倾斜角与斜率（教学设计）高二数学系列（人教A版2019选择性）

倾斜角与斜率(教学设计)

一、内容及内容解析

1.内容

本章内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版(2019)第二章《直线和

圆的方程》的包括两部分.第一部分是直线的方程，包括“直线的倾斜角与斜率”“2.2直线的方程”

直线的交点坐标与距离公式"3节；第二部分是圆的方程，包括圆的方程”“2.5直线与圆、圆与

圆的位置关系”2节.

2.内容解析

(1)内容的本质

在学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的过程。因为数学课程要讲逻辑

推理，更要讲道理，要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、

结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。

(2)蕴含的思想与方法

本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法.坐标法是解析几何最基本的研究方法，

它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的思想.

(3)培育的数学核心素养

通过直线的倾斜角和斜率的求解，以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应

用，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

(4)教学重点

(1)过两点的直线斜率公式是建立直线方程的基础；

(2)两点间的距离公式是建立圆的标准方程的基础；

(3)建立的直线的方程、圆的方程；

(4)研究两条直线的位置关系、交点坐标；

(5)点到直线的距离、直线与圆、圆与圆的位置关系。

二、目标与目标解析

(一)本单元教学目标

1.直线的方程

(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的

直线斜率的计算公式.

(3)能根据斜率判断两条直线平行或垂直.

(4)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的三种形式：点斜式、两点式、一

般式.

(5)能用解方程组的方法求两条宜线的交点坐标.

(6)探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距

离.

2.圆的方程

(1)回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

(二)目标解析

达成上述目标的标志是：

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直

线斜率的计算公式.

(2)能根据斜率判断两条直线平行或垂直.

(3)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的三种形式：点斜式、两点式、一般

式.

(4)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

(5)探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

(6)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

(7)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

三、教学问题诊断分析

1.问题诊断

直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使

学生体会解析几何方法的特点.本章首先在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何

要素；然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离.在此基础上，建立直线和圆的方程；

用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关

系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.

2.教学难点

用向量方法推导点到直线的距离公式，以及对直线与直线的方程，圆与圆的方程之间关系的认

识，学生理解可能会有一定的困难，它们是本章的难点.

四、教学支持条件分析

1.技术支持

利用电脑、互联网，可以非常方便快捷地查找到有关史料故事、拓宽视野，感悟数学的文化

价值,提高学生的数学文化素养；借助计算器或电脑，可以计算较大数目的数量，获得比较精准的

数值；借助实物投影或PPT,展示学生的学习成果，

2.知识储备

直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体

会解析几何方法的特点.

五、课时教学设计

直线的倾斜角与斜率（第1课时）

一、内容和内容解析

（一）内容

直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.

（二）内容解析

直线的倾斜角和斜率分别从形和数刻画了直线的方向：相对于1轴的倾斜程度，一点和倾

斜角，或一点和斜率确定了平面直角坐标系中直线的位置.过两点的直线斜率公式把直线的倾

斜角（方向或倾斜程度）与其上两点的坐标联系起来，实现了对直线几何特征的代数刻画.它是解

析几何中的基本公式，是建立直线方程的基础.

为了用代数方法研究直线的有关问题，首先需要探索在平面直角坐标系中确定直线位置

的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.通过一点和一个方向确定一条直线，

引入直线倾斜角的概念刻画直线的方向；进而通过向量法，用直线上两点的坐标刻画直线倾斜

角的正切值，把它表示为这两点纵横坐标的差商，引出直线斜率的概念；最后建立过两点的直

线的斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.这一过程了体现了坐标法的基本思想.

二、目标和目标解析

(-)目标

(1)初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想.

(2)理解直线的倾斜角与斜率的概念.

(3)掌握过两点的直线的斜率公式.

(二)目标解析

达成上述目标的标志是：

(1)通过介绍章引言，学生能够说出坐标法的基本思想，知道笛卡儿、费马是解析几何的创立

者，了解解析几何在数学历史发展中的作用.

(2)通过对平面直角坐标系中直线的分析，认识一点和一个方向唯一确定一条直线.过同一点的

直线的方向不同，其倾斜程度就不同，直线就不同；对于倾斜程度，可以用倾斜角刻画，也可

以用斜率(倾斜角的正切值垓IJ画；进一步，斜率可以用直线上两点的坐标定量刻画.

