苏教版选择性7.4.1二项式定理(1)课件（27张）

二项式定理(1)——二项式展开式的应用

问题情境情境1：若今天是星期一，再过83天后的那一天是星期几？法一：83＝512，512÷7＝73···1，所以是星期二；法二：83＝(7＋1)3＝73＋3×72×1＋3×7×12＋13，

所以是星期二。依据：(a＋b)3＝

a3＋3a2b＋3ab2＋b3的展开式。情境2：若今天是星期一，再过8100天后的那一天是星期几？法一：8100＝?法二：8100＝(7＋1)100＝?提出问题：能否利用的(a＋b)n展开式？情境3：多项式(a＋b)(x＋y＋z

)展开式共有多少项？怎么

展开？能否写出它的每一项？

数学探究我们都知道：问题1：

(a＋b)n如何展开？(a＋b)3＝

a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)1＝

a＋b(a＋b)2＝

a2＋2ab＋b2(a＋b)4＝

a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4那么，(a＋b)5＝(a＋b)6＝······(a＋b)n＝这里有什么规律吗？我们能探求这些规律吗？

数学探究对(a＋b)3展开式进行分析：因为(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展开时，每个括号要么取a，要么取b，且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3，a2b，ab2，b3最后结果要合并同类项，所以项的系数就是该项在展开式中出现的次数，可计算如下：因为恰有0个括号取b的情况有

种，所以a3的系数为；因为恰有1个括号取b的情况有种，所以a2b

的系数为；因为恰有2个括号取b的情况有种，所以ab2的系数为；因为恰有3个括号取b的情况有种，所以b3的系数为。故(a＋b)3＝即(a＋b)3＝

数学探究对(a＋b)4展开式进行分析：因为(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展开时，每个括号要么取a，要么取b，且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a4，a3b，a2b2，ab3，b4最后结果要合并同类项，所以项的系数就是该项在展开式中出现的次数，可计算如下：因为恰有0个括号取b的情况有种，所以a4的系数为；因为恰有1个括号取b的情况有种，所以a3b

的系数为；因为恰有2个括号取b的情况有种，所以a2b2的系数为；因为恰有3个括号取b的情况有种，所以ab3的系数为；故(a＋b)4＝即(a＋b)4＝因为恰有4个括号取b的情况有种，所以b4的系数为。

数学探究对(a＋b)n展开式进行分析：(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)···(a＋b)提出问题，小组讨论：(1)(a＋b)n展开后各项形式分别是什么？an，an－1b，an－2b2，

···，abn－1，bn(2)展开式各项前面的系数代表着什么？各项前的系数，就是在n个括号中选几个括号取b的方法种数。(3)你能分析并写出展开式各项前面的系数吗？

数学探究对(a＋b)n展开式进行分析：各项的系数就是该项在展开式中出现的次数，可计算如下：因为恰有0个括号取b的情况有种，所以an的系数为；因为恰有1个括号取b的情况有种，所以an-1b

的系数为；因为恰有2个括号取b的情况有种，所以an-2b2的系数为；因为恰有3个括号取b的情况有种，所以an-3b3的系数为；故(a＋b)n＝即(a＋b)n＝因为恰有n个括号取b的情况有种，所以bn的系数为。(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)···(a＋b)······

数学建构1、二项式定理一般地，对于n∈N*，有这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项，其中叫作二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即(r＝0，1，2，···，n)叫作二项式系数。

数学建构2、二项式展开式特点①项数：共n＋1项；②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a，b

的指数和为n；③系数：第r＋1项的二项式系数为。

数学探究问题3：

(a－b)n如何展开？问题2：对于(a＋b)n，在合并同类项之前，其展开式共有

多少项？2n项。数学应用类型一二项式定理的应用例1、利用二项式定理展开下列各式：(1)(a－b)6；(2)；(3)(1＋2x)5；(4)(1－2x)5。数学练习利用二项式定理展开下列各式：(1)(1－x)4；(2)。数学应用例2、在(1＋2x)7的展开式中，求：(1)第4项的二项式系数；(2)含x3的项的系数。类型二利用展开式通项求指定项(或系数)数学练习2、求(x＋a)12的展开式中的倒数第4项。1、写出的第6项。解:T6=T5+1数学应用例3、(1)求的二项展开式中的常数项；(2)求(1－2x)6的二项展开式中含x2的项；(3)求的二项展开式中x4的项和中间项。点评：在利用二项式定理求展开式中的指定项时，

通常利用其通项求解，即数学练习求的二项展开式中的常数项和中间项。数学应用例4、在二项式的展开式中，前三项系数成等

差数列，求展开式中的有理项和整式项。

数学建构3、有理项和整式项的定义(1)有理项：未知量(x)的指数为整数的项；(2)整式项：未知量(x)的指数为非负整数的项。变式拓展在二项式的展开式中有有理项吗？如果有，请求出所有有理项；如果没有，说明理由。数学应用例5、在二项式定理证明：9910－1能被1000整除。类型三利用二项展开式研究整除(或余数)问题题后反思整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成整除的结构，展开后观察前几项或后几项，再分析整除性或余数，这是解决此类问题的最常用技巧，余数必须为正整数。数学练习1、证明：1110－1能被100整除。2、求9192被100除的余数。3、若今天是星期一，再过8100天后的那一天是星期几？所以是星期二。数学应用例6、求5精确到的近似值。类型四利用二项展开式求近似值问题数学练习1、计算3的近似值(精确到0.001)。2、计算6的近似值(精确到小数点后三位)。课堂检测

课本第77页练习第1、2、3、4、5、6题。

1、二项式定理一般地，对于n∈N*，有这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项，其中叫作二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即(r＝0，1，2，···，n)叫作二项式系数。课堂小结

2、二项式