小学数学百分数“统计意义”的认知与思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》将百分数从“数与代数”领域调整至“统计与概率”领域，将百分数作为“统计量”进行教学，意在使学生着重感悟百分数的统计意义，发展数据意识。统计侧重于研究不确定性事件，研究的基础是随机数据，重点是感悟数据的随机性，通过数据来推断产生数据的背景，并能进行分析和说理。在教学“统计意义”时，要帮助学生：感受随机现象在现实世界中普遍存在，要想研究它们，就要通过调查得到数据；结合情境理解数据推断的结果具有“不确定性”，即使是相同的数据，得出的结论也可能不一样；体会随机现象发生的可能性大小是可以预测的。【教学目标】1.结合生活素材，探索百分数的数学意义，感悟随机数据中蕴含的信息，体会百分数的统计意义。2.在交流、对比、分析、判断、预测等活动中，进一步体会百分数的统计意义，发展数据意识、应用意识和实践能力。3.在真实情境中，感受数学与生活的密切联系，发展用数学的语言表达与交流的能力，初步形成讲道理、有条理的思维品质。【教学重点】明确生活中常见百分数的具体含义；感受百分数的统计意义。【教学难点】能根据由随机数据得到的百分数做判断和决策，增强数据意识。【教学过程】一、联系生活：理解百分数表达确定数据（一）在生活中找百分数，并解释含义师：课前，老师让大家收集了一些生活中的百分数，谁来说一说你收集到的百分数，并解释一下它的含义？生：我找的是果汁含量30%。果汁饮料的总量是单位“1”，平均分成100份，果汁含量占其中的30份，还可以说果汁含量是果汁饮料总量的30%。生：我找的是衣服羊绒含量13.5%，表示羊绒含量是衣服总成分的13.5%。师：你能换个说法来表示吗？生：如果把衣服总成分看成1000份，羊绒含量占其中的135份。生：我找的例子是电脑中的下载进度条16%。需要下载的总量是单位“1”，平均分成100份，已下载的占其中的16份，还可以说已下载的进度是总任务的16%。（二）借助图形，明确百分数意义师：老师也收集了一些百分数，我们一起来看看它们各表示什么含义。教师出示：某汽车今年的销售量比去年同期增长120%。生：表示今年的销售量是去年的220%。生：将去年的销售量看作单位“1”，今年的销售量在去年的基础上增长了120%，也可以理解为今年的销售量是去年销售量的2.2倍（如图1）。师：上学期我们班期末数学考试的优良率达到了85%（70～79分为良好，80～100分为优秀）。这句话你们怎么理解？生：优秀和良好的人数是总人数的85%。（三）梳理百分数的意义师：通过刚才的讨论，你觉得什么是百分数？生：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。师：百分数表示的是两个数的倍数关系，也叫百分率或百分比。设计思考：百分数表示两个量的倍数关系。对于学生来说，这是一个新的概念。虽然学生有一些生活经验，但他们所认知的百分数大多是“部分与整体的倍数关系”。因此，需要用不同学习材料进一步丰富学生的认知，让他们知道百分数是可以超过100%的，并在辨析中不断丰富百分数的内涵，扩大百分数的外延，感受百分数给生活带来的便利性，也为百分数统计意义的学习做好铺垫。二、初步体会：运用百分数做推断具有不确定性◆活动一：体质健康优良率教师出示学习材料：国家中小学生体质健康监测由50米跑、坐位体前屈、跳绳、肺活量等项目组成，再综合年龄、身高、体重等因素，根据学生学年总分评定等级：90.0分及以上为优秀，80.0～89.9分为良好，60.0～79.9分為及格，59.9分及以下为不及格。教育部公布：2022年我国中小学生体质健康优良率达33%，学生健康素养和健康水平得到进一步提高。师：从这则材料中，你得到了哪些信息？让学生进行小组讨论：（1）你怎样理解2022年我国中小学生体质健康优良率达33%？（2）你知道33%的结论是调查了哪些对象得出的吗？（3）你觉得我们学校学生的体质健康优良率也是33%吗？（4）要想知道我们学校学生的体质健康优良率，需要怎么做？教师组织全班汇报。生：体质健康优良率达33%，表示体质健康良好的人数加优秀的人数，一共占参加监测学生总数的33%。生：33%是调查了全国所有的高中生、初中生和小学生后，通过计算得出的结论。生：我们学校学生的体质健康优良率，可能比全国中小学生体质健康优良率高，也可能比全国中小学生体质健康优良率低。生：让全校学生都参加体质健康监测，统计出优秀和良好的人数，再除以我们学校的总人数，就可以求出我们学校学生的体质健康优良率。师：那我们学校学生2022年的体质健康数据到底是多少呢？教师出示：光谷七小2022年学生体质健康优良率为33.78%。师：看到这个数据，你们有什么想说的？生：我们学校学生的体质健康优良率高于全国学生。师：为什么我们学校学生的体质健康优良率会高于全国中小学生体质健康优良率？师：33%是调查了全国的中小学生得出的，涉及人数较多。我们国家虽然已经全面脱贫，但地区之间的经济情况仍然有差异。有些地区学生的体质情况不佳，拉低了优良率；而我们学校学生都很爱锻炼，营养也很好，所以体质健康优良的学生占比相对来说多一些。