(3)能够运用向量法，承过对过原点及其上一具体点、不过原点过两个其他具体点，以及过任

意两点的直线倾斜角正切后的获得过程，体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究方法；建立

直线倾斜角的正切值与直线上任意两点坐标之间的关系，进而获得斜率的概念；经历上述用坐

标法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

三、教学问题诊断分析

本小节《直线的倾斜角与斜率》。主要内容是直线的倾斜角和斜率的概念，倾斜角与斜

率之间的关系，过两点的直线斜率公式，以及运用直线的斜率判断两条直线平行或垂直的位置

关系.为了用代数方法研究直线的有关问题，教科书首先探索在平面直角坐标系中确定直线位

置的几何要素，然后用代数方法表示这些几何要素.通过一点和一个方向确定一条直线，引入

直线倾斜角刻画直线的倾斜程度(方向)；然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，

用直线上两点的坐标刻画倾斜角；把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的

商，进而引出直线斜率的概念；建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的

关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以由它们斜率的关系可以判断两条直线

平行或垂直的位置关系.

解析几何的创立与对数的发明、微积分的建立被恩格斯并称为17世纪数学的三大成就,

其意义不言而喻.学生初次接触解析几何内容，需要教师通过章引言的教学，让他们了解解析

几何创立的背景、内涵、思想方法，以及历史意义，初步认识坐标法.

在本节课的学习中，学生知道两点确定一条直线，以及一点和一个方向确定一条直线，

但对于如何把这种确定直线位置的几何要素转化为平面直角坐标系中的代数刻画存在困难.其

中，将两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线，以及把直线的方向转化为直线

的倾斜角，都是本节课的难点.教学中，要结合前面方向向量的学习，引导学生将两点确定一

条直线归结为一点和一个方向确定一条直线；引导学生观察过一点的不同直线的区别，帮助学

生建立直线的方向和倾斜角之间的联系.

倾斜角是对直线倾斜程度的几何度量，是个几何量；而斜率公式中的纵横坐标的差商，

是个代数量，是对直线倾斜程度的代数度量.建立两者之间的关系，对于学生来说，也有一定

的困难.教学中，要借助向量工具，通过从特殊到一般的过程，引导学生层层递进地理解用点

的纵横坐标的差商刻画直线倾斜角的方法，建立直线的斜率公式.

四、教学重点、难点

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.

难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两

点纵横坐标差商之间的关系.

五、教学过程设计

环节一创设情境，引入课题

引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面

抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念

成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创

立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始.

我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，

如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标

系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.

问题1:回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？

我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的

代数对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实

现通过代数运算来研究几何图形性质的目的.

交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对

于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路

从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD,

竖直方向上升的高度为DB（如果是下降，则DB的值

为负实数）,则坡度=*k>0表示上坡,k<0

表示下坡,为了实际应用与安全，在道路铺设时常要

规划坡度的大小.

追问：那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?

为了用代数方法研究直线的有关问题，需要把直线代数化.也就是教科书中提到的“直线如

何表示?”，这个表示指的就是代数化.何为代数化？如何代数化？

师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指出本章要用坐标

法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性

质的定量化研究.

设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本

节的研究内容.

环节二观察分析，感知概念

问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？

师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“两点确定一条直线

追问：还有没有其他确定一条直线的方法？

思考

确定一条直线的儿何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线/（图2.1-1）,如何利用

坐标系确定它的位置？

图2.1-1

我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.

问题3：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.观察图2.1-2中经过定

点P的直线束，它们的区别是什么？你能用利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开

来吗？

设4,8为直线上的两点，则在就是这条直线的方向向量.所以，两点确定一条直线

可以归结为一点和一个方向确定一条直线.

在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线/2,4…，它们组成一个直线束（图

2.1-2）,这些直线的区别是什么？

师生活动：教师引导学生思考，得出一点和一个方向也能确定一条直线，并把两点确定一条直

线归结为一点和一个方向确定一条直线.

设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定

一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.

在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹

角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.

