知，y＜0，进而得到，然后根据绝对值的意义进行化简，最后按照单项式乘单项式的法则进行计算。4.如果表示3xyz，表示一2abcd，则×＝______________；【答案】【解析】分析：按照规定的运算方法将原题转化为整式的运算，然后计算即可．详解：×=6mn×（﹣2）=．故答案为．点睛：本题考查了单项式乘法，理解题意，掌握单项式乘法法则是解决问题的关键．5.如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则⑤中的面积与大长方形的面积之比为_______．【答案】8∶21．【分析】设长方形①号和②号的长为a，宽为b，根据长方形的对边相等及正方形的四边相等分别表示出相关线段长，最后根据AB＝CD得到a＝3b，由此可得⑤号正方形的边长为4b，大长方形ABCD的长为7b，宽为6b，由此即可求得答案．【详解】解：如图，设长方形①号和②号的长为a，宽为b，则CE＝FG＝FM＝a，CG＝EF＝FH＝b，∴⑤号正方形的边长DK＝DE＝ME＝FM＋EF＝a＋b，长方形③号和④号的宽AK＝LM＝BL＝HG＝FG－FH＝a－b，∴大长方形ABCD的宽BC＝AD＝AK＋DK＝a－b＋a＋b＝2a，∴长方形③号和④号的长AL＝BG＝BC－CG＝2a－b，∴AB＝AL＋BL＝2a－b＋a－b＝3a－2b，CD＝DE＋CE＝a＋b＋a＝2a＋b∵大长方形ABCD的长AB＝CD，∴3a－2b＝2a＋b，解得：a＝3b，∴⑤号正方形的边长DK＝a＋b＝4b，大长方形ABCD的长CD＝2a＋b＝7b，大长方形ABCD的宽AD＝2a＝6b，∴⑤中的面积与大长方形的面积之比＝（4b）2∶（6b·7b）＝16b2∶42b2＝8∶21，故答案为：8∶21．【点睛】本题考查了长方形的对边相等与正方形的四边相等的性质以及它们的面积计算，能够正确设出长方形①号和②号的长为a，宽为b，利用相关图形的性质求得a＝3b是解决本题的关键．堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】详解：A、应为2xx=x，故本选项错误；B、应为x（x）=x2，故本选项错误；C、，故本选项正确；D、与x不是同类项，故该选项错误．故选：C．2．计算2x·(－3xy)2·(－x2y)3的结果是（）A．18x8y5 B．6x9y5 C．－18x9y5 D．－6x4y5【答案】C【详解】原式=故答案为:C3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A、，故此选项错误；

B、，故此选项正确；

C、，故此选项错误；

D、，故此选项错误；

故选：B．下列运算正确的是()A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、应为，故该选项原式错误；B、应为，故该选项原式错误；C、应为，故该选项原式错误；D、，该选项正确.故选：D5.．如果□×3ab=3a2b,那么□内应填的代数式是()A．abB．3abC．aD．3a【答案】C【解析】解答：解：∵a×3ab=3a2b，∴□=a．故选C．8．（2019·福州市期末）下列算式中，计算结果为a3b3的是（）A．ab+ab+ab B．3ab C．ab•ab•ab D．a•b3【答案】C【详解】A、ab+ab+ab=3ab，故此选项错误；B、3ab=3ab，故此选项错误；C、ab•ab•ab=a3b3，故此选项正确；D、a•b3=a•b3，故此选项错误；故选：C．6．计算（﹣2x2y3）•3xy2结果正确的是（）A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5【答案】B【详解】解：（﹣2x2y3）•3xy2＝﹣6x2+1y3+2＝﹣6x3y5，故选：B．7．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由同类项的定义,得，解得：，∴原单项式为：−x3y2与x3y2,其积是−x6y4.故答案选D.若（am＋1bn＋2）•（a2n﹣1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．﹣3【答案】B【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；解二元一次方程组【解析】解答：根据单项式的乘法的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质计算，然后再根据相同字母的次数相同列出方程组，整理即可得到m＋n的值．解：（am＋1bn＋2）•（a2n﹣1b2m），＝am＋1＋2n﹣1•bn＋2＋2m，＝am＋2n•bn＋2m＋2，＝a5b3，∴，两式相加，得3m＋3n＝6，解得m＋n＝2．故选B．分析：本题主要考查单项式的乘法的法则和同底数幂的乘法的性质，根据数据的特点两式相加求解即可，不需要分别求出m、n的值．二、填空题（每小题4分，共20分）9.计算______．【答案】【分析】利用同底数幂的乘法计算．【详解】原式，故答案为：．【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式的计算，同底数幂的乘法，解题关键是掌握运算法则．10．若单项式4xm2ny8与2x2y4m+2n的和仍为单项式，则这两个单项式的积为________．【答案】8x4y16【分析】根据题意得两个单项式为同类项，从而可先求出m，n的值，再求出两个单项式之积即可．【详解】解：∵4xm2ny8与2x2y4m+2n的和仍为单项式，∴4xm2ny8与2x2y4m+2n是同类项，

