甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高二下学期开学质量检测试题数学

2023~2024学年第二学期开学质量检测试卷高二数学总分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角为（

） A． B． C． D．2．在数列中，，则（

） A．2 B． C． D．3．设不同的直线，若，则的值为（

） A． B． C．1 D．44．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（

） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种5．已知等差数列，若，则（

） A．20 B．24 C．28 D．326．圆心为，半径为2的圆的方程为（

） A． B． C． D．7．已知是等比数列，若，，则（

） A． B． C．2 D．48．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（

） A． B． C． D．二、多选题:本大题共有4个小题,每小题5分，共20分,在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9．己知直线，则下列选项中正确的有（

） A．直线l的斜率为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为10．带有编号、、、、的五个球，则（

） A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法 B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法 D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法11．已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（

） A． B．圆与圆有且仅有2条公切线 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为12．已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（

） A． B．C的离心率为 C． D．C的渐近线方程为第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共有4个小题,每小题5分，共20分.13．小陈同学准备将新买的《大学》《左传》《孟子》《论语》《诗经》《中庸》六本书立起来放在书架上，若要求《大学》《中庸》两本书相邻，则不同的摆放种数为．（用数字作答）14．点到直线的距离是．15．已知正项等比数列的前3项和为26，且数列的前3项和为，则.16．已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为.四、解答题:本大题共有6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知等差数列和正项等比数列满足：，，.（1）求数列，的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和.18．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分.（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；（2）求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数.19．已知圆和圆．（1）求证：圆和圆相交；（2）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．20．已知数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等.问题：直线经过两条直线和的交点，且______.（1）求直线的方程；（2）直线不过坐标原点，且与轴和轴分别交于、两点，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.22．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：的面积为定值；②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．A2．C3．D4．A5．B6．A7．A8．B9．AD10．AC11．AD12．AB13．24014．/2.415．616．17．(1)，(2)【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①，由可得：，即②，联立①②解得：或，因，故，于是，.（2）由（1）得：，，则，故.18．(1)36(2)30【详解】（1）学生甲最终获得5分，则需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，且不能抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡，则不同的抽法种数为.（2）学生乙最终获得7分的情况有2种：一种是抽中3张“龙”卡和1张其他卡，另一种是抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡.不同的抽法种数为.19．(1)证明见解析；(2)公共弦方程为，公共弦的长为.【详解】（1）由题设，则，，则，所以，即圆和圆相交；（2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为，又到的距离，所以公共弦的长为.20．(1)(2)【详解】（1）根据题意：，当时，，两式相减即得：，因时，，满足上式，故；（2），则，，两式相减可得：，故．21．(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）由，解得交点坐标为.选①，垂直于直线设直线的方程为：，其过点，则，即，故直线的方程为.选②，平行于直线，设直线的方程为：，其过点，则，即，故直线的方程为.选③，截距相等，当直线经过原点时，，符合题意；当直线不过原点时，设为，其经过点，故，即.得直线：.故直线的方程为或（或）.（2）由（1）知选①时，直线的方程为，可知其在轴和轴的交点分别为，，故.选②时，直线的方程为，可知其在轴和轴的交点分别为，，故.选③时，直线的方程为，可知其在轴和轴的交点分别为，.故.22．(1)(2)①证明见解析；②不存在，理由见解析【详解】（1）由题意知，焦距，故，又，故，所以，故椭