在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线

的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向？

我们看到，这些直线相对于X轴的倾斜程度不同，也就是它们与X轴所成的角不同.因

此，我们可以利用这样图的角来表示这些直线的方向.

师生活动：学生可能会指出这些直线的区别在于它们的方向不同，也可能会说这些直线与1

轴所成的角不同.在学生充分讨论的基础上，教师可以引导学生思考，以平面直角坐标系中坐

标轴为基准规定直线的方向，并用直线与］轴形成的角刻画直线的方向，在此基础上引入倾斜

角的概念.

设计意图：让学生通过观察过同一点的不同位置的直线，并强调以直角坐标系为参照系，探究

区分不同位置直线的方法，引导学生感受在直角坐标系中利用倾斜角刻画直线方向的合理性.

问题4:你认为直线的倾斜角在什么范围内变化？

当直线/与x轴相交时,我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角Q

叫做直线/的倾斜角.图中直线4的倾斜角必为锐角，直线r的倾斜角优为钝角.当直线/与x

轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。.因此，直线的倾斜角a的取值范围为

0°^a<180°

这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾

斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可

以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.

师生活动：教师可通过信息技术演示直线/与x轴平行或重合时开始绕一个点旋转的过程，让

学生感受直线的倾斜角的变化范围是使学生确认0°Wa<180。范围内的角能表示所有直线的

方向.

设计意图：借助信息技术的直观，引导学生讨论在直角坐标系中直线的倾斜角取值的各种情况,

进一步确认用倾斜角刻画一条直线倾斜程度的合理性.

环节三抽象概括，形成概念

问题5：直线/的倾斜角刻画了它的倾斜程度，是否还能用其他方法刻画直线的倾斜程度呢？

我们知道，直线/可由其上任意两点小司,必），6（々,外）唯一确定，可以推断，直线/的

倾斜角一定与片,2两点的坐标有内在联系.到底具有怎样的联系？

下面我们利用向量来研究这个问题.在平面直角坐标系中，设直线/的倾斜角为a.

（1）已知直线/经过。（0,0）,P也1）,a与。，尸的坐标有什么关系？

（2）类似地，如果直线/经过［（-1,1）,£（后,0）,a与4，£的坐标又有什么关系？

师生活动：教师提出问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角a

与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊

端）

追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？

师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当职的方向不同

时，教师要引导学生讨论倾斜角与片，，两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题.

一般地，如果直线/经过两点6（演,凹），鸟（4,歹2）（玉W/），那么a与6，鸟的坐标有怎

样的关系？

环节四辨析理解深化概念

下面我们利用向量法探究上述问题

对于问题⑴，如图向量无=（行,1）,且直线OP的倾斜角为a.由正切函数的定义,

有

1V3

tana=-i==——

733

对于问题（2）,如图2.1-3（2）,筋=（-1-及,1-0）=（-1-垃,1）.平移向量箭到而,

则点尸的坐标为（-1-板,1）,且直线OP的倾斜角也是a.由正切函数的定义，有

tana=——-i==\-42.

-1-V2

一般地，如图，当向量月月的方向向上时，月月=（%-%,%-弘），平移向量五耳到丽,

则点尸的坐标为（9-4力-%），且直线OP的倾斜角也是《，由正切函数的定义，有

tana=-~.

X2-%!

同样，当向量“的方向向上时，如图，丽=（七-々，%-歹2），也有

Bii-s

问题6：tana=上二及这个公式对任何给定的两点都适用吗？这个公式的意义是什么？与我

x2-Xx

们日常生活中刻画斜面倾斜程度的坡度有联系吗？

思考

当直线62与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

综上可知，直线/的倾斜角a与直线/上的两点片区,乂），鸟*2，%）（玉片》2）的坐标有

如下关系：

tana=—~.

我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母左表示，即

左=tana②

注释：日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：坡度=萼鲁3.当直线的倾斜角为锐角

水平宽度

时，直线的斜率与坡度是类似的.

师生活动：学生在观察与分析中能发现公式对垂直于X轴的直线不适用，其他都适用；并能在

讨论交流中认识到该公式是通过点的坐标刻画倾斜角，也就是直线的方向，这正是我们最希望

得到的一个量——用点的坐标表示直线的方向.从而引导学生将其命名为斜率（顾名思义，就

是倾斜程度的一个比值），并用小写字母人表示，即k=tana|.最后引导学生回忆日常生活中

坡度的计算方法：坡度=鲁舞，感知直线的斜率与坡度有相似的地方.