∴，解得，∴4x2y8•(2x2y8)=8x4y16，

故答案为：8x4y16．【点睛】此题考查了单项式乘单项式，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．若，化简______．【答案】【分析】由且，可知，y＜0，进而得到，然后根据绝对值的意义进行化简，最后按照单项式乘单项式的法则进行计算.【详解】解：∵且，∴y＜0∴∴∴==故答案为：【点睛】本题考查绝对值的化简及单项式乘单项式，根据题意确定代数式的符号是本题的解题关键.12．卫星脱离地球进入太阳系的速度为，计算卫星行走的路程是______米.（用科学记数法表示）【答案】【分析】根据速度乘以时间等于路程，可得单项式的乘法，根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【详解】解：由题意，得

（1.12×104）×（6×105）

=1.12×6×104+5

=．

故答案为：．【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．8.如果单项式与单项式的乘积为，则__________．【答案】5【详解】单项式与单项式的乘积为，即两边约分后可得根据底数不变，指数相加原则可得可求得.故答案为5.三、解答题（共6小题，48分）14.（8分）计算：（1）2021×(4)2022【答案】（1）18x5y8；（2）4【分析】（1）根据积的乘方法则及单项式乘单项式法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法法则及积的乘方法则的逆运用计算即可．【详解】解：（1）2xy2•（﹣3x2y3）2＝2xy2•9x4y6＝18x5y8；2021×(4)20222021×42022＝(0.25×4)2021×4＝4．【点睛】本题考查了幂的运算法则及其逆运用，熟练掌握幂的运算法则是解决本题的关键。（8分）计算：（1）2（x3）2+x6；（2）（3a2）2﹣5a2•2a2；（3）（﹣x）3•（﹣8xy2）；（4）（）2019×（）2020×（﹣1）2020．【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）根据幂的乘方以及合并同类项运算法则计算即可；（2）根据积的乘方以及合并同类项运算法则计算即可；（3）根据积的乘方、单项式乘以单项式远算法则计算即可；（4）根据积的乘方逆运算将原式变形计算即可．【详解】解：（1）2（x3）2+x6＝；（2）（3a2）2﹣5a2•2a2＝；（3）（﹣x）3•（﹣8xy2）＝；（4）（）2019×（）2020×（﹣1）2020．【点睛】本题考查了整式的混合运算法则，熟知整式的混合运算法则是解题的关键．16.（8分）有理数x，y满足条件，求代数式的值．【答案】192【分析】由非负数的性质，得到方程组，然后求出x、y的值，即可求出代数式的值．【详解】解：∵，∴，解得：．．当，时，原式．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，绝对值的非负性，解题的关键是由非负性求出x、y的值，从而进行解题．17.（8分）有理数x，y满足条件，求代数式的值．【答案】192【分析】由非负数的性质，得到方程组，然后求出x、y的值，即可求出代数式的值．【详解】解：∵，∴，解得：．．当，时，原式．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，绝对值的非负性，解题的关键是由非负性求出x、y的值，从而进行解题．18.（8分）阅读：已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！（1）已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．（2）已知a2+a﹣1＝0，求代数式a3+2a2+2020的值．【分析】（1）直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案；（2）直接利用已知变形，进而代入原式得出答案．【解析】（1）（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab，∵ab＝3，∴原式＝﹣4×33+6×32﹣8×3＝﹣108+54﹣24＝﹣78；（2）∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴a3+2a2+2020＝a（a2+a）+a2+2020，＝a2+a+2020＝1+2020＝2021．19（8分）已知A＝﹣2x2，B＝x2﹣3x﹣1，C＝﹣x+1，求：（1）A•B+A•C；（2）A•（B﹣C）；（3）A•C﹣B．【分析】（1）直接利用已知结合单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案；（2）直接利用已知结合单项式乘多项式运算法则化简得出答案；（3）直接利用已知结合单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．【解析】（1）∵A＝﹣2x2，B＝x2﹣3x﹣1，C＝﹣x+1，∴A•B+A•C＝﹣2x2•（x2﹣3x﹣1）﹣2x2•（﹣x+1）＝﹣2x4+6x3+2x2+2x3﹣2x2＝﹣2x4+8x3；（2）∵A＝﹣2x2，B＝x2﹣3x﹣1，C＝﹣x+1，∴A•（B﹣C）＝﹣2x2（x2﹣3x﹣1+x﹣1）＝