师：那是不是武汉所有学校都和我们学校一样是33.78%呢？生：武汉各个地区之间也有差异，每个学校学生的情况都不一样，所以不一定都是33.78%。◆活动二：学生近视率教师出示学习材料：2021年我国中小学生总体近视率为53.6%，光谷七小2021年学生近视率为35.37%。师：谁来解释一下这两个数据各表示什么意思？生：全国中小学学生近视人数占总人数的53.6%。生：我校近视人数占学校总人数的35.37%。师：比较这两个数据，你有什么想法？生：我校学生近视情况比全国学生近视情况好一些。生：53.6%是调查了全国的高中生、初中生和小学生得到的数据，而35.37%是只调查了我们学校的小学生得到的数据。师：你觉得是什么原因造成了全国近视率高于我校近视率？生：相对来说，高中生和初中生学习时间比较长，近视率会更高，导致全国的近视率要高于我校的近视率。师：通过前面的研究，我们不仅知道了百分数可以表示像果汁含量30%、衣服羊绒含量13.5%这样确定的结果，还知道了可以由全国的体质健康优良率，大致推断出我校的体质健康优良率，但结果并不准确。由此发现，百分数不但可以表示确定的结果，还能帮助人们依据数据背景推断可能的结果，但结果不是百分之百准确。因此，运用百分数进行推断还具有不确定性，此时，它发挥着统计量的作用。设计思考：学生在学校每年都要参与体质健康测试及视力健康检查，本环节呈现的两则学习材料非常贴近学生生活，让学生对百分数从“数的认识”逐渐上升到“统计量”的认识。学生基于真实背景，在比较中明确百分数是通过对事物的调查统计而产生的，初步感受随机数据，以及运用百分数做推断具有不确定性。学生由此明白，要想推断的结果尽可能正确，就要了解数据的来源背景。在描述、比较、归纳的过程中，学生逐步发展数据意识。三、判断决策：感悟百分数表达随机数据的统计意义师：既然运用百分数做推断具有不确定性，那推断的结果是不是就没有意义呢？◆活动三：航班准点率教师出示学习材料：准点率，又称正点率，指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际到达时间和计划到达时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率。计算方法：用最近30天内出现延误情况的航班数，除以30天内所有的航班数量，得出延误率。准点率=100%-延误率。师：现实生活中有没有运用准点率来做决定的事呢？明天（5月24日），老师要从武汉出发前往北京出差。因为行程安排，要保证在上午11点前抵达北京。有三趟航班（如表1）符合老师的出行时间要求，请你为老师选择一趟出行的航班。生：选择南方航空。师：那我们来研究下南方航空这趟班机。教师先出示南方航空这趟班机4月24日—5月23日飞行准点情况，接着出示4月22日和4月23日的情况（如表2）。师：现在你有什么想说的？生：这趟飞机并不是一直准点的。师：如果老师明天乘坐这趟航班，一定能准点到达吗？生：不一定。虽然近30天的准点率是100%，但这是已经发生了的数据。师：那这三趟航班中，老师是否依然选择南方航空？生：虽然明天这趟航班可能准点也可能不准点，但根据以往的数据，在这三趟航班中，南方航空的准点率是最高的，所以依然要选择它。设计思考：飞机的“准点率”是一个典型的随机数据统计量，要求学生由已经发生的事件来推断未发生的事件。因此，对已经掌握的数据进行分析、推理显得尤为重要。受限于学生的年龄特征与认知水平，与上述两则学习材料中的数据描述相比，分析与解释飞机准点率数据对学生而言更具有挑战性，也更能增强他们的数据意识。学生围绕数据来源背景对数据进行深入分析，能进一步感受百分数的“统计意义”：百分数是对随机数据的刻画，现实生活中有很多事件無法确定具体的结果，但能根据已有的数据找到事物发展的规律，以此作出推断，而推断过程的本质是根据得到的数据进行推理，没有对错之分。【教学反思】本内容的教学在第一个环节让学生收集相关信息，解释生活中的百分数，并用图形对百分数进行表征，意在帮助学生建立百分数的“数学意义”，并引导学生思考：离开了这些生活中的情境，百分数的本质是表示两个量的倍数关系。在学生理解像果汁含量、羊绒含量这样确定的数据之后，教师再让学生通过探究体质健康优良率、近视率、准点率这三个活动，进一步感受百分数既可以表示确定数据中两个量的倍数关系，也可以表示随机数据中两个量的倍数关系，且用百分数描述随机数据的倍数关系时，百分数具有“统计意义”。通过三个活动的探究，学生明白现实世界中随机现象是普遍存在的，感受“可能发生”与“可能不发生”或者发生的程度是怎样的，体会作为统计量的百分数在预测和判断事件发生的可能性时起着重要的作用；感悟生活中用已经掌握的数据去推断未发生过的事件，能推测出结果可能的水平。在探究中逐步养成用统计的思维思考的习惯，学会用统计的眼光看待现实世界中的随机现象。本设计试图突破过往教学中过于侧重百分数的“数学意义”，而忽视渗透数据意识和感悟随机现象的困境。教师以贴近学生生活经验的体质健康优良率、近视率、准点率这些随机