水平宽度

设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过师

生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直接参

与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.

问题7：当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0。或90。时，直

线的斜率是多少？

倾斜角是90。的直线没有斜率，倾斜角不是90。的直线都有斜率，例如，倾斜角《=30。时，这

条直线的斜率

k=tan30°=—.

3

倾斜角a=120。时，这条直线的斜率

k=tan120°=-tan60°=一6.

师生活动：引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助学

生理解其中的变化情况和特殊点的取值.

设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变化情

况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.

注释：当直线的倾斜角由明逐渐增大到恒时，其斜率如何变化？为什么？

由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表

示倾斜角不等于90。的直线相对x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.

如果直线经过两点片（事,乂），巴（迎,8）3*%），那么由①②可得如下的斜率公式:

攵=9

我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对

于X轴的倾斜程度.

思考

(1)已知直线上的两点4)，B(b\,bD,运用上述公式计算直线的斜率时，与48两

点的顺序有关吗？

(2)当直线平行于歹轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

问题8：你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？

我们知道，直线［鸟上的向量而以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线［6的方向

向量片£的坐标为

。2一石，为一弘)•

当直线々鸟与X轴不垂直时，X,*x2,此时向量」一职也是直线6鸟的方向向量，且它的

々一玉

坐标为一--乂)，即1产一凹.=(1,6，其中左是直线48的斜率.因此，若直线

x2-石I工2一%

/的斜率为左，它的一个方向向量的坐标为(x,y),则人=』.

X

师生活动：教师引导学生建立直线的方向向量与其斜率之间的关系，利用直线的方向向量

设计意图：利用斜率公式和直线的方向向量的坐标表示，建立二者之间的联系，为今后相关问

题的解决奠定基础.

环节五概念应用，巩固内化

例1如图，已知1(3,2),5(-4,1),C(O,-1),求直线BC,C4的斜率，并判断这些直线

的倾斜角是锐角还是钝角.

1-21-1-1_-2

解：直线的斜率3=工=于直线8C的斜率限

0-(-4)-T2

直线CA的斜率kCA=2一（-1）=2=1,

口3-03

由七百＞0＞及左0〉。可知，直线48与C4的倾斜角均为锐角；由品°＜0可知，直线6C的倾斜

角为钝角.

师生活动：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；思考题为备选题，

视学生学情而定，可以师生共同分析完成..

设计意图：通过例1帮助学生巩固掌握斜率公式，熟悉斜率大小与倾斜角的关系；思考题是为

基础比较好的班级学生设计的，也可以留作学生课后思考讨论.例1分为两步，第一步是根据

两点的坐标，直接求经过两点的直线的斜率，是过两点的直线斜率公式的直接应用，目的是让

学生了解公式的结构；第二步由斜率的正负以及正切函数的取值规律，可以得到直线的倾斜角

是锐角或钝角，它是由斜率判断倾斜角，目的是让学生进一步认识倾斜角与斜率的关系.教学

时，要适当复习正切函数的概念和性质，包括自变量的取值范围，函数值的取值规律，区间上

的单调性，等等.至于角度是用角度制，还是用弧度制，没有特别的要求，两种度量值都可以.

环节六归纳总结，反思提升

课堂小结：教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生对本节课的研究对象与结论、研究的

基本思路与思想进行梳理.

问题9：请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：

1.本节课学习的概念有哪些？

2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？

1.知识总结：

2.学生反思:

(1)通过这节课，你学到了什么知识?

(2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？

设计意图：

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和

逻辑推理能力。

师生活动：教师提出问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理出本节课研究问题

的基本流程框图.教师再结合框图，总结本节课蕴含的主要数学思想方法：类比联想、分类讨

论、坐标法、数形结合思想.

环节七目标检测，作业布置

完成教材：布置作业

教科书习题第1,2,3,4,7,8题.

练习(第55页)

1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：

27r34

(1)a=30。；(2)a=45°；(3)«=—；(4)=—.